Moikka, tarviisin jeesii syksyn 2017 pitkän matikan yo-kokeen b-osan tehtävään 6. Se löytyy täältä: https://drive.google.com/file/d/0B_CeIpXDmqgNelNyZXNwWkF2WXc/view
Ja ratkaisu: https://drive.google.com/file/d/0B_CeIpXDmqgNaWticThvZkc0Nnc/view
Ympyräsektorin säde on 3 ja keskuskulman suuruus on α. Sektori taivutetaan ympyräpohjaisen kartion vaipaksi. Mikä on kulman α tarkka arvo silloin, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri?
Lähdin ensin määrittämään sektorin kaaren pituutta. Se on α/360*2*pii*r=α/360*2*pii*3=6*pii*α/360.
Sektorin kaaresta tulee ympyrälieriön pohjaympyrän kehä. Pohjaympyrän säde
2pii*r=6*pii*α/360 => r=3α/360
Kartion sivujana vai miksi ikinä sanotaankaanon sektorin säde eli 3. Kartion korkeus Pythagoraan lauseella:
r^2 h^2=s^2
h=sqrt(s^2-r^2)=sqrt(3^3-(3α/360)^2)=sqrt(9-9α^2/129600)
Kartion tilavuus V=1/3*A_p*h
V=1/3*pii*9α^2/129600*sqrt(9-9α^2/129600)
eli tilavuus kulman funktiona
V(α)=3*pii*α^2/129600 * sqrt(9-(9α^2)/129600)
Tuolla YTL:n ratkaisuissa tuo tilavuuden funktio on kuitenkin eri. Missä meni pieleen?
Ja ratkaisu: https://drive.google.com/file/d/0B_CeIpXDmqgNaWticThvZkc0Nnc/view
Ympyräsektorin säde on 3 ja keskuskulman suuruus on α. Sektori taivutetaan ympyräpohjaisen kartion vaipaksi. Mikä on kulman α tarkka arvo silloin, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri?
Lähdin ensin määrittämään sektorin kaaren pituutta. Se on α/360*2*pii*r=α/360*2*pii*3=6*pii*α/360.
Sektorin kaaresta tulee ympyrälieriön pohjaympyrän kehä. Pohjaympyrän säde
2pii*r=6*pii*α/360 => r=3α/360
Kartion sivujana vai miksi ikinä sanotaankaanon sektorin säde eli 3. Kartion korkeus Pythagoraan lauseella:
r^2 h^2=s^2
h=sqrt(s^2-r^2)=sqrt(3^3-(3α/360)^2)=sqrt(9-9α^2/129600)
Kartion tilavuus V=1/3*A_p*h
V=1/3*pii*9α^2/129600*sqrt(9-9α^2/129600)
eli tilavuus kulman funktiona
V(α)=3*pii*α^2/129600 * sqrt(9-(9α^2)/129600)
Tuolla YTL:n ratkaisuissa tuo tilavuuden funktio on kuitenkin eri. Missä meni pieleen?
Vastaukset 17
Vanhimmat
Ei se missään pieleen mene, laske loppuun vaan.
Mutta saan (geogebralla) vastaukseksi
α=120*sqrt(6) eli noin 294
kun YTL:n vastauksessa α=2*pi*sqrt(2/3) eli noin 5,1
Jatkoin siis tuosta laskustani niin, että määritin geogebralla sille derivaattafunktion. V'(α)
Sitten solvesin laskimella V'(α)=0, tuli ratkaisuiksi α=0, α=-120*sqrt(6) ja α=120*sqrt(6).
Minä laskin tuon sinun laskusi loppuun, eikä siinä mitäänerikoisempaa ollut. Muutin asteet radiaaneiksi vaan välissä, ja tuossa on tulos: https://aijaa.com/cYMxUC
Tuleeko kaaresta pohja?
Eikö sektorin pyöreän kaaren pituus ole sama pituus, kuin lieriön pohjaympyrän kehä?? Vai olenko hahmottanut tän jotenkin väärin?
Sun virhees on siinä että et hoksaa yo-lautakunnan vastauksen olevan radiaaneja
Siis oliko toi mun alkuperäinen ratkaisu α=120*sqrt(6) ihan oikein, mutta vaan yksikkönä aste? Miksi siis tuossa malliratkaisussa edes on radiaaneja?
Oli se oikein. En minäkään radiaaneita juuri koskaan käytä...
Miten muuten tuo derivaattafunktio tälle siis muodostui?
V(α)=3*pii*α^2/129600 * sqrt(9-(9α^2)/129600)
En ainakaan äkkiä löytänyt mitään sopivaa kaavaa maolista. Vai onkohan tässä tehtävässä vain oletettu, että käytetään laskinta?
Ja vielä radiaaneista...
Jos nyt olisin alussa jo syöttänyt radiaaneina, eli se astemäärä*pii/180, niin tuo *pii/180 olisi supistunut pois? Eli kun laskin sitä sektorin kaaren pituutta, oli α/360=(α*pii/180)/(360*pii/180)=α/360
Silloinhan lopputulos on sama riippumatta siitä, onko syötetty radiaaneina vai asteina??
Milloin on pakko syöttää radiaaneina? Ilmeisesti ainakin silloin, kun integroidaan/derivoidaan funktioita, joissa on trigonometrinen funktio, esim f(x)=sin(2x 1) tai vastaavaa.
Kaaren pituus asteita käytettäessä on: (alfa/360)*2*Pi*R.
Koska 360 astetta =2Pi radiaania, niin kaaren pituus on: (alfa/(2Pi)*2*Pi*R=alfa*R.
Ja nyt on alfa on radiaaneita.
Tuo derivointi menee ketjusäännön mukaan.
Tässä on vielä koko lasku ja radiaaneissa:
https://aijaa.com/iLC1vX
Joo, ei se mikään ketjusääntö pelkästään ole, vaan lyhyesti vaan : Tulon derivaatta, jossa sitten kyllä sitä ketjusääntöäkin noudatetaan sen neliöjuuren osalla.
Itse aikanaan en näistä derivointisääntöjen nimistä mitään välittänyt , derivoittin vaan....ne meni jotenkin helposti ja sujuvasti vaan järjestään kirjoittamalla. Ilmeisesti kaikilta se ei kuitenkaan onnistu.
Mutta onko olemassa esim jotain sääntöä että integroidessa/derivoidessa ilmoitetaan kulmat aina radiaaneina? Tai kai sille jokin syy on miksi mallivastaus on radiaaneissa?
Absoluuttiset kulmamitat kait aikoinaan määriteltiin differentiaali-ja integraalilaskennan tarpeisiin, joten ehkä sellainen sääntö jossakin on. Ja jos ei ole, niin nyt on.
Jos esimerkiksi fysiikassa aikoo saada kulmanopeudet yms. oikein, on syytä ottaa käytännöksi radiaanien ja SI-perusyksiköiden käytön. Muussa tapauksessa tarvitsee sellaista osaamista ja huolellisuutta, joita ei kovin monelta, ainakaan lukiolaiselta, löydy
Matematiikka on sinulla selvästikin hallussa. Tasosi ja kykysi tuoda se positiivisella tavalla julki ansaitsee jopa pientä ihailua. Ja se että olet jaksanut jakaa osaamistasi jopa täällä paljon parjatulla suomi24 foorumilla, on pelkästään hyvä asia.
Se kehuista, mutta miten sinä itse kuvailisit matemaattista osaamistasi? Millä matematiikan osa-alueella tulee rajasi vastaan, ja miten tuo raja ilmenee?
Olen nämä ihan väkisin opetellut. Kun katsoo ihan ensimmäisiä tänne postauksiani joskus 2007, niin aika lailla nolottaa. Nykyään ehkä vältän itseni suoranaisen nolaamisen, jos pysyttelen erossa lämpötekniikasta ja korkeammasta yliopistomatematiikasta. Peruskurssitasolla jotakin saatan selvittää. Hyvä kirja pitää olla kuitenkin tukena, aikaa ja innostusta vieä lisäksi. Minä muuten olen jo vanha äijä, täytän pian 60, joten kohta jättäydyn pois, ei oikein järki ja muisti enää pelaa.