https://www.jyu.fi/science/fi/luma/ajankohtaista/ks-matematiikka_2018.pdf
Tuolta tehtävä 3. En löytänyt mistään vastauksia vanhoihin kilpailukysymyksiin... Voitteko laskea sen, minkä tuloksen saatte? Sain itse 71.
Tuolta tehtävä 3. En löytänyt mistään vastauksia vanhoihin kilpailukysymyksiin... Voitteko laskea sen, minkä tuloksen saatte? Sain itse 71.
Vastaukset 18
Vanhimmat
71 , siltä se näyttää
Joo 71 , ja tehtävästä (4b) 31250
Miten laskit 4b?
(75^456976)*(28^15625)
(75^441351)*((75*28)^15625)
(75^441351)*(2100^15625)
(75^441351)*((21*100)^15625)
(75^441351)*((21*10^2)^15625)
(75^441351)*(21^15625)*(10^31250)
eka tulon tekijä päättyy vitoseen
toka tulon tekijä päättyy ykköseen
niiden tulo päättyy vitoseen
niistä ei tule nollia lisää , joten nollia on 31250
3.
Luvuista 1,2,...,1000 ovat jaollisia luvulla 4 luvut
n* 4, n = 1,2,...,250,
luvulla 5 luvut
k*5, k = 1,2,...,200 ja
luvulla 17 luvut
l*17, l= 1,2,...,58.
Luvulla 4*5 = 20 ovat jaollisia luvut A = (20, 40,...,1000). Näitä on 50.
Luvulla 4*17 = 68 ovat jaollisia luvut B = (68,136,...,952). Näitä on 14.
Luvulla 5*17 = 85 ovat jaollisia luvut C = (85, 179,...,935). Näitä on 11.
a*20 = b*68. a = b* 17/5. b = 5, a= 17, 20 *17 = 5*68 = 340. b = 10, a = 34, 34*20 = 10*68 = 680.Jos b => 15 niin a >= 51 ja luku a*20 = b*68 >= 1020 > 1000
Siis A:n leikkaus B:n kanssa, AB, on (340, 680)
a* 20 = b*85. a = b* 85/20 = b* 17/4. b = 4, a = 17, 17*20 = 4* 85 = 340. b = 8, a = 34, 34*20 = 8*85 = 680. Jos b > = 12 niin luku 1000 taas ylittyy. Siis AC = (340,680).
a*68 =b*85. a = b* 85/68 =b* 5/4. b = 4, a= 5. 5*68 = 4* 85 = 340. b= 8, a= 10, 10*68 = 8*85 = 680. Jos b>= 12 niin luku 1000 taas ylittyy. Siis BC = (340,680).
Joukossa A on 50 alkiota, joukossa B on 14 alkiota ja joukossa C on 11 alkiota. Joukossa
A U B U C on alkioita 50 14 11 - 2 - 2 = 71.
4b.
75^26^4 * 28^25^3 = (3*5^2)^26^4 * (7*2^2)^25^3 = 5^(2*26^4) * 2^(2*25^3) * 3^26^4 * 7^25^3 = (5*2)^2*25^3) *5^(2*(26^4 - 25^3)) * 3^26^4 * 7^25^3. Luvun 10 potensseja on 2*25^3 = 31250 ja näin monta nollaa kyseisessä luvussa on.
Eräs tapa ilmaista tuo lopputulos: Olkoon N(X) joukon X alkioiden lukumäärä.
N(A U B U C) = N(A) N(B) N(C) - N(AB) - N(AC) - N(BC) N(ABC) = 50 14 11 - 2 - 2 - 2 2 = 71.
Vitonen on hyvin helppo, jos on käytettävissä lause kolmion keskijanojen jakosuhteista toistensa kanssa. Ovatko muuten ne kaksi muutakin alaa yhtäsuuria toistensa kanssa ?
Entä täältä tehtävä 3B?
https://www.jyu.fi/science/fi/luma/ajankohtaista/ks-matematiikkakilpailu-2017.pdf
Nolla ja kolmasosa.
C-kohdassa Minimi: (100-2*30)/3 = 20 ja maksimi 30 prosenttia.
Aika stabiili hillo tulee tuossa minimoinnissa, kun 20 prossaa stabilointi- ja säilöntäaineita laitetaan.
miten noita voisi perustella, miksi se on nolla ja kolmasosa?
Nollaa vähemmän se ei voi olla ja se saadaan kun otetaan kaikki mansikkaa (ja voihan sitä hillosokeriakin toki laittaa).
Koska mustikka on kolmas, on mansikkaa ja hillosokeria oltava vähintään yhtä paljon kuin sitä. Merkitään mustikan osuutta x:llä. Silloin, koska kolme ekaa ainetta summautuvat alle yhteen ja kaksi ekaa (a ja b) näistä on ainakin x, niin 3x = x x x < a b x < 1 eli x<1/3. Kolmasosa myös saavutetaan, kun otetaan kolmea ekaa jokaista kolmasosa.
Tuo ei ole ihan helppo lukiolaiselle:
"Keksi kokonaislukukertoiminen nollasta eroava polynomi, jonka yksi nollakohta
on √3 √5."
Jos korotetaan lauseke toiseen potenssiin, saadaan 8 2sqrt15. Tuo muistuttaa toisen asteen polynomin ratkaisua. Ja sen kauttaa sain kysytyksi polynomiksi
x^4 - 16x^2 4
Mutta tuota en tajua:
"Selvitä suorakulmaisen kolmion pinta-alan pienin mahdollinen arvo, kun lisäksi tiedetään että pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion kateettien summa."
Jos kateetit ovat a ja b, niin yhtälöstä a b = ab, saadaan b = a/(a-1) eli ala on
f(x) = x^2 / (x-1),
kun ensimmäinen kateetti on x>1. Minimi on 4 kohdassa x=2.
Kolmion alasta unohtui puolikas :D
Siis b = (2a) / (a-2) ja tutkittava funktio
f(x) = x^2 / (x-2),
x>2, jolla minimi 8 kohdassa x=4.
Eikös pienin arvo ole 0, kun a=b=0? Ja vaikka on kyseessä matematiikka, on outoa että pituus asetetaan yhtä suureksi kuin pinta-ala.
Ai niin, joo nollatapaus... Mutta eihän siinä silloin ole kolmiota vaan piste.
Voisihan siihen jotain semmoista taustatarinaa kehitellä, että kolmion alasta saadaan 1€ per neliö ja kustannukset muodostuvat kateettien pituuksista, ja ovat juuri saman 1€ per metri. Ja halutaan, että rahaa ei jää yli. Mutta minkä takia ala sitten haluttaisiin minimoida (silloinhan tuo nolla-tapaus juuri kävisi eli ei rakenneta ollenkaan)?
Joo, tuo nollatapaus olisi pitänyt sulkea pois. Mitenköhän pisteytetään, jos esittää vain sen?
Lagrangen menetelmäkkä
f(a,b) = 1/2 ab - k(1/2 ab - a - b)
1/2 b - b/2 k k = 0
1/2 a -a/2 k k = 0
b (1/2 - k/2) = - k
a(1/2 - k/2) = - k
=> a = b. 1/2 a^2 = 2a. a^2 = 4a. a= 0 tai a = 4. Jos a = 0 niin b=0. Jos a = 4 niin b = 4.
1/2 * 4*4 = 8. 4 4 = 8.