hajoamislaki/differentiaaliyhtälöt

Anonyymi

Hei, osaisiko joku auttaa differentiaaliyhtälön (hajoamislain) ratkaisussa?
n=lambda=hajoamisvakio

dN/dt=-nN ||*dt/N
dN/N=-ndt

Seuraavassa vaiheessa yleensä integroidaan puolittain niin, että vasen puoli integroidaan N:n suhteen välillä [N(t1), N(t2)] ja oikea puoli t:n suhteen välillä [t1, t2].

Miksi näin voidaan tehdä? Säilyykö yhtäsuuruus, jos suoritetaan eri laskutoimenpiteitä yhtälön eri puolille? Onko puolittain integroimiseen jotain sääntöä, miten integroimisvälit määräytyvät?

35

61

Vastaukset

  • Ajattelun kannalta auttaa korvata d:t delta-kolmioilla hetkeksi. Samalla ehkä ymmärtää, mitkä ovat luonnolliset integroimisrajat ts. "ajatuskokeet" konkreettisesta tilanteesta. Maksimi säteilyn määrä, koska? Milloin säteily on lopussa? Näitä voi ainakin miettiä. Sitten voi alkaa miettiä, mitä integraali oikeastaan tarkoittaa. Seuraavaksi tulevat käsitteet, mitä tarkoittaa puoliintumisaika?

    • Haluaisin ymmärtää siis nimenomaan sen matikan siinä, en ainoastaan tähän yhtälöön vaan yleensä differentiaaliyhtälöiden laskemiseen.

      https://fi.wikipedia.org/wiki/Kiihtyvyys
      Täällä on esimerkiksi johdettu yhtälö nopeudelle integroimalla saman muuttujan suhteen puolittain niin, että integroimisrajat ovat samat.


  • Ilmeisesti N on ajan funktio eli N=N(t). Nyt kannattaa siirtää yhtälön dN/dt=-nN oikean puoleinen N vasemmalle puolelle, eli saadaan:

    NdN/dt=-n

    Tämän yhtälön mukaan NdN/dt ja -n ovat samat, joten ne voidaan tietysti integroida puolittain SAMAN muuttujan suhteen (eli nyt t:n) SAMALLA integroimisvälillä t1->t2 ja saadaan samat tulokset, eli yhtälö pätee vielä integroinnin jälkeenkin.

    Tämän jälkeen esiin astuu asia, josta matematiikassa käytetään nimitystä "INTEGROIMINEN SIJOITUKSEN AVULLA" (tai yhdistetyn funktion integroiminen). Ymmärtääkseni tämä on se asia, joka on sinulle epäselvä. Kun suoritetaan integrointi sijoituksen avulla, muttuu se muuttuja, jonka suhteen integroidaan (eli tästä sen tunnistaa). Jos siis yhtälön toisella puolella integroidaan N:n suhteen ja toisella puolella integroidaan t:n suhteen on jo sovellettu integroimista sijoituksen avulla (jota siis sovelletaan YHDISTETYN funktion tapauksessa). Halusit tietää yleisen periaatteen em. ongelmalle ja se on juuri tuo integroiminen sijoituksen avulla. Kaikki vastaasi tulevat ongelmat on juuri tämä sama ongelma. Hyvin yksinkertainen asia lopulta. Kehotan tutustumaan tarkemmin asiaan (katso matematiikan oppikirjasta).

    Vielä merkittynä:(Kuvittele määrätyn integraalin merkki seuraavien lukujen eteen):

    [NdN/dt]dt = NdN

    Toisin sanoen integrointi sijoituksen avulla sallii meidän muuttavan muuttujaa, jonka suhteen integroidaan.

  • Todettakoon vielä, että kun integroimismuuttuja muuttuu, muuttuvat myös vastaavasti integroimisrajat. Tämä on selitetty tarkasti matematiikan oppikirjoissa. Niinpä kun integroidaan

    [NdN/dt]dt = NdN

    vasemmanpuoleisessa termissä integroimisrajat ovat t1->t2 ja oikeanpuoleisessa N(t1)->N(t2), mutta USEIN merkitään vain N1 ->N2, vaikka täsmällisesti ottaen olisi hyvä käyttää merkintöjä N(t1) ja N(t2).

  • Mitä tuo avauksen ensimmäinen yhtälö tarkoittaa ? Toinen yhtälö näyttää olevan perinteinen hajoamisen diffyhtälö.

    • Se on tämän tehtävän fysikaalinen osa, jälkimmäinen yhtälö taas on enemmänkin matemaattinen osa. Fysikaalinen osa olisi luonnollisella kielellä ilmaistuna seuraavanlainen:

      "Ydinten hajoamisnopeus (siis derivaatta dN/dt) on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään N". Luku -n on tässä tapauksessa verrannollisuuskerroin.

      Tässä siis muutetaan fysikaalinen tieto matemaattiseksi yhtälöksi.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Se on tämän tehtävän fysikaalinen osa, jälkimmäinen yhtälö taas on enemmänkin matemaattinen osa. Fysikaalinen osa olisi luonnollisella kielellä ilmaistuna seuraavanlainen:

      "Ydinten hajoamisnopeus (siis derivaatta dN/dt) on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään N". Luku -n on tässä tapauksessa verrannollisuuskerroin.

      Tässä siis muutetaan fysikaalinen tieto matemaattiseksi yhtälöksi.

      Tuo kahden pystypalkin jälkeinen *dt/N tarkoittanee siis vain, että kerrotaan yhtälön molemmat puolet tuolla termillä ja saadaan toinen yhtälö.

      Hajoamisen differentiaaliyhtälö on siis
      dN/dt = - n N
      N on ajan funktio N(t)

      Jaetaan molemmat puolet N:llä. Saadaan
      (dN/N)/dt = - n
      Integroidaan molemmat puolet t suhteen ajanhetkestä t1 ajanhetkeen t2
      Int ( ((dN/N)/dt) *dt ) = Int (-n * dt) # määrätty integraali t1:stä t2:een
      Int ( (dN/N) ) = Int (-n dt) # vasemmalta puolelta dt supistuu pois
      Saadaan
      ln(N(t2)) - ln(N(t1)) = -n (t2-t1)
      ln ( N(t2)/N(t1) ) = -n (t2-t1)
      N(t2)/N(t1) = e^( -n (t2-t1) )
      N(t2) = N(t1) e^( -n (t2-t1) )


    • Anonyymi kirjoitti:

      Tuo kahden pystypalkin jälkeinen *dt/N tarkoittanee siis vain, että kerrotaan yhtälön molemmat puolet tuolla termillä ja saadaan toinen yhtälö.

      Hajoamisen differentiaaliyhtälö on siis
      dN/dt = - n N
      N on ajan funktio N(t)

      Jaetaan molemmat puolet N:llä. Saadaan
      (dN/N)/dt = - n
      Integroidaan molemmat puolet t suhteen ajanhetkestä t1 ajanhetkeen t2
      Int ( ((dN/N)/dt) *dt ) = Int (-n * dt) # määrätty integraali t1:stä t2:een
      Int ( (dN/N) ) = Int (-n dt) # vasemmalta puolelta dt supistuu pois
      Saadaan
      ln(N(t2)) - ln(N(t1)) = -n (t2-t1)
      ln ( N(t2)/N(t1) ) = -n (t2-t1)
      N(t2)/N(t1) = e^( -n (t2-t1) )
      N(t2) = N(t1) e^( -n (t2-t1) )

      Jos otetaan t1=0 ja t2 on mikä tahansa t, saadaan yleinen kaava
      N(t) = N(0) e^( -n t )
      Se kertoo, että alussa oleva määrä N(0) hupenee exponentiaalisesti ajan myötä.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Jos otetaan t1=0 ja t2 on mikä tahansa t, saadaan yleinen kaava
      N(t) = N(0) e^( -n t )
      Se kertoo, että alussa oleva määrä N(0) hupenee exponentiaalisesti ajan myötä.

      Tuosta saadaan helposti myös korkoa korolle kasvun kaava ottamalla negatiivinen n, joka kuvaa sitten kasvua. Esim. 5 % korolla pääoma K(t) hetkellä t on
      K(t) = K0 e^(0.05 t)
      t on aika vuosina ja K0 on alkupääoma.

      Pankkiirien soveltamaan kaavaan päästään panemalla kaava muotoon
      K(t) = K0 ( e^(0.05 )^t
      Termi e^(0.05) on sarjakehitelmästä noin 1+0.05, jolloin saadaan pankkiirien soveltama kaava
      K(t) = K0 (1.05 )^t

      Kuriositeettina voi todeta, että 10 v kohdalla pankkiirin kaava antaa 1.2 % pienemmän pääoman. Pitihän se arvata.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Tuosta saadaan helposti myös korkoa korolle kasvun kaava ottamalla negatiivinen n, joka kuvaa sitten kasvua. Esim. 5 % korolla pääoma K(t) hetkellä t on
      K(t) = K0 e^(0.05 t)
      t on aika vuosina ja K0 on alkupääoma.

      Pankkiirien soveltamaan kaavaan päästään panemalla kaava muotoon
      K(t) = K0 ( e^(0.05 )^t
      Termi e^(0.05) on sarjakehitelmästä noin 1+0.05, jolloin saadaan pankkiirien soveltama kaava
      K(t) = K0 (1.05 )^t

      Kuriositeettina voi todeta, että 10 v kohdalla pankkiirin kaava antaa 1.2 % pienemmän pääoman. Pitihän se arvata.

      Toinen kuriositetti on se, että pankkiirin vuodessa on vain 360 vrk kun kalenterivuosi eli oikea vuosi on 365 vrk (+1 karkausvuonna)


  • Huomasin kiireessä tekemäni virheen, eli yhtälö on luonnollisesti:

    [dN/(dt*N)]dt = dN/N

    eli kun siirretään alkuperäisyhtälöstä N vasemmalle puolelle, jaetaan luonnollisesti N:llä eikä kerrrota. Edellä selostamaani periaatetta tämä ei kuitenkaan muuta mitenkään, samat teoriat pätevät siis.

  • Kiitos viestistäsi! Helpottaisiko siis, jos kirjoittaisin N=N(t) ?

    dN(t)/d(t)=-n N(t) || : N(t)
    [dN(t)/N(t)]/dt=-n || integroidaan puolittain t:n suhteen välillä t1...t2
    int [dN(t)/N(t)]/dt dt=-n int 1 dt
    int dN(t)/N(t)=-n int 1 dt
    sij. ln N(t)=-n * sij. t || siis sij. = sijoitusmerkki t1...t2
    ln N(t2) - ln(t1) - n(t2 - t1)
    ...jne

    Tällöinhän integrointirajoja ei tarvitsisi muuttaa?

  • dN/N= - n dt
    d(ln (N)) = - n dt
    ln(N2) - ln(N1) = - n (t2-t1)
    ln(N2/N1) = - n(t2-t1)
    N2/N1 = e^(- n (t2 - t1))
    N2 = N1 * e^(-n(t2 - t1))

    • Lisään nyt vielä selitykseksi:

      dN(t) /dt = N'(t)

      N'(t)/N(t) = - n
      d(ln(N(t)) /dt = - n

      Int(t1,t2) (d(ln(N(t))/dt)dt = Int(t1,t2) (- n dt)


    • Anonyymi kirjoitti:

      Lisään nyt vielä selitykseksi:

      dN(t) /dt = N'(t)

      N'(t)/N(t) = - n
      d(ln(N(t)) /dt = - n

      Int(t1,t2) (d(ln(N(t))/dt)dt = Int(t1,t2) (- n dt)

      Tässä ei todellakaan tarvitse suorittaa muuttujien ja integroimisrajojen vaihtoa. Lisäksi integroiminen on todella helppoa, koska integroitavana on funktion derivaatta, jonka integraalifunktio on funktio itse.

      Int(t1,t2) (d(ln(N(t))/dt)dt = sij(t1,t2) (ln(N(t))) = ln(N(t2)) - ln(N(t1))


  • Jos saat tämän kirjoitettua alemman kaavan jollain auki, katsoisitko läpi. Onko tämä nyt oikein tehty?

    \begin{align}
    \frac{dN\left(t\right)}{dt} &=-\lambda N\left(t\right)\parallel:N\left(t\right) \\

    \frac{\frac{dN\left(t\right)}{N\left(t\right)}}{dt} &=-\lambda\parallel\int_0^tdt \\
    \int_0^t\frac{\frac{dN\left(t\right)}{N\left(t\right)}}{dt}dt &=-\lambda\int_0^tdt \\
    \int_0^t\frac{dN\left(t\right)}{N\left(t\right)} &=-\lambda\int_0^tdt \\
    \bigg/_{\!\!\!\!\!0}^t\ln N\left(t\right) &=-\lambda\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^tt \\
    \ln N\left(t\right)-\ln N\left(0\right) &=-\lambda\left(t-0\right) \\
    \ln\frac{N\left(t\right)}{N\left(0\right)} &=-\lambda t\Longleftrightarrow\ \frac{N\left(t\right)}{N\left(0\right)}=e^{-\lambda t}\Longleftrightarrow \underline{N\left(t\right)=N\left(0\right)e^{-\lambda t}}

    \end{align}

    • Esittämäni kommentit /09:25 ja 09:40 kuvaavat oikean käsittelytavan.


    • Valitettavasti näkyy vain jonkinlaista koodia, jota en ymmärrä.



    • 1) Kannattaa tutkia, mikä muuttuja on riippumaton ja mikä riippuva muuttuja. Tässä tehtävässä t on riippumaton muuttuja ja N=N(t) on riippuva muuttuja eli t:n funktio.
      2) Jos integroidaan t:n suhteen eli jos integraalimerkintä päättyy symboliin dt, pitää integroimisrajojen olla samaa suuretta eli aikaa t. Integroimisrajat ovat siis t1 ja t2.
      3) Jos taas integroimismerkki päättyy symboliin dN ja N=N(t) eli N on riippuva muuttuja, pitää integroimisrajojen olla samaa suuretta kuin se muuttujan, jonka suhteen integroidaan. Niinpä nyt integroimisrajat ovat N1 = N(t1) ja N2 = N(t2).
      4) Niinpä antamassasi kehittelyssä pitäisi neljännellä ja viidennellä rivillä olla integroimisrajat N1 = N(t1) ja N2 = N(t2), koska integroimismerkki päättyy neljännellä rivillä symboliin dN = dN(t). Siinä on siis pieni virhe. Muistisääntö on siis se, että integroimisrajat ja integroimismerkin loppusymboli (eli tieto siitä, minkä muuttujan suhteen integroidaan) pitää olla samaa suuretta, tässä tapauksessa kaikki joko aikaa t tai kaikki joko lukumäärää N = N(t). JOS sovelletaan integrointia sijoituksen avulla, muuttuvat sekä se muuttuja, jonka suhteen integroidaan (tässä tehtävässä integroimismerkinnässä nyt dt -> dN) että MYÖS integroimisrajat t1 -> N(t1) ja t2 -> N(t2). Kun viidennellä rivillä suoritetaan sijoitus, sijoitetaan funktion ln(N(t)) sisälle integroimisrajat ja saadaan ln(N(t2)) - ln(N(t1)). Voitaisiin MERKITÄ myös seuraavasti:

      sij(N1, N2) ln(N) = sij(N1, N2) ln(N(t)) = sij(N(t1)), N(t2))) ln(N) = sij(N(t1), N(t2))) ln(N(t))

      Makuasia siis, mitä merkintää haluaa käyttää.

      Mutta muuten olet tehnyt aivan oikein. Muista vaan aina automaattisesti varmistaa, että integroimisrajat ovat samaa suuretta kuin mitä on integroimismuuttuja (eli se muuttuja, jonka suhteen integroidaan). Tämä voidaan oikeastaan tehdä aina rutiininomaisesti sen kummemmin asiaa miettimättä. Pitää vain muistaa, onko integroimismuuttuja riippumaton muuttuja, kuten t, vai riippuva muuttuja, kuten N = N(t). Niinpä integroimisrajat ovat joko riippumattomia muuttujia t1 ja t2 tai riippuvia muuttujia, kuten N1 = N(t1) ja N2 = N(t2).


    • Anonyymi kirjoitti:

      1) Kannattaa tutkia, mikä muuttuja on riippumaton ja mikä riippuva muuttuja. Tässä tehtävässä t on riippumaton muuttuja ja N=N(t) on riippuva muuttuja eli t:n funktio.
      2) Jos integroidaan t:n suhteen eli jos integraalimerkintä päättyy symboliin dt, pitää integroimisrajojen olla samaa suuretta eli aikaa t. Integroimisrajat ovat siis t1 ja t2.
      3) Jos taas integroimismerkki päättyy symboliin dN ja N=N(t) eli N on riippuva muuttuja, pitää integroimisrajojen olla samaa suuretta kuin se muuttujan, jonka suhteen integroidaan. Niinpä nyt integroimisrajat ovat N1 = N(t1) ja N2 = N(t2).
      4) Niinpä antamassasi kehittelyssä pitäisi neljännellä ja viidennellä rivillä olla integroimisrajat N1 = N(t1) ja N2 = N(t2), koska integroimismerkki päättyy neljännellä rivillä symboliin dN = dN(t). Siinä on siis pieni virhe. Muistisääntö on siis se, että integroimisrajat ja integroimismerkin loppusymboli (eli tieto siitä, minkä muuttujan suhteen integroidaan) pitää olla samaa suuretta, tässä tapauksessa kaikki joko aikaa t tai kaikki joko lukumäärää N = N(t). JOS sovelletaan integrointia sijoituksen avulla, muuttuvat sekä se muuttuja, jonka suhteen integroidaan (tässä tehtävässä integroimismerkinnässä nyt dt -> dN) että MYÖS integroimisrajat t1 -> N(t1) ja t2 -> N(t2). Kun viidennellä rivillä suoritetaan sijoitus, sijoitetaan funktion ln(N(t)) sisälle integroimisrajat ja saadaan ln(N(t2)) - ln(N(t1)). Voitaisiin MERKITÄ myös seuraavasti:

      sij(N1, N2) ln(N) = sij(N1, N2) ln(N(t)) = sij(N(t1)), N(t2))) ln(N) = sij(N(t1), N(t2))) ln(N(t))

      Makuasia siis, mitä merkintää haluaa käyttää.

      Mutta muuten olet tehnyt aivan oikein. Muista vaan aina automaattisesti varmistaa, että integroimisrajat ovat samaa suuretta kuin mitä on integroimismuuttuja (eli se muuttuja, jonka suhteen integroidaan). Tämä voidaan oikeastaan tehdä aina rutiininomaisesti sen kummemmin asiaa miettimättä. Pitää vain muistaa, onko integroimismuuttuja riippumaton muuttuja, kuten t, vai riippuva muuttuja, kuten N = N(t). Niinpä integroimisrajat ovat joko riippumattomia muuttujia t1 ja t2 tai riippuvia muuttujia, kuten N1 = N(t1) ja N2 = N(t2).

      No jo tuli hölötystä. Et näytä ymmärtäneen mitään jo annetuista selkeistä ratkaisuista.



    • Anonyymi kirjoitti:

      Oliko tämä nyt oikein vai ei? Yksi sanoo, että integroimisrajat täytyy muuttaa, toinen sanoo että ei täydy...

      latex-kaavan auki kirjoittamista varten
      https://www.tutorialspoint.com/latex_equation_editor.htm

      "Onko tämä nyt oikein vai ei?"

      Tämä esimerkki (hajoamislaki) on (sattumalta) huono esimerkki siksi, että tässä ERIKOISTAPAUKSESSA voidaan joko muuttaa integroimisrajat tai sitten ei. Tämä johtuu siitä, että tässä erikoistapauksessa INTEGROITAVA voidaan lausua tiettynä DERIVAATTANA muuttujan t suhteen, jolloin integraalifunktio on suoraan tutkittu funktio itse. KATSO tämän viestiketjun vastaukset 9:40 ja 12:31 edeltä.

      YLEISESSÄ tapauksessa näin ei kuitenkaan voida menetellä, vaan integroimismuuttujan ja siten myös integroimisrajojen muuttaminen on lähes välttämätöntä tai ainakin se helpottaa tehtävän käsittelyä merkittävästi.


  • Hajoamisnopeus on täysin älytön termi koska kaikki ytimet hajoavat samalla nopeudella eikä se vaikuta asiaan millään lailla.

    • dN/dt = -n N

      dN/dt on hajoamisnopeus. Se riippuu ytimien määrästä N(t).

      n (yleensä lamda) on ydin- ja reaktiokohtainen hajoamisvakio, joka on hajoamistodennäköisyys aikayksikköä kohti. Siis n*dt on todennäköisyys sille, että hajoaminen tapahtuu aikavälillä t, t+dt.


    • Anonyymi kirjoitti:

      dN/dt = -n N

      dN/dt on hajoamisnopeus. Se riippuu ytimien määrästä N(t).

      n (yleensä lamda) on ydin- ja reaktiokohtainen hajoamisvakio, joka on hajoamistodennäköisyys aikayksikköä kohti. Siis n*dt on todennäköisyys sille, että hajoaminen tapahtuu aikavälillä t, t+dt.

      Täsemällisemmin ilmaistuna:
      Siis n*dt on todennäköisyys sille, että hetkeen t mennessä ei vielä hajonneen ytimen hajoaminen tapahtuu aikavälillä t, t+dt.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Täsemällisemmin ilmaistuna:
      Siis n*dt on todennäköisyys sille, että hetkeen t mennessä ei vielä hajonneen ytimen hajoaminen tapahtuu aikavälillä t, t+dt.

      Ja vielä täsmällisemmin:

      Hajoamislaki dN/dt = - n t on kyllä täysin deterministinen laki eikä sillä ole todennäköisyyksien kanssa mitään tekemistä.

      Radioaktiivista hajoamista voidaan kyllä esittää stokastisen prosessin avulla. Kyseessä on ns. Poisson-prosessi. Tällöin voidaan puhua todennäköisyyksistä.


    • Anonyymi kirjoitti:

      dN/dt = -n N

      dN/dt on hajoamisnopeus. Se riippuu ytimien määrästä N(t).

      n (yleensä lamda) on ydin- ja reaktiokohtainen hajoamisvakio, joka on hajoamistodennäköisyys aikayksikköä kohti. Siis n*dt on todennäköisyys sille, että hajoaminen tapahtuu aikavälillä t, t+dt.

      Tuo on hajoamistaajuus. Yksikkö 1/s. Nopeuden kanssa sillä ei ole mitään tekemistä.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ja vielä täsmällisemmin:

      Hajoamislaki dN/dt = - n t on kyllä täysin deterministinen laki eikä sillä ole todennäköisyyksien kanssa mitään tekemistä.

      Radioaktiivista hajoamista voidaan kyllä esittää stokastisen prosessin avulla. Kyseessä on ns. Poisson-prosessi. Tällöin voidaan puhua todennäköisyyksistä.

      Sillä nimen omaan on tekemistä todennäköisyyden kanssa. Ajattelepa, että simulla on vain muutama ydin ja tehtävänä määrittää tuo hajoamisvakio kokeellisesti. Ei onnistu. Kun ytimiä on paljon, saadaan hajoamisvakio määritettyä riittävällä tarkkuudella.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Sillä nimen omaan on tekemistä todennäköisyyden kanssa. Ajattelepa, että simulla on vain muutama ydin ja tehtävänä määrittää tuo hajoamisvakio kokeellisesti. Ei onnistu. Kun ytimiä on paljon, saadaan hajoamisvakio määritettyä riittävällä tarkkuudella.

      Kyllä tuo esitetty kaava on täysin deterministinen. Sotket asian siihen, että hajoamista voi esittää myös Poisson-prosessilla kuten jo aiemmin sanoin.

      En kommentoi enempää.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Tuo on hajoamistaajuus. Yksikkö 1/s. Nopeuden kanssa sillä ei ole mitään tekemistä.

      Olen tottunut siihen, että df/dt on funktion f(t) muutosnopeus. Muutostaajuus kuulostaisi erikoiselta ilmaisulta.

      Tästä juotuu käyttämäni termi hajoamisnopeus. Hajoaminen viittaa siihen, että kyseesä on ydinten määrän N(t) muutosnopeus.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Kyllä tuo esitetty kaava on täysin deterministinen. Sotket asian siihen, että hajoamista voi esittää myös Poisson-prosessilla kuten jo aiemmin sanoin.

      En kommentoi enempää.

      Itse kaava on toki deterministinen, mutta hajoamisvakio on todennäköisyys aiakyksikköä kohti. Ytimen hajoaminen on satunnainen prosessi.

      Ehkä tässä ei mitään erimielisyyttä lopulta ollutkaan.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Ja vielä täsmällisemmin:

      Hajoamislaki dN/dt = - n t on kyllä täysin deterministinen laki eikä sillä ole todennäköisyyksien kanssa mitään tekemistä.

      Radioaktiivista hajoamista voidaan kyllä esittää stokastisen prosessin avulla. Kyseessä on ns. Poisson-prosessi. Tällöin voidaan puhua todennäköisyyksistä.

      Tuli tuohon kirjoitusvirhe joten kommentoin vielä. Laki on tietenkin

      N'(t)/N(t) = - n
      Tämä on aivan tavallinen funktion N(t) differentiaaliyhtälkö ja siis ihan deterministinen.

      Tämä on tietysti approksimaatio sillä hajoamiset ovat diskreettejä tapahtumia eikä jatkuva prosessi (jatkuva funktio). Poisson-prosessi kuvaa sitten sitä oikeata, stokastista , tapahtumaketjua.Olkoon tämän intensiteetti (kts. Wikipedia: Poisson process) k.

      Poisson-prosessissaa P(N(t) = n) = (kt)^n /n! e^(- kt) ja E(N(t)) = kt.

      Tuo n oli nyt tapahtumien lukumäärä eikä tuo deterministisen lain n.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Olen tottunut siihen, että df/dt on funktion f(t) muutosnopeus. Muutostaajuus kuulostaisi erikoiselta ilmaisulta.

      Tästä juotuu käyttämäni termi hajoamisnopeus. Hajoaminen viittaa siihen, että kyseesä on ydinten määrän N(t) muutosnopeus.

      Voithan sinä tottua väittämään ihan mitä tahansa. Tai keksiä jotain ihan muuta huuhaata.
      Taajuus on tapahtuma per aika. Nopeus on matka per aika.
      Taajuus on diskreetti ilmiö mitä nopeus ei ole. Kilometripylväiden ohittaminen ei ole nopeus vaan taajuus.


    • Anonyymi kirjoitti:

      Voithan sinä tottua väittämään ihan mitä tahansa. Tai keksiä jotain ihan muuta huuhaata.
      Taajuus on tapahtuma per aika. Nopeus on matka per aika.
      Taajuus on diskreetti ilmiö mitä nopeus ei ole. Kilometripylväiden ohittaminen ei ole nopeus vaan taajuus.

      Pitäisikö tuokin https://www.telia.fi/kauppa/kodin-netti/tee-nopeustesti nimetä uudelleen tajuustestiksi.

      En jatka enemää saivartelua kaltaistesi kanssa.


suomi24-logo

Osallistu keskusteluun

Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

Luetuimmat keskustelut

  1. Maisa menee naimisiin

    Seiska julkaisi että Maisa menee sittenkin naimisiin. Maisalla olisi nyt vauva ja olisi Jm kanssa naimisissa jos ei keskenmenoa olisi tullut . Olisiko
    91
    3373
  2. Mistä Trumpia syytetään?

    Kertokaas nyt tällaiselle politiikasta tietämättömälle se. Onko se tehnyt Ukrainan presidentin kanssa jonkun salaisen sopimuksen missä Ukraina tuhotaa
    Maailman menoa
    77
    509
  3. Martinan virheelliset ravitsemusneuvot

    Tänään antaa vinkkejä sitruunavedestä, jonka teksti "lainattu" mtv3-sivulta, jossa sentään on mainittu lähde(toisin kun Martinalla) Toisekseen sitruun
    34
    382