Heittokone sinkoaa kappaleen 170m päähän. Kappaleen massa 45kg ja oletettu heittokulma 45 astetta vaakatasoon nähden.
Kuinka laskea tästä kappaleen liike-energia heti sen lähdettyä lentoon?
Kuinka laskea tästä kappaleen liike-energia heti sen lähdettyä lentoon?
Vastaukset 14
Vanhimmat
No sillai, että lasket ensin lähtönopeuden jolla kappale lentää kuvatun matkan, sitten se nopeus ja massa riittää liike-energian määrittämiseen.
Kuinkas nuilla arvoilla sen saat terveisin sivustaseuraaja
Sillai että se matka jonka möykky lentää on lähtönopeuden vaakakomponentti kertaa aika, ja aika taas on se, kuinka kauan pystykomponentin nopeus riittää siihen, kun möykky tulee korkeuksista takaisin maan pinnalle.
Eli lasketaan kulmasta x- ja y-komponentit nopeudelle ja tutkitaan molempia erillään.
Vinkki: vektorilaskenta.
Annetuilla tiedoilla ei ole muuta vaihtoehtoa kuin olettaa, ettei ilmanvastusta tarvitse huomioida, joten ratkaisu on juuri niin helppo kuin joku tuossa edellä jo kuvailikin.
eli kaavana olisi v_o=sqrt((matka*g)/(2*sin45))??
Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Tehtävän mittakaavassa gravitaatiota voidaan pitää vakiona, F = mg, missä m = massa = 45 (kg) ja g = 9,81(m/s^2).
Tutkitaan liikettä i,j-koordinaatistossa missä j on suunta ylöspäin.Kappaleen nopeus hetkellä t on V(t).Vaakasuoraan suuntaan kappale kulkee matkan s = 170 (m). Alkunopeuden V(0) itseisarvo = v.
Alkunopeus V(0) = v cos(45) i v sin(45) j = v/sqrt(2) (i j)
Vaakasuoraan nopeuteen ei vaikuta mitään voimaa joten se on koko ajan tuo v/sqrt(2) i.
Pystysuora nopeus on Vp(t) =( v/sqrt(2) - gt) j. Lakikorkeudessa Vp(t) = 0 joten silloin t = v/(g sqrt(2)). Alastuloon kuluu sama aika kuin yös lakikorkeuteen menoon eli kokonaislentoaika on T = v sqrt(2) / g. Tässä ajassa kappale lentää vaakasuoraan matkan s = v/sqrt(2)*v sqrt(2)/g = v^2/g.
v^2 = g s ja kysytty liike-energia
W(0) = 1/2 m v^2 = 1/2 m g s
Tarkastellaan vielä energiaperiaatteella.Energia säilyy joten alun kokonaisenergia = energia lakikorkeudessa h.
1/2 m v^2 = mgh 1/2 m v^2/2 joten h = v^2/(4g)
Toisaalta h = v/sqrt(2)* v/(g sqrt(2)) - 1/2 g (v/(g sqrt(2))^2 = v^2/(2g) - v^2/(4g) =
v^2/(4g). Tähän ylösmenoon kuluu aika t:
h= v/sqrt(2) t - 1/2 g t^2 = v^2/(4g) josta t = v/(g sqrt(2)) kuten edellä jo saatiin.
Tälleenkin jotkut laskee.
Lentoaika t= 2Vp/g (Vp=pystynopeus), ja t*Vv = 170 m
(Vv = vaakanopeus).
Siinä kaikki, lisäksi tässä Vp ja Vv ovat yhtä suuria.
Eli tuo liike-energia on mgs/4.
Tarkemmin katsoen taitaa olla m*g*s/2. Kun lähtökulma on alussa 45 astetta, ovat pysty- ja vaakanopeudet alussa samat, merkataan v. Merkataan t aikaa, jossa nousee lakikorkeuteen, silloin v=g*t. Kappale etenee vaakanopeudella v ajan 2*t, joten matka s=2*v*t. Noista saadaan:
s=2*v^2/g, joten v=sqrt(g*s/2). Koska lähtönopeus oli v*sqrt2, on liike-energia
m*v^2 = m*g*s/2.
Seuraavaksi voisi vielä osoittaa, että 45 asteen kulma on optimi, kun ilmanvastusta ei huomioida.
Ilmanvastuksen huomioiminen onkin sitten jo tykkimiehiksi tähtäävien heiniä.
Tähän https://fi.wikipedia.org/wiki/Vilho_Nenonen tyyliin.
Olkoon lähtönopeuden V(0) itseisarvo l V(0) l = v. Lähtökulma = u.
V(0) = v cos(u) i v sin(u) j
V(t) = v cos(u) i ( v sin(u) - gt) j
Lentoaika T = 2 v sin(u) / g
Vaakasuora ammuksen kulkema matka S = v cos(u) T = 2 v/g sin(u) cos(u) = v/g sin(2u).
S saa maksimin kun u = pii/4 = 45 astetta.