Amk valintakoe tehtävä 2019

Merkitään kierroksen pituutta x:llä ja kilpailijoiden nopeuksia v_A ja v_B.
Aika, jossa A kulkee kierroksen on x / v_A. Tällöin B on kulkenut x-90, joten

x-90 = (x/v_A) * v_B

Aika, jossa B kulkee kierroksen on x/v_B. Tällöin A:n kulkema matka on

x 100 = (x/v_B) * v_A

Meillä on nyt kaksi yhtälöä ja kolme tuntematonta. Mutta huomataan, että kummassakin yhtälössä on nopeuksien suhde (toisessa käänteisluku), joten ottamalla muuttujaksi y = v_B/v_A päästään yhtälöpariin

x-90 = xy
x 100 = x/y

Kerrotaan alempi puolittain y:llä ja sijoitetaan ylemmästä xy siihen, jolloin

x-90 100y = x, josta saadaan y = 90/100. Ja sitten voidaankin ratkaista (esim. ylemmästä)

x = 90 / (1-90/100) = 900.

Jos se oli lopun 90 m:ä hiihdettyään jäänyt 10 m lisää, niin eiköhän tuo 90 m:n ero ole tullut 900 m:n kierroksella.

Vai kysyttiinkö kaavaa?

Kierroksen pituus = k. A hiihtää x-kertaisen matkan B:hen verrattuna.
k = x (k-90) = xk - 90 x
k 100 = x k

k = xk-90 x = xk - 100
x = 10/9
k = 10/9 (k-90) = 10/9 k - 100
k/9 = 100
k = 900

a hiihti 100 m matkalla 10 m enemmän kuin b. Siten b:n hiitonopeuden suhde a:n hiihtonopeuteen k = 90/100 = 0,9.
Samassa ajassa kuljettu matka on suhteessa hiihtonopeuteen. Jos kierroksen pituus on x, saadaan:
x/(x 100) = k ; x = 900.

Otetaan vielä yksi ratkaisutapa. a ja b hiintämien matkojen suhde aikaväleillä kun 1) a hiihtää 100 m ja 2) b hiihtää kierroksen.
100/90 = (x 100)/x
Vastaukseksi tuostakin 900 m.