Mites tämmöset tehtävät ratkaistaan?
1. Oletetaan, että erään pikaruokaketjun tuotteiden kaikkien normaalikokoisten pikaruokaannosten proteiinimäärän (100 grammassa tuotetta) jakauma on normaalijakauma, jonka odotusarvo on 9.04 g ja keskihajonta on 2.99 g.
a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu annos sisältää proteiinia vähintään 11 g (sadassa grammassa) tuotetta?
b) Mikä on sadan gramman ruoka-annosten proteiinimäärän yläkvartiili? Entä alakvartiili?
2. Ammatillisessa oppilaitoksessa on valmistuneille töitä välittävä toimisto. Usean vuoden kuluessa on havaittu, että toimisto on välittänyt töitä n. 70 %:lle valmistuneista opiskelijoista. Jos tänä keväänä valmistuu 150 opiskelijaa, niin kuinka suurella todennäköisyydellä toimiston onnistuu löytää työpaikka vähintään kahdelle kolmasosalle? (Voit approksimoida!)
1. Oletetaan, että erään pikaruokaketjun tuotteiden kaikkien normaalikokoisten pikaruokaannosten proteiinimäärän (100 grammassa tuotetta) jakauma on normaalijakauma, jonka odotusarvo on 9.04 g ja keskihajonta on 2.99 g.
a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu annos sisältää proteiinia vähintään 11 g (sadassa grammassa) tuotetta?
b) Mikä on sadan gramman ruoka-annosten proteiinimäärän yläkvartiili? Entä alakvartiili?
2. Ammatillisessa oppilaitoksessa on valmistuneille töitä välittävä toimisto. Usean vuoden kuluessa on havaittu, että toimisto on välittänyt töitä n. 70 %:lle valmistuneista opiskelijoista. Jos tänä keväänä valmistuu 150 opiskelijaa, niin kuinka suurella todennäköisyydellä toimiston onnistuu löytää työpaikka vähintään kahdelle kolmasosalle? (Voit approksimoida!)
Vastaukset 3
Vanhimmat
Tässä on siis normaalijakauma jonka odotusiarvo m = 9,04 ja hajonta s = 2,99.
Tämän kertymäfunktio on P( X <= x) = F((x - m ) / s) missä siis F on normeeratun normaalijakauman kertymäfunktio, jonka arvoja löytyy taulukoista.
a) Kysytty tn = P(X >= 11) = 1 - P(X <= 11) = 1 - F((11 - 9,04)/2,99)
b) Yläkvartiili on piste x(0,75) jossa P(X <= x(0,75)) = 3/4.
Alakvartiili on piste x(0,25) jossa P(X <= x(0,25)) = 1/4.
Eli etsit normaalijakauman kertymäfunktion taulukosta pisteet x(0,75) ja x(0,25) joissa
F((x(0,75) - 9,04)/2,99) = 0,75
ja
F((x(0,25) - 9,04)/2,99) = 0,25.
Huomaa, että P(X> x ) = 1 - P(X <= x) joten yläkvartiilissa tn että X > x(0,75) = 0,25.
Lisäys: Tuossa toisessa tehtävässä ei ole annettu jakaumaa, ainoastaan odotusarvo. Riippuu ja satunnaismuuttujan jakaumasta ja sen nhajonnasta mitä arvoja voisi saada.Ei voi laskea ilman mitään oletusta näistä.
Olin eilen vähän hätäinen. Kyllä tämän voi laskea.
Binomikerroin B(n,m) = n! / (m! (n-m)!) ilmaisee kuinka monella eri tavalla n:stä eri alkiosta voidaan poimia m eri alkiota.
Jos jonkin tapahtuman tn = p ja tn että se ei tapahdu on siis 1 - p niin tn että täsmälleen m kappaletta tapahtuu on
P(m) = B(n,m) * p^m * (1-p)^(n-m). Tämä on binomijakauma.
Tehtävässä p = 0,70 ja n = 150. P(vähintään 100 saa työtä) =
P(100 <= m <= 150) = Summa(100 <= m <= 150) B(150,m) * 0,70^m * 0,30^(150 -m).
Tämän voi laskea esim. approksimoimalla binomijakaumaa normaalijakauman avulla. Jos F(x) on normeeratun normaalijakauman kertymäfunktio niin käytetään väliä (100 - 1/2 , 150 1/2) ja
P(100 <= m <= 150) = F((150 1/2- 150*0,70) /sqrt(150*0,70*0,30)) - F((100-1/2 - 150*0,70)/sqrt(150*0,70*0,30))
Nyt tarvitset taulukon tai jotain josta löytyvät F-funktion arvot.
Tuota approksimaatiota en tässä ryhdy selittämään, tulee muuten liian pitkä juttu. Löytyy oppikirjoista.