Kompleksiluku esimerkkejä:
Kompleksiluku: 2 + 7i
Reaaliosa: 2
Imaginääriosa: 7
Reaaliluku: 8
Imaginääriluku: 9i
Kompleksilukujen yhteenlasku: (2 + 7i) + (3 + 5i) = 5 + 12i
Kompleksilukujen kertolasku: (3 + 4i) * (2 - 7i) = [3*2 - 4*(-7)] + [3*(-7) + 4*2] i
= 34 - 13i
Kompleksilukujen jakolasku: (5 + 2i) / (4 + 3i) = [(5 + 2i) * (4 - 3i)] / [16 + 9]
= [(20 + 6) + (8 - 15)i] / [25]
= 26/25 - 7/25i
Toisen asteen yhtälö: 2x^2 + 5x + 9 = 0
x = (-5 +|- sqrt( 25 - 4 * 2 * 9) ) / (2*2)
= (-5 +|- sqrt(47 )) / 4
= (-5 +|- 6.85i) / 4
= -5 +|- 6.85i / 4
Kompleksiluvun summamuoto: 2 + 8i
Saman kompleksiluvun osoitinmuoto = 8.246 kulma 75.96
Kompleksiluku: 2 + 7i
Reaaliosa: 2
Imaginääriosa: 7
Reaaliluku: 8
Imaginääriluku: 9i
Kompleksilukujen yhteenlasku: (2 + 7i) + (3 + 5i) = 5 + 12i
Kompleksilukujen kertolasku: (3 + 4i) * (2 - 7i) = [3*2 - 4*(-7)] + [3*(-7) + 4*2] i
= 34 - 13i
Kompleksilukujen jakolasku: (5 + 2i) / (4 + 3i) = [(5 + 2i) * (4 - 3i)] / [16 + 9]
= [(20 + 6) + (8 - 15)i] / [25]
= 26/25 - 7/25i
Toisen asteen yhtälö: 2x^2 + 5x + 9 = 0
x = (-5 +|- sqrt( 25 - 4 * 2 * 9) ) / (2*2)
= (-5 +|- sqrt(47 )) / 4
= (-5 +|- 6.85i) / 4
= -5 +|- 6.85i / 4
Kompleksiluvun summamuoto: 2 + 8i
Saman kompleksiluvun osoitinmuoto = 8.246 kulma 75.96
Vastaukset 5
Vanhimmat
Logaritmi (päähaara):
log(2 + 7i)
= ln |2+7i| + i*Arg(2+7i)
= ln(sqrt(53)) + arctan(7/2)*i
Kosini:
cos(2+7i)
= (e^(i*(2+7i)) + e^(-i*(2+7i)))/2
= e^(-7)*(cos(2)+i*sin(2)) + e^7*(cos(-2)+i*sin(-2))/2
= (e^7+e^(-7))/2*cos(2) - (e^7- e^(-7))/2*sin(2) * i
= -228,18 - 498,58*i
Sievennetäänpä a = (e^(pi/6*i) - e^(pi/2*i)) / (1 - e^(2*pi/3*i)).
a = (e^(pi/6*i) - e^(pi/2*i)) / (1 - e^(2*pi/3*i))
a = e^(pi/2*i)*(e^(-pi/3*i) - 1) / ((1 - e^(pi/3*i)) * (1 + e^(pi/3*i)) )
a = e^(pi/6*i) / (1 + e^(pi/3*i))
a = e^(pi/6*i) * (1+e^(-pi/3*i)) / abs(1 + e^(pi/3*i))^2
a = (e^(pi/6*i)+e^(-pi/6*i)) / ((1+cos(pi/3))^2 + sin(pi/3)^2)
a = 2*cos(pi/6) / ( (1+1/2)^2 + 3/4 )
a = 2*(sqrt(3)/2) / 3
a = sqrt(3)/3
a = 1/sqrt(3)
(cos(pii/6) + i sin(pii/6) - i) / (1- cos(2 pii/3) - i sin(2 pii/3)) =
(cos(pii/6) + i (sin(pii/6) - 1)) /(1 - cos(2 pii/3) - i sin(2 pii/3)) =
(0,866 - 1 /2 i) /( 1/2 - i 0,866)
Eipä tainnuty tulla reaalilukua 1/sqrt(3) tästä!
(Toiselta riviltä kolmanteen siirryttäessä nimittäjässä)
1 - cos(2 pii/3) = 3/2, joten siitä tulee
(0,866 - 1 /2 i) /( 3/2 - i 0,866)
= (sqrt(3)/2 - i/2) /( 3/2 - sqrt(3)/2*i)
= 1/sqrt(3)
Niinpä on. Tuli minulle laskuvirhe.