Log2 (eli logaritmi alapikkukakkosella ;) )

Logaritmeilla laskeminen

Potenssien tapaan logaritmitkin ovat oiva työkalu tietyntyyppisten asioiden käsittelyyn. Logaritmien avulla voidaan suuria lukuja ikään kuin pienentää tai pieniä lukuja ikään kuin suurentaa.

Esim. 1 000 000 000 = 10^9 lg(1000000000) = lg(10^9) = 9
0,00000001 = 10^(-8) lg(0,00000001) = lg^[10(-8)] = -8

Logaritmijärjestelmän kantaluku k voi siis olla mikä tahansa reaaliluku, kunhan se on positiivinen ja eri suuri kuin 1. Jos käytetään kantalukua 10, niin silloin puhutaan Briggsin logaritmeista ja käytetään omaa merkintää 10´log(x) = lg(x). Usein käytetään kantalukuna ns. Neperin lukua e. Tällöin puhutaan luonnollisista logaritmeista ja käytetään merkintää e´log(x) = ln(x).

Neperin luku e määritellään raja-arvona lim(kun n lähestyy ääretöntä)(1 1/n)^n = 2,718

Logaritmeille esitetään kolme laskukaavaa: tulon logaritmi, osamäärän logaritmi ja potenssin logaritmi.

Aluksi tarkastellaan tulon logaritmia. Olkoon

k´log(x1) = y1 eli x1 = k^y1

k´log(x2) = y2 eli x2 = k^y2

Tällöin x1*x2 = k^y1*k^y2 = k^(y1 y2)

Soveltamalla nyt logaritmin määritelmää: luvun x1*x2 k-kantaisella logaritmilla tarkoitetaan sitä lukua, johon kantaluku k on korotettava, että saataisiin luku x1*x2, voidaan siis kirjoittaa.

k´log(x1*x2) = y1 y2 = k´log(x1) k´log(x2) ja näin tulon logaritmin laskukaava (6) on saatu valmiiksi.

(6) k´log(x1*x2) = k´log(x1) k´log(x2)

Sanallinen tulkinta on nyt seuraavanlainen: tulon logaritmi on sama, kuin tulontekijöiden logaritmien summa.

Esim. lg(a*b*c) = lg(a) lg(b) lg(c)

Sitten vuorossa on osamäärän logaritmin tarkastelu, joka on analogisesti aivan samanlainen kuin edellä. Olkoon taas.

k´log(x1) = y1 eli x1 = k^y1

k´log(x2) = y2 eli x2 = k^y2

Nyt x1/x2 = k^y1/k^y2 = k^(y1-y2)

Sovelletaan logaritmin määritelmää kuten edelläkin ja niin voidaan kirjoittaa.

k´log(x1 / x2) = y1 - y2 = k´log(x1) - k´log(x2) ja näin seuraava laskukaava (7) on saatu valmiiksi.


(7) k´log(x1 / x2) = k´log(x1) – k´log(x2)


Tällä kertaa tulkitaan näin: osamäärän logaritmin voi laskea vähentämällä jaettavan logarit-mista jakajan logaritmi.

Esim. lg(a / bc) = lg(a) – lg(b) – lg(c)


Lopuksi potenssin logaritmi. Olkoon taas k´log(x) = y eli x = k^y

Tällöin x^m = (k^y)^m = k^(y*m)

Nytkin sovelletaan logaritmin määritelmää näin: luvun x^m k-kantaisella logaritmilla tarkoitetaan sitä eksponenttia, johon kantaluku k on korotettava, että saataisiin luku x^m eli niinpa jälleen voidaan kirjoittaa.

k´log(x^m) = k´log[k^(y*m)] = y*m = m*y = m*k´log(x)

Näin saatiin kaava (8).

(8) k´log(x^m) = m*k´log(x)

Sanallinen selitys voitaisiin nuotoilla näin: potenssimerkinnän logaritmi voidaan laskea kertomalla potenssimerkinnän kantaluvun logaritmi potenssimerkinnän eksponentilla.

Esim. lg[(a/b)^5] = 5*1g(a/b) = 5*[lg(a) – lg(b)] = 5*lg(a) - 5*lg(b)

Potenssit ja logaritmit on käsittääkseni nyt selvitetty siinä laajuudessa, että valmiudet desibelien matematiikkaan siirtymiseen ovat olemassa. Toivotan hyvää matkaa eteenpäin niin itselleni kuin kaikille, jotka tätä tekstiä lukevat.