matematiikkaa..

Oikein olet derivoinut. Sitten vain etsit derivaatan nollakohdat. Teoriaa tämän takana, toivottavasti osaan selittää järkevästi...

Kun funktion derivaatta on 0, on funktion kulmakerroin kyseisessä kohdassa 0. Eli funktion kuvaajassa on notko, kukkula tai porras. Jossain tällaisessa kohdassa funktio saa suurimman tai pienimmän arvonsa. Onko tuo selvää miksi?

Kun olet ratkaissut derivaatan nollakohdan/kohdat, niin sijoitat ne alkuperäiseen yhtälöön, ja saat funktion arvon. Näistä pienin on funktion pienin arvo.

Jos joku huomaa pahoja virheitä niin korjailkaa. :) Lukiomatikasta on aikaa jonkun verran ja nykyisestä matikasta en enää mitään ymmärrä.

f'(x)=e-e^-x
f'(x)=0 kun x=-1
eli f(-1)=0
funktion pienin arvo on 0.

Eli funktion f(x) = ex exp(-x) pienin arvo menee juurikin näin...

f(x) = ex exp(-x) on jatkuva ja derivoituva määrittelyjoukossaan (eli koko reaalilukujen joukko)

Derivoidaan:

f'(x) = d/dx (ex exp(-x)) = d/dx ex d/dx exp(-x)

Tuossahan on kyseessä summa joten termit voidaan derivoida erikseen. Luku e on vakio joten se voidaan siirtää derivointioperaattorin toiselle puolelle:

f'(x) = e d/dx x d/dx exp(-x)

Ketjusäännöllä tuo exp(-x):

f'(x) = e - exp(-x)

Fermat: funktion suurin ja pienin arvo derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Tässä rajoitumme tarkastelemaan derivaatan nollakohtia.

eli:

f'(x) = 0

e - exp(-x) = 0

-exp(-x) = -e

Ekvivalentisti voimme kertoa -1:llä puolittain:

exp(-x) = e

Nyt otetaan puolittain yhtälöstä ln (e-kantainen logaritmi, eksponenttifunktion käänteisoperaatio)

ln exp(-x) = ln e

missä ln e = 1 ja vakion siirtosäännöllä voimme ottaa -x:n pois eksponentista:

-x ln e = 1

edelleen ln e = 1 ...

-x = 1

Ja lopuksi kerromme -1:llä puolittain:

x = -1.

Nyt on tiedossa derivaatan nollakohta, merkkitarkastelusta näemme että kyseessä on funktion selvästi pienin arvo. Tämä pienin arvo saadaan sijoittamalla x = -1 alkuperäiseen funktioon:

f(-1) = e * (-1) exp(-(-1)) = -e e = 0.