Jos f on kuvaus X -> Y ja |X| = 0, niin f on tyhjä kuvaus. Miksi f on tällöin injektio? Onko määrittelykysymys vai onko tuo jotenkin todistettavissa?
tyhjä kuvaus
kesäopiskelija
11630
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Kuvaus f:X->Y on joukkona XxY osajoukko. Siis f on XxY osajoukko.
Erityisesti f voi olla O joukko (O tyhjä joukko)
Vastaoletus f ei ole injektio eli on olemassa alkiot (x1,y) ja (x2,y) f:ssä (ja x1=/=x2). Ristiriita sillä f=O. Siis f on injektio.
"Vastaoletus f ei ole injektio eli on olemassa alkiot (x1,y) ja (x2,y) f:ssä (ja x1=/=x2). Ristiriita sillä f=O. Siis f on injektio."
Näin sitä itsekin pähkäilin, mutta tuntuu hölmöltä lähteä vastatodistuksessa tilanteesta "pitää olla vastaesimerkki" kun kuvaus on *tyhjä*. Voiko tämän ajatella siis olevan määrittelykysymys?
Eli tyhjälle joukolle pätee mitä vain, koska siinä ei ole alkioita? Joukko O ei ole injektio, koska jos olisi, niin kaikilla x1, x2 in X, ehdosta x1 =/= x2 seuraisi f(x1) =/= f(x2), mutta koska alkioita x1 ja x2 ei voida valita, niin O ei ole injektio? (en ymmärrä miten vastaesimerkin olemassaolemattomuutta voi käyttää kun kyseessä on tyhjä joukko...)
Vai onko tässä kyse siitä, että injektio on kuvauksen ominaisuus ja vastaesimerkki olisi yksittäisten alkioiden perusteella rakennettu (joita ei siis ole)?
Mikä on sinun injektion määritelmäsi.
Yleisesti injektio menee
Kaikille x1,x2 X:ssä ja x1=/=x2 f(x1)=/=f(x2)
Jos X=O, niin väite pitää paikkansa jokaiselle x1,x2 jotka kuuluvat X, sillä sellaisia ei ole.
Jos ei injektio niin
On olemassa sell. x1,x2 X:ssä x1=/=x2 että f)x1)=f(x2)
Jos X=O, niin väitämme että X:llä olisi alkioita, mikä mahdotonta.
Eli yleisestikin
Kaikilla x O:ssä P(x) (olipa predikaatti P mikä vain, niin väite on tosi)
Ja
On olemassa x O:ssä P(x) (on epätosi olipa predikatti P mikä vain)
"Eli tyhjälle joukolle pätee mitä vain, koska siinä ei ole alkioita?"
Tyhjälle joukolle ei päde mitä vain. (esim väite "on olemassa x joka kuuluu tyhjään joukkoon", ei pidä paikkaansa.)
Kuitenkin tyhjän joukon ALKIOLLE pätee mitä vain. Kieltämättä tämä voi olla arkijärjen mukaan arveluttavaa koska tällaisia tyhjän joukon alkioita ei ole olemassa. Mutta loogisesti ei ole ristiriitaa. Oikeastaan tyhjän joukon alkioille niille pätee mitä vain juuri siksi että niitä ei ole olemassa: jos olisi jokin väite P(x), joka ei päde kaikille tyhjän joukon alkioille x, niin silloin loogisesti olisi olemassa ainakin yksi tyhjän joukon alkio x, jolle P(x) ei päde; erityisesti olisi olemassa ainakin yksi tyhjän joukon alkio x, mikä on ristiriita. Siis kaikki väitteet P(x) pätevät kaikille tyhjän joukon alkioille x.
"Joukko O ei ole injektio, koska jos olisi, niin kaikilla x1, x2 in X, ehdosta x1 =/= x2 seuraisi f(x1) =/= f(x2), mutta koska alkioita x1 ja x2 ei voida valita, niin O ei ole injektio?"
Jos X=O (tyhjä) niin silloin kaikilla x1,x2 in X ehdosta x1 =/= x2 seuraa f(x1) =/= f(x2), koska muutoin olisi olemassa x1,x2 in X, joilla tämä ei päde ja siis olisi olemassa tyhjän joukon alkioita, mikä on ristiriita.
Näin se menee ihan loogisesti. Ei siis ole edes "määrittelykysymys".
Vähän vieläkin hanaa vastaan, mutta nielen selitykset :) (onneksi on logiikan opintoja alla).
"Kaikilla x O:ssä P(x) (olipa predikaatti P mikä vain, niin väite on tosi) Ja On olemassa x O:ssä P(x) (on epätosi olipa predikatti P mikä vain)"
Ok, tässä mielessä tyhjä joukko on siis omituinen otus. Normaalisti jos kaikilla alkioilla pätee ominaisuus P, niin on myös olemassa alkio, jolle pätee P, mutta nyt niin ei siis ole. Ajattelin tuota aluksi toisinpäin. Eli jos ominaisuus pätee kaikille, niin ottaa alkio, jolle se pätee, mutta eihän se (tietenkään) onnistu.
Kiitos molemmille vastaajille!
Sanotaan, että funkito f:A->B on injektio jokaiselle x:lle A:ssa on täsmälleen yksi y B:ssä siten, että y=f(x).
Joten vastaväite ei tarkkaan ottaen ole, että noita y:itä olisi useampi kuin yksi.
Jos tuo antamani määritelmä otetaan injektion määritelmäksi niin tuo kuvaus tyhjälle joukolle (tarkoittakoon se sitten mitä hyvänsä) niin ei ole injektio.
Niin siis joo tuo äskönen oli funktion määritelmä ei injektion, niin eli siis tuo tyhjä kuvaus ei ole ollenkaan mikään funktio joten se ei siten ole myöskään injektio sillä injektio on käsittääkseni funktioon liitettävä ominaisuus.
Funktio f:X->Y on osajoukko XxY:lle.
Jos X=O, niin f on OxY=O osajoukko, joten f=O.
Funktion määritelmä: Jokaiselle lähtöjoukon alkiolle x X:stä löytyy täsmälleen yksi maalijoukon alkio y Y:stä siten, että (x,y) in f.
Jos f=O, niin lähtöjoukko X=O, jolloin määritelmä pitää.
Miksi f=O on oltava X=O, miksei Y=O. Koska jos X ei ole tyhjä, niin olisi tilanne että olisi olemassa yksi alkio Y:ssä eli tyhjässä joukossa.
Funktio f=O vain jos lähtöjoukko on tyhjä. Jos maalijoukko on tyhjä, funktio ei ole määritelty.
Ts. ei ole olemassa relaatiota joukon XxO osajoukkona, joka olisi funktio (kun X=/=O).
Tyhjän joukon käsittelyä voit harjoitella seuraavalla tehtävällä:
Todista että jokainen tyhjän joukon alkio näyttää Mooses Lipposelta.
(Ja tämä siis on helposti todistettavissa.)
Merkitään ominaisuutta P(x). Oletus on, että jokaiselle x in O pätee P(x). Tehdään vastaoletus, eli että on olemassa y in O jolle ~P(y). Mutta O on tyhjä ja tällaista y ei siis ole. RR
Niinhän se on että Moosekseltahan ne kaikki tosiaan näyttävät.
Samalla lailla se tyhjänkuvauksen injektiivisyyskin menee...