Otetaan esim. ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseet A ja B. Jos B seuraa A:sta loogisesti, niin merkitään A => B (siis eri asia kuin implikaatio). Vastaavasti merkitään B => A. Nyt jos A B, eli A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, niin seuraako tästä, että A seuraa loogisesti B:stä ja B A:sta?
Kysymys nousi mieleen tilanteesta, jossa lause on loogisesti ekvivalentti Falsen kanssa. Olen käsittänyt, että looginen ekvivalenttius tarkoittaa, että lauseilla on jotain sisäistä yhteyttä, eli esim. jos A=p ja B=~~p, niin A B, mutta jos A=p/\q ja B=~(r\/s), niin A ja B eivät ole loogisesti ekvivalentteja. Onko näin?
Jos näin ei ole ja tarkastellaan vaikka listaa L, niin L[1]!=L[1] on aina false ja voidaan merkitä L[1]!=L[1] False ja vastaavasti L[2]!=L[2] False, mutta tällöin L[1]!=L[1] L[2]!=L[2], eli L[1]!=L[1] => L[2]!=L[2], mutta miten ensimmäisestä voi loogisesti seurata jälkimmäinen? Pitäisikö tuo tulkita niin, että tuollaista listaa L ei vaan voi olla? Vai onko kyseessä nyt vain määrittely eikä varsinainen seuraussuhde?..
Nyt kun tätä kirjoittaessani mietin, niin ehkä lause L[1]!=L[1] pitäisikin ajatella lyhenteenä lauseelle i=1 /\ L[i]!=L[i] ja vastaavasti i=1 /\ L[i]!=L[i] ja koska konjunktion oikea puoli on määritelmällisesti false, niin koko lause on. Tällöin vähän haiskahtaisi, että on vähän epämääräistä sanoa, että jokin lause on loogisesti ekvivalentti falsen (tai truen?) kanssa.
Mitä raati tuumaa tuumailuistani?
loogisesti ekvivalentti
14
1267
Vastaukset
- nkorppi
(A => False) (A ei ole totta).
Nimittäin ''-suunta taas seuraa siitä, että jos A olisi totta, (A => False) olisi epätosi lause.
Toisin sanoen negaatio(A) on lyhenne lauseesta (A => False). Tämä on selvää implikaation määritelmästä .
On täysin loogista, että epätosi lause on loogisesti ekvivalantti Falsen kanssa. :)- nkorppi
Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi.
Jos A on tosi, A EI ole ekvivalentti Falsen kanssa, sillä (A False) on tällöin epätosi. - alkup.o
Perustat päättelysi implikaation määritelmälle, mutta eikö looginen seuraus ole juurikin eri asia kuin implikaatio? Siis onhan niillä samaa, mutta mielestäni ne ovat käsitteellisesti eri asioita.
Pötyt palaa uuniin, palaan myöhemmin :) - aapee.
nkorppi kirjoitti:
Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi.
Jos A on tosi, A EI ole ekvivalentti Falsen kanssa, sillä (A False) on tällöin epätosi."Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi. "
Ei A False ole totta tai epätotta, eihän metakielessä ole totuutta per se? Voimme pukea metakielen käsitteet loogiseen kuosiin ja määritellä implikaation A -> B ja sille totuusarvon, mutta ei se tarkoita, että A => B omaisi totuusarvon, vai? - nkorppi
alkup.o kirjoitti:
Perustat päättelysi implikaation määritelmälle, mutta eikö looginen seuraus ole juurikin eri asia kuin implikaatio? Siis onhan niillä samaa, mutta mielestäni ne ovat käsitteellisesti eri asioita.
Pötyt palaa uuniin, palaan myöhemmin :)että (A False) olisi automaattisesti tosi tai epätosi.
Totuustaulukko on kuitenkin tällainen:
A False (AFalse)
1 0 0
0 0 1
Huomaa, että False = 0.
Eli ekvivalenttisuus toteutuu täsmälleen silloin kun A on epätosi.
A => B on määritelty olemaan epätosi täsmälleen silloin kun A on tosi, ja B epätosi.
Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio. - nkorppi
aapee. kirjoitti:
"Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi. "
Ei A False ole totta tai epätotta, eihän metakielessä ole totuutta per se? Voimme pukea metakielen käsitteet loogiseen kuosiin ja määritellä implikaation A -> B ja sille totuusarvon, mutta ei se tarkoita, että A => B omaisi totuusarvon, vai?... AB on totta, tarkoitan tietysti sitä, että lause 'A=>B ja B=>A' on tosi.
Emme käytä symbolia -> implikaatiolle, vaan symbolia =>.
Jos teoria väittää, että AB, se tarkoittaa juuri sitä mitä se tarkoittaa 'loogisen implikaation kuosissa'. Jos teorialle löytyy vastaesimerkki, (eli A:n ja B:n instanssit, joiden totuusarvot eroavat), AB ei olekaan teoria, ja sanomme että AB ei ole totta.
Matematiikassa yleisesti käytettävä looginen päättely on täsmälleen samaa päättelyä kuin 'implikaatio logiikan kuosissa'.
False on määritelty vakioksi, joka saa aina totuusarvon 0. Negaatio määritellään siten, että negaatio(A) = 'A => False'.
Lauseen totuusarvo määritellään sen muuttujien totuusarvojen perusteella. Emme kuitenkaan yleensä ekplisiittisesti esitä näitä totuusarvoja muuta kuin logiikan kurssilla. Se, ei tarkoita etteikö logiikkaa käytettäisi muussa matematiikassa! - aapee..
nkorppi kirjoitti:
että (A False) olisi automaattisesti tosi tai epätosi.
Totuustaulukko on kuitenkin tällainen:
A False (AFalse)
1 0 0
0 0 1
Huomaa, että False = 0.
Eli ekvivalenttisuus toteutuu täsmälleen silloin kun A on epätosi.
A => B on määritelty olemaan epätosi täsmälleen silloin kun A on tosi, ja B epätosi.
Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."
Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.
Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.
Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):
"Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."
Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):
"Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."
Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.
Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.
Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi. - nkorppi
aapee.. kirjoitti:
"Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."
Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.
Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.
Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):
"Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."
Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):
"Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."
Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.
Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.
Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.Olet oikeassa.
Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.
Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.
Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi. - nkorppi
aapee.. kirjoitti:
"Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."
Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.
Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.
Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):
"Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."
Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):
"Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."
Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.
Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.
Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.
Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.
Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi.
Toki kyseiset teoreemat vaativat tiettyjä oletuksia, joita ilman emme voi yhdistää käsitteitä.
MUTTA kysyjä puhui ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseista. 'Meille' viittaa tähän oletukseen. Completeness teoreeman voi todistaa ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseilla . - aapee taas.
nkorppi kirjoitti:
Olet oikeassa.
Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.
Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.
Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi."Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p. "
Piti oikein tarkistaa. Eikö tuo iff ole tuossa liikaa? Käsittääkseni täydellisyyslause sanoo, että jos S|=p, niin S|- p ja soundess (mitä nyt olikin taas suomeksi) sanoo, että jos S|-p, niin S|=p.
No, tämä keskustelu lähti kuitenkin sivuraiteelle. Asia kuitenkin selvisi, että kiitos sparrauksesta :) Nämä meinaa aina välillä päästä unohtumaan. - nkorppi
aapee taas. kirjoitti:
"Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p. "
Piti oikein tarkistaa. Eikö tuo iff ole tuossa liikaa? Käsittääkseni täydellisyyslause sanoo, että jos S|=p, niin S|- p ja soundess (mitä nyt olikin taas suomeksi) sanoo, että jos S|-p, niin S|=p.
No, tämä keskustelu lähti kuitenkin sivuraiteelle. Asia kuitenkin selvisi, että kiitos sparrauksesta :) Nämä meinaa aina välillä päästä unohtumaan.Soundness teoreema on triviaali, joten ei ole suurta merkitystä liitetäänkö se Completeness teoreemaan vai ei.
Alkuperäinen kysyjä sanoi ensialkuun puhuvansa ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseista, mutta kuitenkin huomautti '=>' olevan eri kuin looginen implikaatio. Sitä se ei kuitenkaan kyseisille lauseille ole... ;)
Lähes kaikki jokapäiväinen matematiikka (logiikan ulkopuolella) perustuu ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikkaan, mikä on varsin onnekasta.
- ssa1
hankkikaa elämä
- 15+8
Minusta on hienoa tietää että tätä palstaa täällä Suomi24:ssä seuraa myös aiheeseen koulutetut ihmiset.
En minäkään toisaalta tuosta keskustelusta ymmärtänyt läheskään kaikkea. Mutta se että minä en ymmärrä, se ei tarkoita että he ovat väärässä.
Tuo keskustelu se lisäsi uteliaisuutta aiheeseen, uteliaisuus ja uteliaisuuden tyydyttäminen se on miellyttävää.
Lisää vaan tämmöisiä keskusteluja!
- Noite
7 vuotta on ollut ainakin aikaa etsiä. Onkohan kukaan keskustelijoista enää palstalla?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Petteri Orpo on satusetä
Väittää että työllisyys on Suomessa samalla tasolla kuin hallituksen aloittaessa kesällä 2023. Fakta on, että työllisi1093658Orpo ja Purra, käykää hakemassa oppia Espanjasta
Espanja on näyttänyt kuinka kova työttömyys nujerretaan ja saadaan maan talous palautettua nousu-uralle. Ei ole häpeä kä642599Porvarimedia: Räsänen vei Lindtmanilta pääministerin paikan
Lisäksi suomalaiset ovat innostuneet tuhlaaman, koska kuluttavat inflaation verran enemmän rahaa. Eikö porvarimedialla252539Jääkiekon MM:t pitää siirtää MTV:ltä Ylelle
Persuille ikäviä uutisia taas. . Valtioneuvoston asetuksen mukaan MM-kisat kuuluvat kansallisesti merkittäviin tapahtumi732367Ruotsi laskee jälleen bensaveroa, Riikka irvailee tumput suorana
Euron bensa oli persujen vaalilupaus, mutta kohta alkaa olla kolmosella alkavia litrahintoja. Meanwhile in Sverige: "232248Olitkin liian hyvää ollaksesi totta nainen
Ihastuin ja rakastuin, mutta se on minun ongelma. Ei sinun.1031320Kaste pelastaa ihmisen
Kristittyjen kirkkojen toimittama yksi Kaste on Jumalan tekemä pelastusteko, jossa perisyntiin hengellisesti kuollut ihm6111217Ensin oli armo - sen jälkeen tuli usko
Me emme ansaitse armoa omalla uskollamme. Armo on ansaitsematonta rakkautta mikä synnyttää meidät uudesti Jumalasta. K4001035Uskon todistus
Oikean uskovaisen ja nimikristityn erottaa siitä, että Jeesukseen uskova korottaa Jeesusta ja uskoa Häneen, mutta nimik2611026Elisalla ja MTV:llä lihava riita - MTV:n kanavienlähetykset ovat katkeamassa Elisan asiakkailla
Kaikkien MTV:n kanavien televisiolähetykset ovat katkeamassa Elisan kaapeli-tv-asiakkailta. https://www.is.fi/digitoday1421019