loogisesti ekvivalentti

Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi.

Jos A on tosi, A EI ole ekvivalentti Falsen kanssa, sillä (A False) on tällöin epätosi.

Perustat päättelysi implikaation määritelmälle, mutta eikö looginen seuraus ole juurikin eri asia kuin implikaatio? Siis onhan niillä samaa, mutta mielestäni ne ovat käsitteellisesti eri asioita.

Pötyt palaa uuniin, palaan myöhemmin :)

nkorppi kirjoitti:

Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi.

Jos A on tosi, A EI ole ekvivalentti Falsen kanssa, sillä (A False) on tällöin epätosi.

Lue lisää

"Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi. "

Ei A False ole totta tai epätotta, eihän metakielessä ole totuutta per se? Voimme pukea metakielen käsitteet loogiseen kuosiin ja määritellä implikaation A -> B ja sille totuusarvon, mutta ei se tarkoita, että A => B omaisi totuusarvon, vai?

alkup.o kirjoitti:

Perustat päättelysi implikaation määritelmälle, mutta eikö looginen seuraus ole juurikin eri asia kuin implikaatio? Siis onhan niillä samaa, mutta mielestäni ne ovat käsitteellisesti eri asioita.

Pötyt palaa uuniin, palaan myöhemmin :)

Lue lisää

että (A False) olisi automaattisesti tosi tai epätosi.

Totuustaulukko on kuitenkin tällainen:

A False (AFalse)
1 0 0
0 0 1

Huomaa, että False = 0.

Eli ekvivalenttisuus toteutuu täsmälleen silloin kun A on epätosi.

A => B on määritelty olemaan epätosi täsmälleen silloin kun A on tosi, ja B epätosi.

Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio.

aapee. kirjoitti:

"Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi. "

Ei A False ole totta tai epätotta, eihän metakielessä ole totuutta per se? Voimme pukea metakielen käsitteet loogiseen kuosiin ja määritellä implikaation A -> B ja sille totuusarvon, mutta ei se tarkoita, että A => B omaisi totuusarvon, vai?

Lue lisää

... AB on totta, tarkoitan tietysti sitä, että lause 'A=>B ja B=>A' on tosi.

Emme käytä symbolia -> implikaatiolle, vaan symbolia =>.

Jos teoria väittää, että AB, se tarkoittaa juuri sitä mitä se tarkoittaa 'loogisen implikaation kuosissa'. Jos teorialle löytyy vastaesimerkki, (eli A:n ja B:n instanssit, joiden totuusarvot eroavat), AB ei olekaan teoria, ja sanomme että AB ei ole totta.

Matematiikassa yleisesti käytettävä looginen päättely on täsmälleen samaa päättelyä kuin 'implikaatio logiikan kuosissa'.

False on määritelty vakioksi, joka saa aina totuusarvon 0. Negaatio määritellään siten, että negaatio(A) = 'A => False'.

Lauseen totuusarvo määritellään sen muuttujien totuusarvojen perusteella. Emme kuitenkaan yleensä ekplisiittisesti esitä näitä totuusarvoja muuta kuin logiikan kurssilla. Se, ei tarkoita etteikö logiikkaa käytettäisi muussa matematiikassa!

nkorppi kirjoitti:

että (A False) olisi automaattisesti tosi tai epätosi.

Totuustaulukko on kuitenkin tällainen:

A False (AFalse)
1 0 0
0 0 1

Huomaa, että False = 0.

Eli ekvivalenttisuus toteutuu täsmälleen silloin kun A on epätosi.

A => B on määritelty olemaan epätosi täsmälleen silloin kun A on tosi, ja B epätosi.

Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio.

Lue lisää

"Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."

Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.

Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.

Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):

"Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."

Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):

"Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."

Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.

Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.

Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.

aapee.. kirjoitti:

"Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."

Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.

Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.

Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):

"Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."

Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):

"Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."

Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.

Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.

Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.

Lue lisää

Olet oikeassa.

Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.

Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.

Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi.

aapee.. kirjoitti:

"Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."

Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.

Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.

Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):

"Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."

Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):

"Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."

Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.

Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.

Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.

Lue lisää

Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.

Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.

Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi.

Toki kyseiset teoreemat vaativat tiettyjä oletuksia, joita ilman emme voi yhdistää käsitteitä.

MUTTA kysyjä puhui ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseista. 'Meille' viittaa tähän oletukseen. Completeness teoreeman voi todistaa ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseilla .

nkorppi kirjoitti:

Olet oikeassa.

Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.

Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.

Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi.

Lue lisää

"Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p. "

Piti oikein tarkistaa. Eikö tuo iff ole tuossa liikaa? Käsittääkseni täydellisyyslause sanoo, että jos S|=p, niin S|- p ja soundess (mitä nyt olikin taas suomeksi) sanoo, että jos S|-p, niin S|=p.

No, tämä keskustelu lähti kuitenkin sivuraiteelle. Asia kuitenkin selvisi, että kiitos sparrauksesta :) Nämä meinaa aina välillä päästä unohtumaan.

aapee taas. kirjoitti:

"Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p. "

Piti oikein tarkistaa. Eikö tuo iff ole tuossa liikaa? Käsittääkseni täydellisyyslause sanoo, että jos S|=p, niin S|- p ja soundess (mitä nyt olikin taas suomeksi) sanoo, että jos S|-p, niin S|=p.

No, tämä keskustelu lähti kuitenkin sivuraiteelle. Asia kuitenkin selvisi, että kiitos sparrauksesta :) Nämä meinaa aina välillä päästä unohtumaan.

Lue lisää

Soundness teoreema on triviaali, joten ei ole suurta merkitystä liitetäänkö se Completeness teoreemaan vai ei.

Alkuperäinen kysyjä sanoi ensialkuun puhuvansa ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseista, mutta kuitenkin huomautti '=>' olevan eri kuin looginen implikaatio. Sitä se ei kuitenkaan kyseisille lauseille ole... ;)

Lähes kaikki jokapäiväinen matematiikka (logiikan ulkopuolella) perustuu ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikkaan, mikä on varsin onnekasta.

Minusta on hienoa tietää että tätä palstaa täällä Suomi24:ssä seuraa myös aiheeseen koulutetut ihmiset.

En minäkään toisaalta tuosta keskustelusta ymmärtänyt läheskään kaikkea. Mutta se että minä en ymmärrä, se ei tarkoita että he ovat väärässä.
Tuo keskustelu se lisäsi uteliaisuutta aiheeseen, uteliaisuus ja uteliaisuuden tyydyttäminen se on miellyttävää.

Lisää vaan tämmöisiä keskusteluja!