loogisesti ekvivalentti

lkjasef

Otetaan esim. ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseet A ja B. Jos B seuraa A:sta loogisesti, niin merkitään A => B (siis eri asia kuin implikaatio). Vastaavasti merkitään B => A. Nyt jos A B, eli A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, niin seuraako tästä, että A seuraa loogisesti B:stä ja B A:sta?

Kysymys nousi mieleen tilanteesta, jossa lause on loogisesti ekvivalentti Falsen kanssa. Olen käsittänyt, että looginen ekvivalenttius tarkoittaa, että lauseilla on jotain sisäistä yhteyttä, eli esim. jos A=p ja B=~~p, niin A B, mutta jos A=p/\q ja B=~(r\/s), niin A ja B eivät ole loogisesti ekvivalentteja. Onko näin?

Jos näin ei ole ja tarkastellaan vaikka listaa L, niin L[1]!=L[1] on aina false ja voidaan merkitä L[1]!=L[1] False ja vastaavasti L[2]!=L[2] False, mutta tällöin L[1]!=L[1] L[2]!=L[2], eli L[1]!=L[1] => L[2]!=L[2], mutta miten ensimmäisestä voi loogisesti seurata jälkimmäinen? Pitäisikö tuo tulkita niin, että tuollaista listaa L ei vaan voi olla? Vai onko kyseessä nyt vain määrittely eikä varsinainen seuraussuhde?..

Nyt kun tätä kirjoittaessani mietin, niin ehkä lause L[1]!=L[1] pitäisikin ajatella lyhenteenä lauseelle i=1 /\ L[i]!=L[i] ja vastaavasti i=1 /\ L[i]!=L[i] ja koska konjunktion oikea puoli on määritelmällisesti false, niin koko lause on. Tällöin vähän haiskahtaisi, että on vähän epämääräistä sanoa, että jokin lause on loogisesti ekvivalentti falsen (tai truen?) kanssa.

Mitä raati tuumaa tuumailuistani?

14

1192

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • nkorppi

      (A => False) (A ei ole totta).

      Nimittäin ''-suunta taas seuraa siitä, että jos A olisi totta, (A => False) olisi epätosi lause.

      Toisin sanoen negaatio(A) on lyhenne lauseesta (A => False). Tämä on selvää implikaation määritelmästä .

      On täysin loogista, että epätosi lause on loogisesti ekvivalantti Falsen kanssa. :)

      • nkorppi

        Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi.

        Jos A on tosi, A EI ole ekvivalentti Falsen kanssa, sillä (A False) on tällöin epätosi.


      • alkup.o

        Perustat päättelysi implikaation määritelmälle, mutta eikö looginen seuraus ole juurikin eri asia kuin implikaatio? Siis onhan niillä samaa, mutta mielestäni ne ovat käsitteellisesti eri asioita.

        Pötyt palaa uuniin, palaan myöhemmin :)


      • aapee.
        nkorppi kirjoitti:

        Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi.

        Jos A on tosi, A EI ole ekvivalentti Falsen kanssa, sillä (A False) on tällöin epätosi.

        "Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi. "

        Ei A False ole totta tai epätotta, eihän metakielessä ole totuutta per se? Voimme pukea metakielen käsitteet loogiseen kuosiin ja määritellä implikaation A -> B ja sille totuusarvon, mutta ei se tarkoita, että A => B omaisi totuusarvon, vai?


      • nkorppi
        alkup.o kirjoitti:

        Perustat päättelysi implikaation määritelmälle, mutta eikö looginen seuraus ole juurikin eri asia kuin implikaatio? Siis onhan niillä samaa, mutta mielestäni ne ovat käsitteellisesti eri asioita.

        Pötyt palaa uuniin, palaan myöhemmin :)

        että (A False) olisi automaattisesti tosi tai epätosi.

        Totuustaulukko on kuitenkin tällainen:

        A False (AFalse)
        1 0 0
        0 0 1

        Huomaa, että False = 0.

        Eli ekvivalenttisuus toteutuu täsmälleen silloin kun A on epätosi.

        A => B on määritelty olemaan epätosi täsmälleen silloin kun A on tosi, ja B epätosi.

        Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio.


      • nkorppi
        aapee. kirjoitti:

        "Se, mitä tarkoitan on, että (A False) on totta täsmälleen silloin kun A on epätosi. "

        Ei A False ole totta tai epätotta, eihän metakielessä ole totuutta per se? Voimme pukea metakielen käsitteet loogiseen kuosiin ja määritellä implikaation A -> B ja sille totuusarvon, mutta ei se tarkoita, että A => B omaisi totuusarvon, vai?

        ... AB on totta, tarkoitan tietysti sitä, että lause 'A=>B ja B=>A' on tosi.

        Emme käytä symbolia -> implikaatiolle, vaan symbolia =>.

        Jos teoria väittää, että AB, se tarkoittaa juuri sitä mitä se tarkoittaa 'loogisen implikaation kuosissa'. Jos teorialle löytyy vastaesimerkki, (eli A:n ja B:n instanssit, joiden totuusarvot eroavat), AB ei olekaan teoria, ja sanomme että AB ei ole totta.

        Matematiikassa yleisesti käytettävä looginen päättely on täsmälleen samaa päättelyä kuin 'implikaatio logiikan kuosissa'.

        False on määritelty vakioksi, joka saa aina totuusarvon 0. Negaatio määritellään siten, että negaatio(A) = 'A => False'.

        Lauseen totuusarvo määritellään sen muuttujien totuusarvojen perusteella. Emme kuitenkaan yleensä ekplisiittisesti esitä näitä totuusarvoja muuta kuin logiikan kurssilla. Se, ei tarkoita etteikö logiikkaa käytettäisi muussa matematiikassa!


      • aapee..
        nkorppi kirjoitti:

        että (A False) olisi automaattisesti tosi tai epätosi.

        Totuustaulukko on kuitenkin tällainen:

        A False (AFalse)
        1 0 0
        0 0 1

        Huomaa, että False = 0.

        Eli ekvivalenttisuus toteutuu täsmälleen silloin kun A on epätosi.

        A => B on määritelty olemaan epätosi täsmälleen silloin kun A on tosi, ja B epätosi.

        Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio.

        "Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."

        Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.

        Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.

        Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):

        "Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."

        Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):

        "Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."

        Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.

        Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.

        Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.


      • nkorppi
        aapee.. kirjoitti:

        "Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."

        Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.

        Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.

        Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):

        "Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."

        Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):

        "Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."

        Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.

        Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.

        Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.

        Olet oikeassa.

        Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.

        Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.

        Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi.


      • nkorppi
        aapee.. kirjoitti:

        "Meille looginen seuraus on nimenomaan edellä kuvattu implikaatio."

        Keitä nämä "me" ovat? Olen itse loogikko ja itselleni on opetettu, että ne ovat eri asioita. Looginen seuraus on metakielessä ja siten eri asia kuin implikaatio.

        Kysyppäs varsin sieltä englannista proffilta miten tuo on. Nimittäin olen nähnyt monissa teksteissä kylmän käsitteiden samaistuksen, mutta samoin olen nähnyt teksteissä miten niiden välille on tehty selvä ero.

        Kaivoin kirjahyllyäni ja Endertonissa (A mathematical introduction to logic) looginen seuraamus (logically implies...) määritellään seuraavaan tyyliin (s. 88):

        "Olkoon S joukko wff:iä, p jokin wff. Nyt p seuraa loogisesti S:stä, S|=p joss jokaisella mallilla M ja tulkintafunktiolla s, joilla jokainen S:n wff toteutuu myös p toteutuu."

        Toisaalta Väänänen toteaa HY:n matemaattisen logiikan prujussaan seuraavaa (jos P on Q:n looginen seuraus... siis ei aivan suora lainaus):

        "Looginen seuraus tarkoittaa, että valittiinpa millainen struktuuri tahansa ja minkälainen tulkintajono muuttujien tulkitsemiseksi tahansa, niin jos Q toteutuu, niin myös P toteutuu. Tämä seuraussuhde on "loogista" siinä mielessä, että sillä, miten struktuuri ja tulkintajono valitaan ei ole mitään merkitystä eli P seuraa Q:sta pelkästään loogisen muotonsta perusteella. Esimerkiksi jos Q on konjunktio P/\R, niin tietenkin P seuraa Q:sta... Ei ole mitään yleistä mekaanista menetelmää sen ratkaisemiseksi seuraako annettu kaava loogisesti toisesta vai ei. Tämä on kuuluisa Churchin lause."

        Olen nähnyt TTY:n prujun missä tuo ero implikaation -> ja loogisen seurauksen => välillä tehdään selväksi, mutta painotetaan ettei sillä ole sen kurssin osalta merkitystä.

        Olen myös aivan varma, että Salminen ja Väänänen tekevät kirjassaan Johdatus logiikkaan tuon eron jo propositiologiikassa, mutta en valitettavasti omista kirjaa että voisin tarkistaa.

        Minun on vaikea niellä väitettä, että ne olisivat eri asioita. Joudut ainakin antamaan vahvat perustelut väitteellesi.

        Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.

        Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.

        Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi.

        Toki kyseiset teoreemat vaativat tiettyjä oletuksia, joita ilman emme voi yhdistää käsitteitä.

        MUTTA kysyjä puhui ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseista. 'Meille' viittaa tähän oletukseen. Completeness teoreeman voi todistaa ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseilla .


      • aapee taas.
        nkorppi kirjoitti:

        Olet oikeassa.

        Kun lähdemme todistamaan logiikan teoreemia aivan alkukuopista, meidän tulee tehdä ero loogisten päättelyketjujen ja lauseiden evaluaatioiden välillä.

        Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p.

        Eli selitys on yksinkertainen -- itse otan Completeness teoreeman oletuksena. :) Sen jälkeen kaksi eri seurauksen käsitettä sulautuvat samaksi.

        "Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p. "

        Piti oikein tarkistaa. Eikö tuo iff ole tuossa liikaa? Käsittääkseni täydellisyyslause sanoo, että jos S|=p, niin S|- p ja soundess (mitä nyt olikin taas suomeksi) sanoo, että jos S|-p, niin S|=p.

        No, tämä keskustelu lähti kuitenkin sivuraiteelle. Asia kuitenkin selvisi, että kiitos sparrauksesta :) Nämä meinaa aina välillä päästä unohtumaan.


      • nkorppi
        aapee taas. kirjoitti:

        "Huomaa kuitenkin, että todistamme kurssilla Completeness Teoreeman, eli että S|-p iff S|=p. "

        Piti oikein tarkistaa. Eikö tuo iff ole tuossa liikaa? Käsittääkseni täydellisyyslause sanoo, että jos S|=p, niin S|- p ja soundess (mitä nyt olikin taas suomeksi) sanoo, että jos S|-p, niin S|=p.

        No, tämä keskustelu lähti kuitenkin sivuraiteelle. Asia kuitenkin selvisi, että kiitos sparrauksesta :) Nämä meinaa aina välillä päästä unohtumaan.

        Soundness teoreema on triviaali, joten ei ole suurta merkitystä liitetäänkö se Completeness teoreemaan vai ei.

        Alkuperäinen kysyjä sanoi ensialkuun puhuvansa ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan lauseista, mutta kuitenkin huomautti '=>' olevan eri kuin looginen implikaatio. Sitä se ei kuitenkaan kyseisille lauseille ole... ;)

        Lähes kaikki jokapäiväinen matematiikka (logiikan ulkopuolella) perustuu ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikkaan, mikä on varsin onnekasta.


    • ssa1

      hankkikaa elämä

      • 15+8

        Minusta on hienoa tietää että tätä palstaa täällä Suomi24:ssä seuraa myös aiheeseen koulutetut ihmiset.

        En minäkään toisaalta tuosta keskustelusta ymmärtänyt läheskään kaikkea. Mutta se että minä en ymmärrä, se ei tarkoita että he ovat väärässä.
        Tuo keskustelu se lisäsi uteliaisuutta aiheeseen, uteliaisuus ja uteliaisuuden tyydyttäminen se on miellyttävää.

        Lisää vaan tämmöisiä keskusteluja!


    • Noite

      7 vuotta on ollut ainakin aikaa etsiä. Onkohan kukaan keskustelijoista enää palstalla?

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ukrainan ulkoministeri: Moskova aistii tappion Ukrainassa

      Dmytro Kuleban mukaan Venäjä yrittää puheillaan pelotella länsimaita. Ukrainan ulkoministerin Dmytro Kuleban mukaan Venäjän esittämät varoitukset kol
      NATO
      262
      4320
    2. Stefu haikailee

      Julkaisi stooreissa kuvan vickestä. Sitten Martinasta treenaamassa Hangossa ulkona. Hmm.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      265
      3524
    3. Harmi mies ettet arvostanut

      Minua tarpeeksi. Myöhemmin kaikki olisi palkittu ja olisin antanut sinulle aitoa rakkautta. Tämä sattuu mutta yritän ajatella, että ehkä se rakkaus ku
      Ikävä
      157
      1841
    4. Oi! Legandaarinen Vesa-Matti "Vesku" Loiri, 77, poseeraa kahdessa eri kuvassa - Some riemastui!

      Vesa-Matti "Vesku" Loiri on kyllä legenda jo eläessään. Hienoa nähdä, että virtaa piisaa. Voimia, iloa ja eloa, Vesku! https://www.suomi24.fi/viihde
      Suomalaiset julkkikset
      25
      1726
    5. Lavrov väläyttelee WW3:sta

      Venäjän ulkoministeri Sergei Lavrov varoittaa, että kolmannen maailmansodan uhka on todellinen. Lavrov sanoi venäläiselle uutistoimisto Interfaxille,
      Maailman menoa
      299
      1452
    6. Ketä Sofia fanit veikkaatte seuraavaksi lompakoksi?

      Kenestä Sofia höynäyttää itselleen seuraavan lompakon?
      Kotimaiset julkkisjuorut
      133
      974
    7. Suomi24 kysely: ihmisten kuplautumista ei pääosin koeta vakavaksi ongelmaksi

      “Kuplautumista on mahdotonta estää. Ihmiset ovat aina viihtyneet samankaltaiset arvot ja maailmankatsomuksen jakavassa seurassa ja muodostaneet sen pe
      Suomi24 Blogi ★
      18
      879
    8. Voiko hyvää omatuntoa ostaa?

      Olen tässä nyt muutaman päivän paininut erään rahaan liittyvän pulman kanssa. Kerron ensin vähän taustaa ... Eli erosin 15 vuoden parisuhteesta 9 vuo
      Sinkut
      235
      866
    9. en vaan saa häntä pois

      Mielestäni pyörimästä. Onko kellekään toiselle käynyt näin? Ihastuin pakkomielteisesti noin vuosi sitten erääseen naiseen. Ei vaan katoa mielestä va
      Ikävä
      115
      858
    Aihe