Tässä post-modermin yhteiskunnan epämääräiseessä aineellistumassa voi tehdä sen johtiopäätöksen,että kaksipyöräisen ajoneuvon ohjausgeometriassa olisi ongelmana..Geometrioita, joissa oletetaan jokin muu kuin euklidinen paralleeliominaisuus, kutsutaan epäeuklidisiksi geometrioiksi. Euklidista geometriaa on perinteinen euklidisen paralleeliaksiooman olettava geometria.
[muokkaa] Jaottelu
[muokkaa] Jaottelu
Vastaukset 4
Vanhimmat
3 Epäeuklidiset muunnokset ja etäisyys
Tarkoituksena on löytää metriikka epäeuklidisessa geometriassa. Olkoot X
ja Y konformaalisesti esitettyjä pisteitä. Pisteiden kautta kulkeva d-viiva on
tällöin
L = X ^ Y ^ e.
Koska epäeuklidisessa geometriassa ko. viivaa ajatellaan pisteiden X ja Y
välisenä suorana, etsitään translaatiota, joka kuvaa pisteitä viivaa pitkin.
3
Tarkotuksena löytää sellainen translaatio, joka siirtää pisteen X pisteelle Y .
Valitaan kuvauksen generaattoriksi bivektori
B = (X ^ Y ^ e^)e = Le.
Tällöin
B2 = L2 > 0,
eli epäeuklidinen translaatio on hyperbolinen1. Merkitään bivektorin B suuntaista
yksikköbivektoria
ˆB
=
B
|B|
.
Tällöin
ˆB
2 = 1.
Bivektori B indusio rotaation
R = e ˆB/2.
Konformaalisessa geometriassa perinteinen rotaatio ts. kuvaus
X 7! RXR†
edustaa translaatiota2. Valitsemalla pisteiden X ja Y väliseltä d-viivalta,
saadaan
Y = RXR† = e ˆB /2Xe− ˆB /2. (1)
Päästäksemme kiinni metriikkaan tehdään seuraava kikka. Tehdään X:lle
hajotelma
X = X ˆB2 = (X · ˆB X ^ ˆB )ˆB = X · ˆB
ˆB
X ^ ˆB
ˆB
.
Kun sovelletaan Kaavaa (5.11) ja yllä olevaa hajotelmaa, saadaan (1) muotoon
Y = e ˆB /2Xe− ˆB /2
= (cosh( ) sinh( )ˆB /2)(X · ˆB
ˆB
X ^ ˆB
ˆB
)(cosh( ) − sinh( )ˆB /2)
= X ^ ˆB
ˆB
cosh( )X · ˆB
ˆB
− sinh( )X · ˆB .
Kun kerrotaan yllä olevaa yhtälöä puolittain Y :llä, saadaan
0 = Y 2 = X ^ ˆB
ˆB
Y cosh( )X · ˆB
ˆB
Y − sinh( )X · ˆB Y.
1Kertausta: jos B2 < 0 on B elliptinen, jos B2 = 0 on B euklidinen (nämä muodostavat
kartion) ja jos B2 > 0 on B hyperbolinen
2katso 10.3.1 Translations
4
Tarkastellaan yhtälöstä ainoastaa skalaariosia, siis
hX ^ ˆB
ˆB
Y i cosh( )hX · ˆB
ˆB
Y i − sinh( )hX · ˆBY i = 0. (2)
Ensimmäinen termi:
hX ^ ˆB
ˆB
Y i = hX ^ ˆB
ˆB
| {z · Y }i
=0, grade=1
hX ^ ˆB
ˆB
^ Y i = hX ^ ˆB
ˆB
^ Y i.
Toinen termi vastaavasti:
hX · ˆB
ˆB
Y i = hX · ˆB
ˆB
· Y i hX · ˆB
ˆB
| {z ^ Y }i
=0
= hX · ˆB
ˆB
· Y i.
Kolmas termi:
hX· ˆB Y i = hX ˆB | {zY }i
=0
−hX^ ˆB Y i = −hX^ ˆB ·Y i hX ^ ˆB | {z ^ Y }i
=0
= hX^Y · ˆB i = X^Y · ˆB .
Sijoittamalla edellä olevat termit yhtälöön (2), saadaan
hX^ ˆB
ˆB
^Y i cosh( )hX· ˆB
ˆB
·Y i sinh(alpha)hX^Y · ˆB i = X^Y · ˆB. (3)
Sievennetään näin saatua yhtälöä. Ensinnäkin
X ^ ˆB = X ^
B
|B|
=
X ^ ((X ^ Y ^ e)e)
|X ^ Y ^ e||e|
=
X ^ Le
|L|
=
XLe − X · eL
|L|
= −X · eL
|L|
=
e · XL
|L|
.
Vastaavalla tavalla osoitetaan, että
ˆB
^ Y =
Le · C
|L|
.
Kun sijoitetaan nämä yhtälöön (3), saadaan
0 = h
e · XL
|L|
Le · C
|L| i cosh( )h(X ˆB − X ^ ˆB )(ˆB Y − ˆB ^ Y )i sinh( )|L|
= e · Xe · Y cosh( )h(X ˆB −
e · XL
|L|
)(ˆBY −
Le · C
|L|
)i sinh( )|L|
= e · Xe · Y cosh( )(XY − e · Xe · Y ) sinh( )|L|
5
Yhtälön ratkaisu3 on
cosh( ) = 1 −
X · Y
X · eY · e
.
Kuitenkin relevantimpaa on käyttää metriikkaa ajatellen kulman puolikasta
(?). Kaavan (5.11) nojalla
e ˆB /2 = cosh( ) sinh( )ˆB /2
saadaan
e /2ˆB/2 = e ˆB/4 cosh( ) sinh( )ˆB/4.
Tällöin saadaan, että4
sinh2( /2) = −
X · Y
2X · eY · e
.
Jos pisteet X1, X2 ja X3 ovat samalla viivalla, tulee kolmioepäyhtälön toteutua
yhtälönä, eli
d(X1,X2) d(X2,X3) = d(X1,X3).
Eksponenttifunktion avulla määritelty muunnos toteuttaa näin vaaditun additiivisuuden,
sillä
X3 = e ˆB /2X2e− ˆB/2 = e( )ˆB /2X1e−( )ˆB /2.
Näin ollen metriikaksi voidaan hyvillä mielin asettaa
d(x, y) = 2 sinh−1
r
−
X · Y
2X · eY · e
. (4)
Kaavan (10.53) nojalla
X · Y = −2|x − y|2.
Lisäksi
X · e = (x2(e ¯e) 2x − (e − ¯e)) · e
= x2(1 0) 2 |x{·ze}
=0
−(1 − 0)
= x2 − 1.
3Tämä jätetään harjoitustehtäväksi, jos ratkaisu löytyy, ottakaa yhteyttä allekirjoitta-
neeseen...
4Pahoittelen jos toista itseäni: jos ratkaisu löytyy, ottakaa yhteyttä allekirjoittanee-
seen...
6
Vastaavasti X · e = y2 − 1. Metriikaksi (4) saadaan näin ollen
d(x, y) = 2 sinh−1
s
|x − y|2
(1 − x2)(1 − y2)
.
Voidaan osoittaa, että euklidisella metriikalla
dx2 = dx21
dx22
dx23
ja hyperbolisella metrkiikalla on yhteys:
ds2 = 42 dx2
(2 − x2)2 ,
kun on positiivinen skalaari.
7
..pätemisentarve ihmisellä. On.
Oisko tossa takan sitte taas tää vastaohjaus, jossa peli parhaiten käänttyy juuri sinne, mihin sitä ei käännetä ;?
on liian helppoa, niin se keksii itselleen ongelman.
alkuperäistekstiin, niin ei tule ongelmia kopioinnista, jookos?
http://fi.wikipedia.org/wiki/Geometria