Voisko joku kertoa miten integroidaan lauseke (e^x)/(e^3x -1)?
En saa sitä mitenkään tehtyä ku oon tällänen torvelo.
En saa sitä mitenkään tehtyä ku oon tällänen torvelo.
integroikaa
tyhmä
14950
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Jos tarkoitit lauseketta (toisin kirjoitettuna)
exp(x)/(exp(3*x)-1)
niin silloin vastaus on
1/3*ln(exp(x)-1)-1/6*ln(exp(x)^2 exp(x) 1)-1/3*3^(1/2)*arctan(1/3*(2*exp(x) 1)*3^(1/2))
Voisitko kirjoittaa laskun välivaiheineen. Ahersin tämän parissa puolisen tuntia, enkä saanut sitä lasketuksi. Opiskelen matematiikkaa yliopistolla. :)
"Ahersin tämän parissa puolisen tuntia, enkä saanut sitä lasketuksi"
pitäisikö sinun sitten ahertaa kauemmin aikaa? ei puolituntia yhden laskun kanssa ole mitään kovinkaan kauan.
Ei tosiaan taida aivan lukiopalstalle kuulua. Tässä kuitenkin tehtävän (piiiitkä) ratkaisu:
Seuraavassa § tarkoittaa integraalin edessä olevaa symbolia, eli esim. § e^x dx tarkoittaa e^x:n integroimista x:n suhteen.
Merkitään t = e^x x = ln t. Tällöin dx/dt = 1/t eli dx = 1/t dt.
Sijoitetaan t = e^x ja dx = 1/t dt alkuperäiseen integroitavaan lausekkeeseen, jolloin saadaan (merkitsen I:llä integroitavaa lauseketta)
I = § t/(t^3 - 1) * 1/t dt = § 1/(t^3 - 1) dt.
Lasketaan t^3 - 1:n tekijät. Merkitään t^3 - 1 = 0, josta kokeilemalla saadaan yhdeksi ratkaisuksi t = 1. Siis t - 1 on t^3 - 1:n tekijä. Jaetaan t^3 - 1 jakokulmassa t - 1:llä, jolloin toiseksi tekijäksi tulee t^2 t 1. Ratkaisemalla tästä t toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
t = (1 ( -) sqrt(1^2 - 4*1*1)) / (2*1),
jolla ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa. Siis lauseketta t^2 t 1 ei saada hajoitettua ensimmäisen asteen tekijöihin.
Edellisessä selvisi, että 1/(t^3 - 1) = 1/((t - 1)(t^2 t 1)). Luodaan tästä osamurtokehitelmä, jolloin saadaan
1/((t - 1)(t^2 t 1)) = A/(t - 1) (Bt C)/(t^2 t 1). Lavennetaan yhtälön oikean puolen termit samannimisiksi, jolloin yhtälöksi tulee
1/((t - 1)(t^2 t 1)) = ((A B)t^2 (A - B C)t (A - C))/((t - 1)(t^2 t 1)). Tässä molemmilla puolilla on vain yksi termi, joiden nimittäjä on sama. Tällöin myös osoittajien täytyy olla samoja. Saadaan
1 = (A B)t^2 (A - B C)t (A - C), jonka täytyy olla tosi kaikilla t. Voidaan ajatella, että yhtälön vasemmalla puolella on lauseke
0*x^2 0*x 1 (0*x^2 ja 0*x supistuvat siis pois ja jäljelle jää 1). Yhtälössä x^2:n ja x:n kertoimien sekä vakioiden tulee olla samoja. Saadaan yhtälöryhmä
A B = 0
A - B C = 0
A - C = 1.
Ratkaisemalla A, B ja C saadaan A = 1/3, B = -1/3 ja C = -2/3.
Aikaisemmin saatiin
I = § 1/(t^3 - 1) dt
= § 1/((t - 1)(t^2 t 1) dt
= § [A/(t-1) (Bt C)/(t^2 t 1)] dt.
Sijoittamalla tähän vakiot A, B ja C saadaan
I = § [(1/3)/(t - 1) (-(1/3)t - 2/3)/(t^2 t 1)] dt
= 1/3 * § 1/(t - 1) dt § (-1/6 * (2t 1) - 2/3 1/6)/(t^2 t 1) dt
= 1/3 * § 1/(t - 1) dt -1/6 * § (2t 1)/(t^2 t 1) dt - 1/2 * § 1/(3/4 t^2 2*1/2*t (1/2)^2) dt
= 1/3 § 1/(t - 1) dt - 1/6 * § (2t 1)/(t^2 t 1) dt - 1/2 * 4/3 * sqrt(3)/2 * § (2/sqrt(3)) / [1 (2/sqrt(3) * (t 1/2))^2] dt
Käyttämällä integrointikaavoja saadaan
I = 1/3*ln |t - 1| -1/6*ln |t^2 t 1| - 1/sqrt(3) * arctan [2/sqrt(3) * (t 1/2)] C
Sijoittamalla takaisin t = e^x saadaan
I = 1/3 * ln |e^x - 1| - 1/6 * ln [e^(2x) e^x 1] - 1/sqrt(3) * arctan [2/sqrt(3) * (e^x 1/2)] C.
Lopussa pystyviivat || tarkoittavat siis itseisarvoa ja C integrointivakiota (ei aikaisemmassa vaiheessa käytettyä C:tä).
Löytyihän se vastaus sieltä. Tämä oli lähinnä testi, että löytyykö palstalta matematiikan osaajia:)
Kyllä tossa todellakin osamurtokehitelmää tarvitaan.
Nyt en kyllä oikein ymmärrä... miksi kaikki väittävät, että tuo on vaikea integroida...? Jos nyt ymmärsin tuon lausekkeen oikein, niin sehän menee ihan suoraan integroimiskaavasta:
§(f'/f)dx = lnlfl C.
Eli §((e^x)/(e^3x-1))dx=(1/(3*e^2x))*lnle^3x-1l C.
Tuossa nyt ei ole välivaiheita, mutta ei se ole kuin parin rivin lasku korkeintaan.
p.s. onnistuu lukionkin matikalla...
Derivoipa - ja oikein - tuo tuloksesi. Saatko alkuperäisen lausekkeen?
...mutta nimittäjän derivaatta on 3e^3x, eikä siis sama kuin osoittaja.
Tietenkin nimittäjän derivaatta on 3e^3x. Miksikäs muuten kertojaksi olisi lisätty vielä tuo (1/(3e^2x)... Tehdäänpä pitkän kaavan mukaan, niin kaikki ymmärtää...
integroimiskaava:
§(f'/f)dx=lnlfl C
integroitava lauseke:
§((e^x)/(e^3x-1))dx
Merkitään osoittajaksi nimittäjän derivaatta (3e^3x). Tällöin integraalin eteen tulee laittaa kertoja a, jolla a*(3e^3x)=e^x. Eli (1/(3e^2x)).
Integraaliksi saadaan
(1/(3e^2x))§((3e^3x)/(e^3x-1))dx
Nyt integroimiskaavaa käyttäen tulokseksi tulee tuo aiemmin mainitsemani (1/(3e^2x))*lnle^3x-1l C
Selkenikö?
niin mikset samalla jaa (ja kerro) integroitavan funktion käänteisarvolla? Silloin integraaliksi tulisi tosi yksinkertainen C(x) §dt...
Kyllä matikanopettajasi suuttuu, kun otat kokeessakin x:n integraalista ulos...
Anteeksi, en lukenut viestiäsi kunnolla. Mutta siirtosääntö koskee vain vakioita, että tuo on silti väärin.
Juu, niinhän se on... siirtosääntö koskee tosiaan vain vakioita. Tästä kun on jo aikaa, kun meillä integraaleja oli, niin ei ihan kaikki oo pysyny mielessä. Tuli oltua hieman huolimaton. Mut hei.. virheitä sattuu kaikille, eikös juu !??!? Viisaammat ovat sitten ojentamassa ;) ...Mutta sitä en sitten ymmärrä, miksi mat.opettajani sanoi, että ko. funktion voi integroida yksinkertaisesti. Taisi hänki katsoa sitä hieman huolimattomasti... naurakaamme sitten yhdessä tälle :D