Eli tälläiset pitäisi ratkaista...
a:) Neljän 3 m pitkän tangon avulla tehdään pyramidin näköinen teltta siten, että pohja on neliön muotoinen. Mikä on teltan korkeus, kun sen tilavuus on mahdollisimman suuri?
b:) Lieriön muotoisen kannettoman tölkin tilavuus on V. Minkä muotoiseksi töllki tulisi valmistaa, jotta tarvittava peltimäärä olisi mahdollisimman pieni?
c:) Millä t:n arvolla funktio
y(t)= 1 9t2 - 2t2 kasvaa nopeimmin?
d:) Määritä yhtälön
-x
e = sin x
pienin juuri
-8
10 :n tarkkuudella.
Kiitoksia jo etukäteen! :)
a:) Neljän 3 m pitkän tangon avulla tehdään pyramidin näköinen teltta siten, että pohja on neliön muotoinen. Mikä on teltan korkeus, kun sen tilavuus on mahdollisimman suuri?
b:) Lieriön muotoisen kannettoman tölkin tilavuus on V. Minkä muotoiseksi töllki tulisi valmistaa, jotta tarvittava peltimäärä olisi mahdollisimman pieni?
c:) Millä t:n arvolla funktio
y(t)= 1 9t2 - 2t2 kasvaa nopeimmin?
d:) Määritä yhtälön
-x
e = sin x
pienin juuri
-8
10 :n tarkkuudella.
Kiitoksia jo etukäteen! :)
Vastaukset 17
Vanhimmat
Jos olisit käyttänyt tuon tehtävien tänne kopioimiseen tarvitsemasi ajan matematiikankirjasi silmäilyyn, niin osaisit itsekin nuo laskea. Kaikki ovat derivaatan sovellutuksia, jos d-kohtakin ratkaistaan Newton-Raphson-menetelmällä.
kiitos! olipas paljon apua...
niin, siitä on apua jos lukee ja opiskelee vähän aikaa niitä oppikirjoja.
mitään oikeita vastauksia ei ole järkeä antaa, koska myöhemmin olet vielä enemmän pihalla jos et edes tuolaisia hallitse.
potenssimerkin ^ käytön opetteliminen olisi myös suositeltavaa. oli aluksi aika epäselkeätä nuo kaksi viimeistä kohtaa. tai ainakin arvelen että tarkoitat 2t2:llä 2t^2, etkä 4t:tä
et kai oikeasti luule että työelämässäkin joku muu tekisi sinun työt puolestasi? (tai jos tekee niin hyvin helposti myös se palkkakin menee sille toiselle; tässä yhteydessä asian oppiminen)
35 vuoteen en ole työelämässä tälläisiä laskuja tarvinnut ja tuskimpa tulen ikinä tarvitsemaankaan!
Olen kyllä yrittänyt pyöritellä noita laskuja ja vanhoja kirjoja olen selaillut mutta kun en ole varma vastauksista niin ajattelin että joku olisi auttanut vanhaa miestä
mihinkä noita laskuja nyt sitten mahdat tarvita?
"mutta kun en ole varma vastauksista niin ajattelin että joku olisi auttanut vanhaa miestä"
kirjoita tänne ne vastaukset jotka olet saannut aikaiseksi. siten on helpompi sanoa mikä on oikein ja mikä ei ole oikein. aloituksestasi tulee enemmin kyllä mieleen joku laiska kaveri haluaa että joku muu tekisi kotitehtävät puolestansa.
Osa tehtävistä on tuttuja siitä, kun toimin taannoin apuopettajana tekniikan amk:ta käyvälle.
Ja nuo tehtävät oli tietysti jossain viimeisessä kurssissa, kun takana oli jo 10 ov:ta amismatikkaa. Eiks vaan? Heh heh, että ne amikset ovat tyhmiä. Me ollaan nimim. Jo vain kanssa b:n ylioppilaita, töissä kassalla ja keväällä yritetään neljättä kertaa oikikseen.
Tässä vinkkejä:
a)
ei muuta, kuin muodostat tilavuuden yhtälön, missä pohjan sivut ovat b, pyramidin särmät a, ja korkeus neliöjuuri a*a-0,25(b*b). Merkkaat, että 4*a 4*b=3. Derivoit yhtälön, ja etsit sopivan nollakohdan.
b)
sama periaate
c)
toisen derivaatan nollakohtien etsintä
d)
vaikuttaisi logaritmifunktion numeeriselta selvitykseltä esim Newton-menetelmällä.
tuota c-kohtaa, sehän on vain toisen asteen yhtälö (ylöspäin aukeava paraabeli). Kahden derivoinnin jälkeen jää yhtälöstä jäljelle pelkkä 14.
Vai "jää" 14, voisiko siitä päätellä jotain?! Olisi varmaan aika rasittavaa olla amiksen opettaja, niiksi kai heitä siellä kutsutaan. Et ymmärrä yhtään mistä laskussa on kysymys.
vastausta laskuun sieltäkään. Tämä on näköjään kinkkinen lasku. Millähän palstalla joku osaisi sanoa vastauksen ?
PS. Mistä muuten päättelet minun olevan AMK:ssa?
Niin, eihän se tietenkään ole varma, että yhtälöllä olisi toisen derivaattan nollakohtaa. Pahoittelen epähuomiotani. Vastaus c) kohtaan on, että se ei kasva missään yksittäisessä kohdassa nopeimmin, mutta D(y(t))=> ääretöntä, kun t=> äärentöntä tai -ääretöntä.
ei osata, puhutaan vaan paskaa! Kukaan ei pystynyt laskemaan oikeita vastauksia, mutta kyllä suu käy ja "amikset" saavat haukkuja!
Säälittävää!
en usko että se olisi osaamisesta kiinni, vaan viitseläisyydestä. ei oikein innosta alkaa laskemaan kenenkään muun kotitehtäviä; omissa on ihan tarpeeksi hommaa..
ei tuo alkuperäinen kirjoittaja ilmeisesti jaksanut kirjoittaa sitä mihin hän oli päässyt laskuissa ja mitä epäili vääräksi(kuten tuolla aikaisemmin kysyin), joten en minäkään jaksa vaivata päätäni tuolla
"ei osata, puhutaan vaan paskaa!"
ei minun tarvitse todistella osaamistani kenellekkään, riittää että tiedän itse että osaan laskea nuo. jos et usko että osaisin laskea nuo, niin se ei pahemmin minua liikuta.
vai oletko alkuperäinen kirjoittaja ja yritit tällä saada 'huijatuksi' jonkun kirjoittamaan oikeat vastaukset?
Jos katot noita aiempia viestejä, niin ehkä SINÄKIN huomaat, että siellä on kyllä viestejä, jotka todistaa ko. laskujen osaamisesta. Se miks oikeita vastauksia ei löydy, ei taida johtua osaamisesta.
"Näköjään täälläkään...
ei osata"
Tarkottaaks toi nyt, että AMK-armeija on laskenut päänsä puhki omalla foorumillaan? LOL.
Taisit ilmaista jotain mitä ei ollut tarkoitus... sucker!
Kun kyselijällä on ollut aikaa laskea tehtävät jo itsekin, niin tässä hieman vastauksia:
a)
Pyramidin tilavuus V, kun sivun pituus on b ja korkeus h
V = b^2*h/3 (1)
Teltan särmän pituus L (avaruus-Pytagoras)
L^2=b^2/2 h^2, (2)
mistä voidaan b^2 ratkaista
b^2=2*(L^2-h^2). (3)
Tämä tulos sijoitetaan (1):een ja derivoidaan saatu yhtälö ääriarvon määrittämiseksi
dV/dh=-2*h^2 2*L^2/3=0. (4)
Ratkaistaan (4) h:n suhteen
h=sqrt(3)*L/3. (5)
Sijoittamalla L=3 m (5):een saadaan tulokseksi
h=sqrt(3) m (likimain 1.73 m).
b)
Tölkin tilavuus V, kun sen säde on r ja korkeus h
V=Pi*r^2*h. (6)
Avonaisen tölkin vaipan ala A (pohja sylinteri)
A=Pi*r^2 2*Pi*r*h (7)
Ratkaistaan h (6):sta [h=V/(Pi*r^2)] ja sijoitetaan tulos (7):ään
A=Pi*r^2 2*V/r (8)
Derivoidaan (8) r:n suhteen ja merkitään tulos nollaksi. Näin
dA/dr=2*Pi*r-2*V/r^2=0. (9)
Ratkaistaan yhtälö (9) r:n suhteen eli saadaan minimialaa vastaava säde r_min
r_min=(V/Pi)^(1/3) (10a)
ja täten myös
h_min=r_min. (10b)
Nyt havaitaan, että minimialaa vastaa tölkki, jonka korkeus on puolet halkaisijasta.
c)
y(t)= 1 9*t^2 - 2*t^2 (11a)
eli sievennettynä
y(t)= 1 7*t^2. (11b)
Derivoidaan (11b) kahdesti t:n suhteen
y"(t)=14. (12)
Tuloksesta havaitaan, että funktion muutosnopeus on vakio ja täten riippumaton t:stä.
Tutkitaan nyt (11b);n ensimmäistä derivaattaa eli
y'(t)=14*t. (13)
Havaitaan, että (13) on positiivinen eli funktio on kasvava, kun t>0. Derivaatan arvo on suurin eli kasvu on nopeinta, kun x lähestyy ääretöntä.
d)
Kyseessä on traskendaalinen yhtälö, jota ei voida ratkaista analyyttisesti. Lisäksi piirtämällä saadaan selville, että yhtälöllä on ääretön määrä juuria ja funtio lähestyy funktiota -sin(x), kun x lähestyy ääretöntä.
Ratkaistaan pienimmän juuren likiarvo käyttäen Newton-Raphsonin kaavaa x[n 1]=x[n]-h[n], missä h[n]=y(x[n])/y'(x[n]). (Merkintä [n] tarkoittaa indeksiä n.)
Nyt
y=exp(-x)-sin(x) (14)
h=y/y'=[exp(-x) - sin(x)]/[-exp(-x) - cos(x)] (15)
Arvataan tai katsotaan kuvioista pienimmän juuren likiarvo
x[0]=0.5 =>
y[0]=0.127105121108430
h[0]=-0.0856438169664321.
Toistetaan iteraatiota, kunnes |h[n]|< 10^(-8):
x[1]=0.585643816966432
y[1]=0.004011277205973
h[1]=-0.00288559565992305
x[2]=0.588529412626355
y[2]=0.000004620254218
h[2]=-0.00000333135106372140
x[3]=0.588532743977419
y[3]=6.161*10^(-12)
h[3]=-4.44228989838408*10^(-12)
x[4]=0.588532743981861.
Näin x[4] on juuren likiarvo ja sen virhe < 10^(-12) => pienimmän juuren likiarvo on 0.58853274.
Huom! Laskettaessa sinifunktion kulman arvon tulee olla radiaaneina tai muuttaa sini- tai kosinifunktion kulma asteiksi [esim. sin(180*x/Pi)].