Numeerista matematiikkaa

tämän linkin lähteet?

http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=1500000000000005&conference=4000000000000024&posting=22000000002328737

"Olkoon a kuuluu positiivisiin reaalilukuihin ja n kuuluu pos. kokonaislukuihin. Etsi rekursioyhtälö luvun n(juuri)a laskemiseksi."

Eiköhän se mene jotenkin näin:

Halutaan laskea x = a^(1/n) [eli n:s juuri a:sta]

Nyt "nähdään", että yhtälön f(x) = 0 x^n - a = 0 juuri on x = a^(1/n), joten f(x) = x^n - a käy tarkoitukseemme.

Määritetään f:n derivaatta f' = nx^(n-1) ja mätkäistään se ja f Newtonin iteraatiokaavaan [ x_(n 1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n) ], niin saadaan rekursiokaava:

x_(n 1) = x_n (x^n - a) / (nx^(n-1))

Alkuarvaukseksi käy vaikka x_0 = 1 tai x_0 = n. Kaavan pitäisi toimia ainakin kaikilla n \in N ja a \in R . Testasin sitä kylläkin vain arvoilla n=3, a=71 ja x_0 = 1, joilla se suppeni kohtullisen nopeasti kymmenen desimaalin tarkuudelle oikeasta cbrt(71):stä.

Saamasi vihjeen perusteella tehtävä ei kyllä ollut mikään mahdoton ratkaistavaksi.

Suoran pienimmän neliösumman sovituksen voi taas johtaa helpoiten seuraavasti:

Kaikki datapisteet pyrkivät toteuttamaan suoran yhtälön eli

a x0 b = y0
a x1 b = y1
a x2 b = y2
.
.
.
a xn b = yn.

Tämä voidaan esittää matriisimuotoisena yhtälönä A c = f, missä A on n x 2 -matriisi
   | x1 1|
   | x2 1|
   | . . . |
   | xn 1|

c ja f ovat vektorit
   | a|
   | b|
ja
   | y1|
   | y2| .
   | … |
   | yn|

Matriisiyhtälö voidaan saattaa muotoon A^T A c =A^T f, joka voidaan helposti ratkaista c:n suhteen. Komponenttimuodon jätän jokaiselle kotitehtävänä laskettavaksi.