Miten lasketaan tällainen lasku:
2"potenssiin" (X 2/2) -2"potenssiin" (-X/2)
1?
2"potenssiin" (X 2/2) -2"potenssiin" (-X/2)
1?
Matikan tehtävä
mie
191141
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 19
Vanhimmat
Tarkoitat kai
2^((X 2)/2) -2^(-X/2) 1,
vai sitten aivan jotakin muuta?
Sitä just tarkotin ja X pitäs ratkasta!
Vaihdetaan muuttuja ja merkitään z = 2^(X/2).
Nyt alkuperäinen yhtälö saadaan muotoon
2z-1/z 1 = 0,
josta saadaan sieventämällä toisen asteen yhtälö
2z^2 z-1 = 0,
jonka juuret ovat z1 = 1/2 ja z2 = -1.
Näistä ensimmäisestä saadaan takaisinsijoittamalla
2^(X/2) = 1/2,
mikä ratkeaa esim. ottamalla molemmista puolista logaritmi ja ratkaisemalla X saadusta yhtälöstä
log(2) X/2 = -log(2).
Näin saadaan lopputulos X = -2.
Toinen juuri antaakin sitten X:lle kompleksiarvon ja oletan, että vain reaalijuuria etsittiin.
Ei tämäkään vaatinut kuin hieman pikkunäppäryyttä ja aivan lukion matematiikan perustietoja.
"2^((X 2)/2) -2^(-X/2) 1"
"Sitä just tarkotin ja X pitäs ratkasta!"
Miten siitä voi ratkaista x:n, kun ei siinä ole mitään yhtälöä, vaan pelkkä lauseke?
Aivan sama kuin sanoisin, että ratkaise x lausekkeesta 2x.
Yhtälö on sellainen, jossa on '='-merkki. Tällöin yhtälö voidaan (jossain tapauksissa) ratkaista "suljetussa muodossa" tietyn muuttujan suhteen niin, että '='-merkin toiselle puolelle jää pelkästään kysytty muuttuja ja toiselle puolelle lauseke, jossa taas ei esiinny kysyttyä muuttujaa.
Esimerkki yhtälöstä, jonka voi ratkaista "suljetussa muodossa":
x^2 x = 1
Esimerkki yhtälöstä, jota ei voi ratkaista "suljetussa muodossa":
sin(x) = x
Jälkimmäinen voidaan kuitenkin ratkaista numeerisesti äärettömän tarkasti.
Eli vähän sivistävää termistöä lisää. Strawmanin "suljettu" muoto tarkoittaa ratkaisemista eksplisiittisesti. Eli nimenomaan siten, että saadaan yhtälön tuntematon "kokonaan" erotettua muusta osasta. Jos näin ei tapahdu on yhtälö implisiittisessä muodossa. Eli esimerkiksi juuri tuossa sin(x)=x
"sin(x)=x"
Sattui moka - minun piti siis keksiä nimen omaan joku muu kuin tuollainen, missä 'tarkan' ratkaisun näkee suoraan (x=0). Esim. cos(x) = x käy.
"Strawmanin 'suljettu' muoto tarkoittaa ratkaisemista eksplisiittisesti."
Jos nyt heitän hatusta vähän lisää termistöä, niin eikö siinä itse asiassa ole kyse _analyyttisestä_ ratkaisemisesta?
Käsittääkseni siis vaikkapa ympyrän yhtälön (r=1) voi ilmaista joko implisiittisesti muodossa
y^2 x^2 = 1
tai eksplisiittisesti muodossa
y = \pm sqrt( 1 - x^2 )
Eksplisiittinen ratkaisu voi olla myös numeerinen, ts. myös implisiittisesti ilmaistun yhtälön x = cos(x) voi ratkaista approksimoiden myös eksplisiittisesti (x = 0,739...). Sitä ei kuitenkaan voi ratkaista analyyttisesti.
Nyt kun tarkemmin muistelen, niin ratkaiseminen "suljetussa muodossa" olikin (ainakin) prof. Pitkärannan käyttämä nimitys integroimisessa sille, että tietylle funktiolle voidaan löytää vain alkeisfunktioista koostuva integraalifunktio.
Ts. esim. (e^x)/x ei ole integroituva suljetussa muodossa.
"Jos nyt heitän hatusta vähän lisää termistöä, niin eikö siinä itse asiassa ole kyse _analyyttisestä_ ratkaisemisesta?"
Nimenomaan. Käsittääkseni ei voida puhua "eksplisiittisestä numeerisesta" ratkaisusta. En nyt ole varma, mutta luullakseni tuo sana "eksplisiittinen" juontuu sanaan "eksaktiin", joka ei enää toimi numeeriseen ratkaisuun. Sehän ei ole tarkka.
Minusta on turha alkaa kiistellä terminologiasta, kun ainakin alkuperäisen kysyjän kohdalla olisi tärkeää oppia, miten jokin matemaattinen lauseke kirjoitetaan eli mikä on normaali laskujärjestys, mitä sulut tarkoittavat tai mikä on lausekkeen ja yhtälön ero. Lisäksi hänen olisi hyvä tietää, että yleensä tuntemattomina käytetään matematikassa pieniä kirjaimia kuten x, y tai z, tai että fysiikassa käytettävät symbolit on normioitu omalla tavallaan.
Vasta sitten, kun tälläiset perusasiat ovat tukevasti hallussa, voidaan siirtyä hienopiirteisempään matemaattiseen lillukointiin.
"Minusta on turha alkaa kiistellä terminologiasta, kun ainakin alkuperäisen kysyjän kohdalla olisi tärkeää oppia, [...]"
Tämä on keskusteluryhmä. Joskus aihe ajautuu pois alkuperäisestä, eikä uuden 'säikeen' (thread) aloittaminen ei ole aina järkevää. "Kiistely" terminologiasta ei mitenkään häiritse alkuperäisen kysyjän kysymyksiä.
"mikä on normaali laskujärjestys, mitä sulut tarkoittavat tai mikä"
He, jotka eivät ole kirjoittaneet matemaattisia lausekkeita tietokoneella, laskimella, kirjoituskoneella tms., eivät välttämättä osaa esittää jo paperilla monimutkaiselta näyttävää lauseketta (ylä- ja alaindeksejä, juuria, jakoviivoja ym.) tällaisessa tekstipohjaisessa systeemissä niin, että siitä edes saisi selvän.
Paperilla ei olla totuttu laittamaan sulkuja joka paikkaan. Laskujärjestyskin menee helposti sekaisin, kun koetetaan ASCII:lla esittää jotain yksinkertaisia murtolausekkeita.
Muistaakseni lukiossa ei opetella LaTeXia, jolla lausekkeet saisi täälläkin esitettyä helposti. Esim. 2. asteen yhtälön ratkaisukaava:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Kuinka moni osaa tuonkin lukea?
Ehkä arvosteluni oli turhan ankaraa, koska itse olen kirjoittanut kaavoja hyvinkin paljon mm. symbolimatematiikkaohjelmiin. Toisaalta taas tiedän, että lukiossa käytettävät graafiset laskimet pakottavat myös tarkkaan matemaattisten esitysten kirjoittamiseen.
Mutta noilla mainitsemillani välineillä ei saa tulosta, jos ei kirjoita syötettä oikein. Niissä pätee tehokkaasti "garbage in, garbage out" -sääntö, ja sen takia tarvitaan erityistä huolellisuutta, jota toivoisin myös täällä harrastettavan.
Eihän tuo vielä ole mikään lasku. Jos enempää tietoja ole annettu, on lakua mahdotonta laskea. Ehkäpä lausekkeesta täytyykin esim. ratkaista x (kun on ensin lauseke=jotain)?
"Laskusi" voi tulkita aika monella tavalla johtuen kirjoitustavasta. Mutta tuota saa supistettua esim sillä että 2 potenssiin (x 2)/2 = (2 potenssiin (x/2))*2 ja tuota jälkimmäistä termiä samalla tavalla. En kyllä ymmärrä mitä tuossa haetaan. Supistettua muotoako? x ei tuosta käsittääkseni häviä mihinkään.
Ok, myönnän olleeni huolimaton. Tehtävä kuuluu siis ratkaise X yhtälöstä:
2^((X 2)/2) -2^(-X/2) 1=0
Yritä vastaisuudessa olla matematiikassa huolellisempi, sillä vain siten pääset hyviin tuloksiin. Kävikin tuossa väliin sääliksi niitä yliopistojen tai ammattikorkeakoulujen matematiikan opettajia, jotka seuraavaksi saavat sinut kiusakseen.
Tällä kertaa sivistyneet arvauksemme tuottivat lopulta sen ongelman, joka tuli ratkaista, mutta aina ei käy näin.
Tehtävä sinänsä ei ollut minusta lukion kurssiin mitenkään vaikea, tarvittiin vain vähän näppäryyttä. Mutta laske tuollaisia tehtäviä vielä paljon lisää, jotta saat tarvittavan rutiinin eikä tarvitse kysellä apuja.
"jotta saat tarvittavan rutiinin eikä tarvitse kysellä apuja"
Totta, mutta tästä jäi se maku että avun kyseleminen olisi jotenkin negatiivista.
Päinvastoin ihmisiä tulisi rohkaista kyselemään apua ja keskustelemaan ongelmista.
Tiedän kuinka ärsyttävää on, jos jokin lasku yksinkertaisesti ei vain luonnistu. Siinä menee lopuksi hermot ja tulee ns. sokeaksi ratkaisulle vaikka se olisi kuinka yksinkertainen.
Tässä vinkki yhtälön ratkaisemiseksi. Yritä muuttaa 2^((X 2)/2) ja 2^(-X/2) samaan muotoon. Sitten voisi vaikka korvata nämä jollakin?
Jos ei vielä avautunut, niin voin postata vastauksen.
Jos viittit antaa sen lopullisen laskutavan ihan oikein laskettuna, niin mä katon oonko laskenu ihan päin seiniä! Kiitti! Oon laskenu tota laskua jo liian kauan...
Johan tuolla ylempänä aikoja sitten esitin tehtävän ratkaisun ja varmasti oikein. Miksi siis jauhaa edelleen vanhaa asiaa?
Kappas siellä olikin vastaus. En huomannut, kun se hukkui noihin hirveisiin off-topiceihin.