En saa yhtään kiinni ajatuksesta differentiaaliyhtälöt.
Ensinnäkin, mitä tarkoittaa alkuarvotehtävä?
"Ratkaise alkuarvotehtävä y'=y yx, y(0)=1." Mitä ihmettä tässä pitää tehdä? Mitä tuo alkuehto oikeastaan sanoo?
Differentiaaliyhtälö
t44v3tt1
6
1310
Vastaukset
- kiireessä
on täynnä tavaraa diff. yhtälöistä ja tuossakin on yksi sivu
http://users.jyu.fi/~peanju/dyluennot.pdf
Kyse on separoituvasta differentiaaliyhtälöstä , jossa on annettu alkuarvo integraalivakion C ratkaisemiseksi
Fysiikassahan nämä alkuarvot ovat usein alkunopeuksia tai yms..
Tuo ratkaistaan siis erottamalla muuttujat, eli merkitään ensin y pilkkua dy/dx:llä, joten
yhtälö on dy/dx=y(1 x), ja sitten separoimalla: dy/y=(1 x)dx, ja sitten integroimalla puolittain:
ln(y)=x (x^2/2) lnC, eli y =e^(x (x^2/2) lnC), joten y=(e^x)*(e^x^2/2)*(e^lnC)= Ce^(x (x^2/2))
ja nyt käytetään sitä alkuarvoa y(0)=1, eli 1=Ce^0, joten C=1 ja ratkaisu: y(x)=e^(x (x^2/2))
(Tässä tuo integroimisvakio on annettava nimenomaan muodossa lnC, eikä C)- kiireessä
tämä nyt, kun se vaivaa, ja nuo itseisarvomerkit löytyivät
Yhtälöllähän on eräs ratkaisu y=0
dy/y=(x 1)dx, ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y,C≠0
ln│y│=½ x^2 x ln│C│, josta │y│=e^(½ x^2 x ln│C│) joten
│y│=│C│e^(½ x^2 x) , ja nyt vasta y=Ce^(½ x^2 x), koska C on tietenkin myös ±C
Voi tämän tehdä toisinkin:
dy/y=(x 1)dx ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y≠0
ln│y│=½ x^2 x C1, josta │y│=e^(½ x^2 x C1) joten
│y│=e^C1*e^(½ x^2 x) , eli y=±e^C1*e^(½ x^2 x)
Nyt voidaan vakio-osa ±e^C1 korvata normaalilla integrointivakio C:llä, joten
y=Ce^(½ x^2 x)
alkuarvoa käyttäen sitten ratkaistaan C, ja saadaan lopullinen ratkaisu - jahvettipappa
kiireessä kirjoitti:
tämä nyt, kun se vaivaa, ja nuo itseisarvomerkit löytyivät
Yhtälöllähän on eräs ratkaisu y=0
dy/y=(x 1)dx, ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y,C≠0
ln│y│=½ x^2 x ln│C│, josta │y│=e^(½ x^2 x ln│C│) joten
│y│=│C│e^(½ x^2 x) , ja nyt vasta y=Ce^(½ x^2 x), koska C on tietenkin myös ±C
Voi tämän tehdä toisinkin:
dy/y=(x 1)dx ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y≠0
ln│y│=½ x^2 x C1, josta │y│=e^(½ x^2 x C1) joten
│y│=e^C1*e^(½ x^2 x) , eli y=±e^C1*e^(½ x^2 x)
Nyt voidaan vakio-osa ±e^C1 korvata normaalilla integrointivakio C:llä, joten
y=Ce^(½ x^2 x)
alkuarvoa käyttäen sitten ratkaistaan C, ja saadaan lopullinen ratkaisuVoi helkutti kun matikanopettajatkin osais selittää asian yhtä hyvin! :) (tää kommentti on ihan ilman sarvia ja hampaita)
- kiireessä
jahvettipappa kirjoitti:
Voi helkutti kun matikanopettajatkin osais selittää asian yhtä hyvin! :) (tää kommentti on ihan ilman sarvia ja hampaita)
Kiitos kehuista. Yleensä täällä kun jonkun asian selittää omastakin mielestä hyvin, niin koko ketju loppuu siihen kuin seinään.
Onhan sekin tietysti merkki siitä, että oli ymmärrettävä selitys.
Joku toinen vanha diff.yhtälö selitykseni sai kanssa tänä vuonna lisäkommentin, se olisi täyttänyt seuraavana päivänä viisi vuotta, tämä sai vanheta nelisen vuotta.
- Alkoarvot
Esimerkki alkuarvotehtävästä. Työnnät kuulaa. Kuulan lentorata riippuu kuulan nopeudesta, kun se lähtee kädestä, lähtökulmasta sekä lähtökorkeudesta. Kuulan lentorataa voidaan mallintaa differentiaaliyhtälöllä. Kuulantyöntäjä pyrkii määräämään alkuarvot (fyysisten rajoitteidensa puitteissa) siten, että kuula lentää mahdollisimman pitkälle. Tietenkään ei tavallinen kuulantyöntäjä määrää alkuarvoja todellisuudessa, vaan löytää ahkeralla harjoittelulla likimäärin sopivimmat. Liikuntatieteilijät voivat ehkä auttaa häntä optimiarvojen löytämisessä.
- Mane
Alkuarvo sisältää a priori tiedon - sinne se tökätään alkuun arvoina, alkuarvoina!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Katso: Ohhoh! Miina Äkkijyrkkä sai käskyn lähteä pois Farmi-kuvauksista -Kommentoi asiaa: "En ole.."
Tämä oli shokkiyllätys. Oliko tässä kyse tosiaan siitä, että Äkkijyrkkä sanoi asioita suoraan vai mistä.... Tsemppiä, Mi2027949- 424522
Poliisiauto Omasp:n edessä parkissa
Poliisiauto oli parkissa monta tuntia Seinäjoen konttorin edessä tänään. Haettiinko joku tai jotain pankista tutkittavak282210Haluan jutella kanssasi Nainen
Olisiko jo aika tavata ja avata tunteemme...On niin paljon asioita joihin molemmat ehkä haluaisimme saada vastaukset...O192109Onko mies niin,
että sinulle ei riitä yksi nainen? Minulle suhde tarkoittaa sitoutumista, tosin eihän se vankila saa olla kummallekaan.281925Armi Aavikko Malmin hautausmaa
Haudattiinko Armi arkussa Malmin hautausmaalle vai tuhkattiinko hänet? Kuka tietää asiasta oikein?401795Voitasko leikkiä jotain tunnisteleikkiä?
Tietäisi ketä täällä käy kaipaamassa.. kerro jotain mikä liittyy sinuun ja häneen eikä muut tiedä. Vastaan itsekin kohta771726Haluisin suudella ja huokailla
ja purra kaulaasi ja rakastella sinua. Haluisin puristella rintojasi ja pakaroitasi. Ei sinulla taida olla kuitenkaan ni221689Tietysti jokainen ansaitsee
Hän varmasti ansaitsee vain parasta ja sopivinta tietenkin, suon sen onnen hänelle enemmän kuin mielelläni. Aika on nyt171633Miksi näin?
Miksi vihervassut haluaa maahan porukkaa jonka pyhä kirja kieltää sopeutumisen vääräuskoisten keskuuteen? Näin kotoutumi391448