En saa yhtään kiinni ajatuksesta differentiaaliyhtälöt.
Ensinnäkin, mitä tarkoittaa alkuarvotehtävä?
"Ratkaise alkuarvotehtävä y'=y yx, y(0)=1." Mitä ihmettä tässä pitää tehdä? Mitä tuo alkuehto oikeastaan sanoo?
Ensinnäkin, mitä tarkoittaa alkuarvotehtävä?
"Ratkaise alkuarvotehtävä y'=y yx, y(0)=1." Mitä ihmettä tässä pitää tehdä? Mitä tuo alkuehto oikeastaan sanoo?
Vastaukset 6
Vanhimmat
on täynnä tavaraa diff. yhtälöistä ja tuossakin on yksi sivu
http://users.jyu.fi/~peanju/dyluennot.pdf
Kyse on separoituvasta differentiaaliyhtälöstä , jossa on annettu alkuarvo integraalivakion C ratkaisemiseksi
Fysiikassahan nämä alkuarvot ovat usein alkunopeuksia tai yms..
Tuo ratkaistaan siis erottamalla muuttujat, eli merkitään ensin y pilkkua dy/dx:llä, joten
yhtälö on dy/dx=y(1 x), ja sitten separoimalla: dy/y=(1 x)dx, ja sitten integroimalla puolittain:
ln(y)=x (x^2/2) lnC, eli y =e^(x (x^2/2) lnC), joten y=(e^x)*(e^x^2/2)*(e^lnC)= Ce^(x (x^2/2))
ja nyt käytetään sitä alkuarvoa y(0)=1, eli 1=Ce^0, joten C=1 ja ratkaisu: y(x)=e^(x (x^2/2))
(Tässä tuo integroimisvakio on annettava nimenomaan muodossa lnC, eikä C)
tämä nyt, kun se vaivaa, ja nuo itseisarvomerkit löytyivät
Yhtälöllähän on eräs ratkaisu y=0
dy/y=(x 1)dx, ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y,C≠0
ln│y│=½ x^2 x ln│C│, josta │y│=e^(½ x^2 x ln│C│) joten
│y│=│C│e^(½ x^2 x) , ja nyt vasta y=Ce^(½ x^2 x), koska C on tietenkin myös ±C
Voi tämän tehdä toisinkin:
dy/y=(x 1)dx ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y≠0
ln│y│=½ x^2 x C1, josta │y│=e^(½ x^2 x C1) joten
│y│=e^C1*e^(½ x^2 x) , eli y=±e^C1*e^(½ x^2 x)
Nyt voidaan vakio-osa ±e^C1 korvata normaalilla integrointivakio C:llä, joten
y=Ce^(½ x^2 x)
alkuarvoa käyttäen sitten ratkaistaan C, ja saadaan lopullinen ratkaisu
Voi helkutti kun matikanopettajatkin osais selittää asian yhtä hyvin! :) (tää kommentti on ihan ilman sarvia ja hampaita)
Kiitos kehuista. Yleensä täällä kun jonkun asian selittää omastakin mielestä hyvin, niin koko ketju loppuu siihen kuin seinään.
Onhan sekin tietysti merkki siitä, että oli ymmärrettävä selitys.
Joku toinen vanha diff.yhtälö selitykseni sai kanssa tänä vuonna lisäkommentin, se olisi täyttänyt seuraavana päivänä viisi vuotta, tämä sai vanheta nelisen vuotta.
Esimerkki alkuarvotehtävästä. Työnnät kuulaa. Kuulan lentorata riippuu kuulan nopeudesta, kun se lähtee kädestä, lähtökulmasta sekä lähtökorkeudesta. Kuulan lentorataa voidaan mallintaa differentiaaliyhtälöllä. Kuulantyöntäjä pyrkii määräämään alkuarvot (fyysisten rajoitteidensa puitteissa) siten, että kuula lentää mahdollisimman pitkälle. Tietenkään ei tavallinen kuulantyöntäjä määrää alkuarvoja todellisuudessa, vaan löytää ahkeralla harjoittelulla likimäärin sopivimmat. Liikuntatieteilijät voivat ehkä auttaa häntä optimiarvojen löytämisessä.
Alkuarvo sisältää a priori tiedon - sinne se tökätään alkuun arvoina, alkuarvoina!