Tarviin apua Diofantoksen yhtälön ratkaisemiseen

matikkaa

miten ratkaistaan niinkin "yksinkertainen" diofantoksen yhtälö, kuin 2x 3y=1
Minulta ei suju edes tämä, kun en tajunnut ideaakaan D;

4

128

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • algebrikko

      Lineaarisessa kahden tuntemattoman Diofantoksen yhtälössä tulee etsiä ensiksi yksi ratkaisu. Tästä näkee jo korvalla, että jos (x,y)=(x_0,y_0)=(-1,1), niin yhtälö toteutuu. Koska (2,3)=1, on yhtälön 2x 3y=1 kaikki ratkaisut muotoa x=-1 3t,y=1-2t, missä t on kokonaisluku. Tässä käytetyn lause todistuksineen on esitetty osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/kirjallisuus/lukuteoria2011.pdf kohdassa 9.

      Jos tuota yksittäistä ratkaisua ei huomaa, sen voi laskea Eukleideen algoritmilla. Tämä on valmiiksi ohjelmoitu sivulla http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM

      • 8+13

        Kovasti näyttäisi olevan suoran yhtälön vektorimuoto r= ro ts, ja siitä saatava parametrimuoto.

        ro on paikkavektori johonkin tunnettuun pisteeseen, ja s on suoran suuntavektori t(3i-2j), eli

        xi yj= -i j t(3i-2j)=> x=-1-3t, y=1-2t

        Olisikin parempi kun puhuttaisiin (ja opetettaisiin ainakin paremmin) vaan suoran yhtälöistä ja niiden muuttamisesta muodosta toiseen. Diofantoksen yhtälöt voidaan heittää vasemman olkapään ylitse, ainakin lukiossa.
        Sitten kun osataan suoran käsittely voidaan Diofantoksen yhtälöt tarvittaessa ratkaista niillä tiedoilla.
        (Sama pätee kolmen muuttujan Diofantoksillekin, silloin vaan käsitellään tason yhtälöitä ja suuntavektoreita, silloin on tosin tiedettävä/haettava kokeilemalla kolme tason pistettä.)

      • korjjj
        8+13 kirjoitti:

        Kovasti näyttäisi olevan suoran yhtälön vektorimuoto r= ro ts, ja siitä saatava parametrimuoto.

        ro on paikkavektori johonkin tunnettuun pisteeseen, ja s on suoran suuntavektori t(3i-2j), eli

        xi yj= -i j t(3i-2j)=> x=-1-3t, y=1-2t

        Olisikin parempi kun puhuttaisiin (ja opetettaisiin ainakin paremmin) vaan suoran yhtälöistä ja niiden muuttamisesta muodosta toiseen. Diofantoksen yhtälöt voidaan heittää vasemman olkapään ylitse, ainakin lukiossa.
        Sitten kun osataan suoran käsittely voidaan Diofantoksen yhtälöt tarvittaessa ratkaista niillä tiedoilla.
        (Sama pätee kolmen muuttujan Diofantoksillekin, silloin vaan käsitellään tason yhtälöitä ja suuntavektoreita, silloin on tosin tiedettävä/haettava kokeilemalla kolme tason pistettä.)

        xi yj= -i j t(3i-2j)=> x=-1 3t, y=1-2t

      • algebrikko
        8+13 kirjoitti:

        Kovasti näyttäisi olevan suoran yhtälön vektorimuoto r= ro ts, ja siitä saatava parametrimuoto.

        ro on paikkavektori johonkin tunnettuun pisteeseen, ja s on suoran suuntavektori t(3i-2j), eli

        xi yj= -i j t(3i-2j)=> x=-1-3t, y=1-2t

        Olisikin parempi kun puhuttaisiin (ja opetettaisiin ainakin paremmin) vaan suoran yhtälöistä ja niiden muuttamisesta muodosta toiseen. Diofantoksen yhtälöt voidaan heittää vasemman olkapään ylitse, ainakin lukiossa.
        Sitten kun osataan suoran käsittely voidaan Diofantoksen yhtälöt tarvittaessa ratkaista niillä tiedoilla.
        (Sama pätee kolmen muuttujan Diofantoksillekin, silloin vaan käsitellään tason yhtälöitä ja suuntavektoreita, silloin on tosin tiedettävä/haettava kokeilemalla kolme tason pistettä.)

        Minusta tämä lähestymistapaa olisi hassu, koska kaikkien Diofantosten yhtälöiden ratkaisut eivät ole suoralla. Esimerkiksi yhtälön y^2=x^4 x^3 1 ratkaisut ovat (x,|y|)=(-2,3), (-1,1), (0,1) ja (2,5). Moni saattaisi helposti luulla, että tuollainen vastaavuus yleistyy epälineaarisille Diofantoksen yhtälöille.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mielessäni vieläkin T

      Harmi että siinä kävi niinkuin kävi, rakastin sinua. Toivotan sulle kaikkea hyvää. Toivottavasti löydät sopivan ja hyvän
      Ikävä
      39
      1701

    2. Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa

      Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k
      Isovanhempien jutut
      6
      1361

    3. Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita

      Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p
      Jyväskylä
      42
      1327

    4. Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?

      Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.
      Ikävä
      1
      1315

    5. Ei luottoa lakko maahan

      Patria menetti sovitun ksupan.
      Suomen Keskusta
      10
      1313

    6. Persut petti kannattajansa, totaalisesti !

      Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,
      Maailman menoa
      7
      1284

    7. Sinäkö se olit...

      Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis
      Ikävä
      0
      1264

    8. Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat

      Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin
      Vaipat
      1
      1230

    9. Hyvää yötä ja kauniita unia!

      Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä
      Tunteet
      2
      1190

    10. Lepakot ja lepakkopönttö

      Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta
      Hämähäkit, kotilot ja hyönteiset
      2
      1173
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt