Polynomeja

2. n^3 3n^2 2n=n(n^2 3n 2)=n(n^2 2) mod 3. Jos n=0 mod 3, on ensimmäinen tulon tekijä n jaollinen kolmella. Toisaalta ( -1)^2 2=3, joten jos n= -1 mod 3, on n^2 2=0 mod 3. Tai sitten Fermat'n pienen lauseen mukaan n^3=n mod 3. Siis n^3 3n^2 2n=n 3n^2 2n=3(n^2 n).

Ekassa on kolmannen asteen polynomi jaettava tasan toisen asteen polynomilla, ja silloin syntyy ensimmäisen asteen polynomi au b
Nyt suoritetaan kertolasku (u^2-1)(au b) ja verrataan saatua tulosta tuohon alkuperäiseen kolmannen asteen polynomiin.
Todetaan tulevista yhtälöpareista, että ensinnäkin b=0 , joten s t on oltava myös 0, ja eliminoimalla a tulee s^2-2s 1=0, eli s=1 ja t=-1

Tokassa jakamalla n^3 3n^2 2n tekijöihinsä tulee: n(n 1)(n 2), eli kolme peräkkäistä kokonaislukua, ja varmasti joku kolmesta peräkkäisestä kokonaisluvusta on jaollinen kolmella

Nuo tehtävät ratkeavat vaikkapa näin:

Tehtävä 1)

Polynomin u^2-1=(u-1)(u 1) nollakohtien -1 ja 1 tulee olla myös polynomin P(u) nollakohtia.

P(-1) = 0
-s^2-1 2s s t = 0
s t-(s-1)^2 = 0

P(1) = 0
s^2 1-2s s t = 0
(s-1)^2 s t = 0

Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen ja vähentämällä ensimmäinen toisesta saadaan
(s-1)^2 = s t = 0, joista edelleen s=1 ja t=-1

Siis P(u) = (s^2 1)u^3 - 2su s t = 2u^3 -2u = 2u(u^2-1).

Tehtävä 2)

n^3 3n^2 2n == n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n 1) == 0 (mod 3)

Osoita että n³ 3n² 2n on jaollinen luvulla kolme, kun n on kokonaisluku.

Tässä olisi vielä yksi ratkaisutapa:

1.) n = 3q, missä q∈Z

n³ 3n² 2n
= (3q)³ 3 * (3q)² 2 * 3q
= 27q³ 27q² 6q
= 3 * ( 9q³ 9q² 2q )

2.) n = 3q 1, missä q∈Z

n³ 3n² 2n
= ( 3q 1 )³ 3 * ( 3q 1 )² 2 * ( 3q 1 )
= 27q³ 27q² 9q 1 3 * ( 3q 1 )² 6q 2
= 27q³ 27q² 9q 3 3 * ( 3q 1 )² 6q
= 3 * ( 9q³ 9q² 3q 1 ( 3q 1 )² 2q )

3.) n = 3q 2, missä q∈Z

n³ 3n² 2n
= ( 3q 2 )³ 3 * ( 3q 2 )² 2 * ( 3q 2 )
= 27q³ 54q² 36q 8 3 * ( 3q 2 )² 6q 4
= 27q³ 54q² 36q 12 3 * ( 3q 2 )² 6q
= 3 * ( 9q³ 18q² 12q 4 ( 3q 2 )² 2q )

Tällainen lähestymistapa on kuitenkin melko työläs.