Taylorin polynomi

f'(x)=3x^2-2
f''(x)=6x
f'''(x)=6
f^(n)(x)=0 n>=4

n=0
T(x)=f(2)=2^3 2*2 1=13
n=1
T(x)=f(2) f'(2)*(x-2)=13 10(x-2)=10x-7
n=2
T(x)=f(2) f'(2)*(x-2) f''(2)/2*(x-2)^2=
13 10(x-2) 6(x-2)^2=6x^2-14^x 17
n=3,4,5,6,7,...
T(x)=f(2) f'(2)*(x-2) f''(2)/2*(x-2)^2 f'''(2)/6*(x-2)^3=(täytä itse)

Pisteessä x=1
T(x)=f(1) f'(1)(x-1) f''(1)/2(x-1)^2=
0 (x-1) 3(x-1)^2=3x^2-5x 2

laskuvirheitä voi olla, eli tarkastapa itse!

Hei,
Olen äskettäin tehnyt videon, jossa selitetään Taylorin polynomi. Tässä linkki ja toivottavasti se selventää mikä Taylorin polynomi on.

http://www.youtube.com/watch?v=FB7RiPKLfIc&feature=youtu.be

Taylorin polynomikehitelmä on sarjakehitelmä siinä missä monet muutkin kehitelmät esim. Fourier-sarja tai Gram-Charlier-sarja. Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Ajatellaan yksinkertaisesti n-ulotteista vektoria y. Se voidaan esittää myös n *n säännöllisen eli ei-singulaarisen eli kääntyvän (tälle on olemassa käänteismatriiisi) ydinmatriisin A ja sopivasti valitun n-vektorin tulona x

y=Ax

A virittää n-ulotteisen avaruuden, jolloin y=Ax saadaan mihin tahansa avaruuden pisteeseen y valitsemalla sopivalla operaatiolla vektori x.

Tätä voidaan ajatella, kun tiedetään, että y on rajoitettu aliavaruuteen, jonka dimensio on m < n. Silloin A on n*m-matriisi.

Taylor-sarja yleistyy funktioihin, jotka ovat ääretönulotteisia vektoreita. Yleisesti ottaen ydinfuktiot ovat ortonormaaleita eli kohtisuorassa toisiaan vasten.

Varmaan pedagogisesti ajatellen olisi hyvä tutustua ominaisarvo-vektoriajatteluun. Tästä saadaan singulaariarvohajotelma datamatriisille X

X=U*S*V^T

U on ortonormaali matriisi
S on diagonaalimatriiisi
V on ortonormaali matriisi.

Siis peruspointti on se, että Taylor-sarjassa ydinfunktiot ovat ortonormaaleja, ja siten kaikki pisteet avaruudessa saadaan ydinfunktioiden avulla esitettyä. Ja on olemassa voimakkaampia ja heikompia ydinfunktioita, mitkä aiheuttavat ratkaisevasti joukon katkaisuun tietyllä sovitulla tarkkuudella.