Maa yo, s91/10

apuja matikkaan

Mistähän löytyisi ko. tehtävän ratkaisu, tai jos joku osaa voihan tuon tähänkin ratkaista. Siis
Osoita, että polynomi x^2 px -1/3 -p/2 vaihtaa merkkinsä välillä ]0,1[, olipa p mikä tahansa reaaliluku.

20

120

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 12+10

      Tämä tehtävä oli täällä vähän aikaa sitten, ehkä sen peräti joku löytää...

    • 11+12

      No sijoittaa tuon polynomin lausekkeeseen x=0 ja x=1 ja sitten tarkastelee noiden lausekkeiden merkkejä eri p:n arvoilla. Taitaa käydä niin että siinä saadaan kolme eri p.aluetta: kahdella lausekkeet ovat erimerkkiset ja yhdellä samamerkkiset, positiiviset. Tuolla yhdellä p:n alueella pitää osoittaa että polynomi vaihtaa merkkiä kahdesti eli paraabelin minimikohta on negatiivinen ja välillä 0-1.

    • supermate

      Merkitään f(x) = x^2 px - 1/3 - p/2

      Kaikilla p:n arvoilla f:n kuvaaja kulkee pisteen A = (1/2, -1/12) kautta.
      Kaikilla p:n arvoilla f:n kuvaaja on samanmuotoinen ylöspäin aukeava paraabeli, siirrettynä vain eri paikkaan. Tämän paraabelin muutosnopeus on pienimmillään huipussa, (missä se on nolla). Kuitenkin myös tämä paraabeli, jossa huippu osuu pisteeseen A (näin käy p:n arvolla p=-1), muuttaa merkkinsä. Siis näin käy myös muilla paraabeleilla, joissa muutosnopeus on siis kasvavaan suuntaan suurempi kuin tässä rajatapauksessa. Tämä sen takia, että ollaan puolessa välin, joten ei väliä kumpaan suuntaan f kasvaa.

    • 11+10

      Yritetäänpä matemaattisesti eksaktimpaa ratkaisua. Merkataan polynomia P(x). Todetaan että:
      P(0)=-1/3-p/2>0 kun p0 kun p>-4/3
      Siis kun p-2/3 ovat P(0) ja P(1) erimerkkiset joten P(x) vaihtaa merkkinsä ko välillä.
      P(0)>0 ja P(1)>0 kun -4/3

      • apuja matikkaan

        Jos P(0)>0 ja P(1)>0 eivätkö ratkaisut ole saman merkkiset? Miten tämä siis todistaa että P vaihtaa merkinsä?

      • 11+10

        Tuo teksti katkesi epäyhtälöstä, ei hyväksy niitä. Siis:
        P(0)>0 ja P(1)>0 välillä p> -4/3 ja p< -2/3
        Sitten hoksataan että P(1/2)=-1/12
        Siis tuolla p-välillä P(x) on siis kohdissa x=0 ja X=1 positiivinen ja kohdassa x=1/2 negatiivinen eli P(x) vaihtaa merkkiä kaksi kertaa.

    • paraatimarssia

      Kootaan tätä nyt hiukan yhteen sillä tavalla kuinka minä olen tämän näistä vastauksista ymmärtänyt.

      f(x)= x^2 px-1/3-p/2
      f(0)= -1/3-p/2 f(0) on suurempi kuin 0 silloin kun p on pienempi kuin -2/3
      f(1)= 2/3 p/2 f(1) on suurempi kuin 0 silloin kun p on suurempi kuin -4/3

      Kaikilla p:n arvoilla jompikumpi, joko f(0) tai f(1) on positiivinen.

      Kuitenkin löytyy piste x=½, jossa f on p:stä riippumatta aina -1/12, eli negatiivinen.

      Joten jos jompikumpi joko f(0) tai f(1) on positiivinen, ja f(½) on kuitenkin negatiivinen, niin tämän jatkuvan polynomifunktion on vaihdettava merkkiä x-välillä
      ]0,1[ vähintään kerran.
      (p-välillä -4/3 ja -2/3 se vaihtaa nimittäin kaksi kertaa, ja funktion kuvaajahan on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on aina x-akselin alapuolella, koska huipun y-koordinaatti on y= -((p/2 ½)^2 (1/12) , joka on aina negatiivinen.)

      • Täsmennystä

        "Kaikilla p:n arvoilla jompikumpi, joko f(0) tai f(1) on positiivinen."
        Tuo ei pidä paikkansa vaan p-alueella (-4/3, -2/3) molemmat ovat positiiviset.
        Ja tuolla alueella pitää osoittaa joko että piste (1/2, -1/12) toteuttaa funktion p:n arvosta riippumatta tai että funktion minimiarvo on aina negatiivinen.

      • paraatimarssia

        Miksi tuota väliä -4/3 < p < -2/3 pitää yleensä ruveta tonkimaan millään lailla ?

        Jos kerran ensin todetaan, että kaikilla p:n arvoilla jompikumpi on aina positiivinen, ja koska tämä ratkaisu vaatii sen, että jommankumman on oltava positiivinen, niin miksi ihmeessä pitää hakea vielä joku väli, missä molemmat ovat lisäksi yhtä aikaa positiivisia ?
        Eihän se anna ratkaisulle yhtään mitään lisäarvoa, vaan on oikeastaan virhe ruveta esittelemään erikseen jotakin määrättyä väliä, vaikka jo edellä oli käsitelty kaikki mahdolliset p:n arvot.
        Sen vuoksi se lässytys kahdesta merkinvaihdosta olikin sulkujen sisällä.

      • tarkasti

        Jompikumpi tarkoittaa joko tai. Eli se ei kata tapausta jossa molemmat ovat positiiviset. Pitää todeta että toinen tai molemmat.

    • Laskee

      Paratiisimarssi ratkaisu on ihan hyvä, kun toteamukseksi vaihdetaan:
      "Kaikilla p:n arvoilla ainakin toinen, f(0) tai f(1) on positiivinen."

      Tällöin vältytään keskustelulta siitä, tarkoittaako jompikumpi "toinen ja vain toinen".

      • tarkasti

        Eiköhän tuon termin jompikumpi looginen merkitys ole selvä, joko tai. Varmasti menee pisteitä jos esittää asian niin kuin paratiisimarssia sen esittää. Ja noiden f(0) ja f(1) merkki eri alueilla pitää joka tapauksessa selvittää voidakseen todeta että toinen tai molemmat on/ovat positiivinen/sia kaikilla alueilla. Tietysti jos on ensin selvittänyt että negatiivisia arvoja on aina, ei tarvitse aluettaista tarkastelua. Mutta jos ei voi todeta että väite pätee kahdella alueella ja keskittyä tuohon p:n välialueeseen.

      • paraatimarssia

        Taisin kaataa vahingossa taas jonkun narsistin kukkamaljakon. No, tästä lähtien saa narsistit olla palstallaan rauhassa, en kirjoita tänne enää ikinä mitään.

      • tarkasti

        Taitaa olla parempi niin. Meinaan kun sulla on asenne että alat nimittelemään kun et asiassa pärjää.

    • aeija

      Tämän tehtävän kohdalla pitäisi nyt ensimmäisenä hoksata se, että se on tehtävä nro 10, siis hyvin vaikea. Näyttääkin siltä, että tässä on osoitettava, että polynomi on jatkuva molemmissa pisteissä x=0 ja x=1, koska on se p-alue, jossa funktion arvo on molemmissa päätepisteissä positiivinen, mutta välillä pisteessä x=½ negatiivinen. Tuo ei taida nimittäin olla mikään tavallinen polynomifunktio, joka olisi itsestään selvästi jatkuva.
      Katselin hiukan lukion kirjaa tältä kohdilta, ja tuo jatkuvuuden osoittaminen ei olekaan mikään läpihuutojuttu, en nimittäin ymmärtänyt siitä ensilukemalla mitään.
      Jospa joku tästä lähtökohdasta osaisi.

      • aeija

        Tai oikeastaan pitää osoittaa, että polynomi on jatkuva kaikissa suljetun välin (0,1) pisteissä.
        Täytyy viikolla katsoa jos kirjastosta löytyy malliratkaisua.

      • aeija
        aeija kirjoitti:

        Tai oikeastaan pitää osoittaa, että polynomi on jatkuva kaikissa suljetun välin (0,1) pisteissä.
        Täytyy viikolla katsoa jos kirjastosta löytyy malliratkaisua.

        Pitääköhän sittenkään osoittaa jatkuvuus myös päätepisteissä ? Ei varmaankaan pidä, siis avoimella välillä vaan...

      • aeija

        Tässä nämä ratkaisut nyt ovat. Toivottavasti jompikumpi (vitsi) nyt kelpaa, ovat kirjasta:
        Pitkän matematiikan ylioppilaskokeet 1991-2000. Tekijät: J. Kangasaho, P.Piri ja H. Taavitsainen. http://aijaa.com/8BF516

      • aeija

        Tuossa todetaan vain lakonisesti, että funktio on polynomina jatkuva, mutta minä olen edelleen toista mieltä.
        Funktio on kyllä jatkuva, mutta kyseessähän on ylöspäin aukeava paraabeliparvi, ja jotta tuollainen paraabeliparvi olisi jatkuva, on sen huipun y-koordinaatin muodostettava jatkuva funktio (y,p )-koordinaatistossa.

        Huipun y-koordinaatti muodostaa käyrän y=-(p^2/4 p/2 1/3), ja nyt tämä käyrä on polynomina jatkuva, joten myös se alkuperäinen paraabeliparvi on jatkuva.

        Näin se pitäisi mielestäni todeta, muutenhan tehtävä olisi naurettavan helppo.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mielessäni vieläkin T

      Harmi että siinä kävi niinkuin kävi, rakastin sinua. Toivotan sulle kaikkea hyvää. Toivottavasti löydät sopivan ja hyvän
      Ikävä
      37
      1515

    2. Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa

      Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k
      Isovanhempien jutut
      6
      1311

    3. Ei luottoa lakko maahan

      Patria menetti sovitun ksupan.
      Suomen Keskusta
      8
      1247

    4. Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?

      Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.
      Ikävä
      1
      1245

    5. Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita

      Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p
      Jyväskylä
      41
      1228

    6. Persut petti kannattajansa, totaalisesti !

      Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,
      Maailman menoa
      3
      1225

    7. Sinäkö se olit...

      Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis
      Ikävä
      0
      1204

    8. Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat

      Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin
      Vaipat
      1
      1180

    9. Hyvää yötä ja kauniita unia!

      Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä
      Tunteet
      2
      1160

    10. Lepakot ja lepakkopönttö

      Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta
      Hämähäkit, kotilot ja hyönteiset
      1
      1136
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt