Ympyrän keskipiste on (2,59 ja säde 13. Onko piste
a) (-5,16) b) (14,0)
ympyrällä, ympyrän sisällä vai ympyrän ulkopuolella?
En tajua lainkaan tehtävän periaatetta. Piirtääkö vai laskea? Kiitos
a) (-5,16) b) (14,0)
ympyrällä, ympyrän sisällä vai ympyrän ulkopuolella?
En tajua lainkaan tehtävän periaatetta. Piirtääkö vai laskea? Kiitos
Vastaukset 24
Vanhimmat
Laske noiden pisteiden etäisyys ympyrän keskipisteestä ja vertaa sitä säteeseen.
näin juuri, pelkkä vinkki eikä puolestalaskemista.
Näin pitäisi kaikkien menetellä.
Ensin joudut tietysti muodostamaan ympyrän (keskipistemuotoisen) yhtälön. Ja kyllä, laskea pitäisi.
miksi pitäisi yhtälö olla?
Tässä tapauksessa ympyrän yhtälön määrääminen on tarpeetonta. Riittää aivan hyvin, että pisteiden etäisyyksiä keskipisteestä verrataan ympyrän säteeseen.
Jos nyt ympyrän yhtälö sattuisi olemaan tiedossa muodossa
x^2 y^2 a*x b*y c = 0,
niin tätä voi käyttää tehtävän ratkaisuun. Olkoon piste (u,v). Lasketaan yhtälön vasemman puolen arvo, kun x = u ja y = v. Jos arvo on positiivinen, niin piste(u,v) on ympyrän ulkopuolella, jos se on negatiivinen, niin se on sisäpuolella. Kun arvo = 0, niin piste on ympyrällä.
Selitys:
Pinta z = x^2 y^2 a*x b*y c kolmiulotteisessa avaruudessa on ylöspäin aukeava paraboloidi, joka muodostuu, kun parabeli pyörähtää akselinsa ympäri. Pisteet (x,y), joilla z = x^2 y^2 a*x b*y c = 0, ovat paraboloidin ja (x,y)-tason leikkauspisteitä, jotka siis muodostavat ympyrän. Ympyrän sisäpuolisissa pisteissä z < 0 ja sen ulkopuolella z > 0.
Siitä ympyrän yhtälön vasemmasta puolesta se etäisyys keskipisteestä juuri lasketaankin.
Se vasen puoli, eli etäisyys^2 = (x-2)^2 (y-5)^2, ja tuohon sijoitetaan piste A(-5,16), ja tulee 49 121=170, eli etäisyys=sqrt(170). Ympyrän ulkopuolella ollaan, koska etäisyys on suurempi kuin13.
Jos sitä ympyrän yhtälöä ei halua käyttää, niin sitten vektoreilla.
etäisyysvektori = -(-5i 16j) 2i 5j=7i 11j, ja tuon pituus on sqrt(170)
etäisyysvektori = -(-5i 16j) (2i 5j)=7i-11j, ja tuon pituus on sqrt(170)
Kirjoitetaan ympyrän yhtälö muotoon f(x,y) = (x-xc)² (y-yc)² - R², missä (xc,yc) on ympyrän keskipiste ja R sen säde. Sijoitetaan pisteet yhtälöön f(x,y). Jos f(x,y) < 0, niin piste (x,y) on ympyrän sisällä, f(x,y) = 0, niin kehällä, ja jos f(x,y) > 0, niin ulkopuolella.
Tuossahan (x-xc)² (y-yc)² on nimenomaan tarkasteltavan pisteen ja ympyrän keskipisteen välinen etäisyys. Tuo, että "jos f(x,y) < 0, niin piste (x,y) on ympyrän sisällä" perustuu kai kyseisen etäisyyden vertaamiseen ympyrän säteeseen. Eli sun ratkaisusi on vain näennäisesti hienompi kuin alkuperäinen ratkaisu.
Tuo väitteesi on tietysti totta, mutta se pohjautuu suppeaan näkemykseen asiasta. Esittämäni tapa on yleinen puoliavaruustesti, jolla voi katsoa, miten jokin avaruuden piste sijoittuu johonkin analyyttiseen pintaan nähden. Tuo ympyrä on oikeastaan sellainen ympyräsylinteri, jonka z-akselin suuntainen keskiakseli leikkaa xy-tason pisteessä (xc,yc).
Testi pätee myös muiden pintojen kuten esimerkiksi tason f(x,y,z) = p⋅x q⋅y - r⋅z - s tai toruspinnan f(x,y,z) = [c - √(x² y²)]² z² -a² suhteen.
Tuo on joka tapauksessa yo-tason matematiikkaa, ja alkuperäinen kysymys taisi olla koulutehtävä.
Yksinkertaisiin tehtäviin käytetään yksinkertaisia menetelmiä
Tässä tapauksessa on annettu kolme pistettä ja ratkaisuun riittää parin etäisyyden laskeminen, joka käy lukuisilla yksinkertaisilla tavoilla (esim Pythagora), vaikka tehtäväasettelun mmuoto on puettu ympyrän kehään, itse ympyrällä ei ratkaisun kannalta ole mitään osaa, sama olisi voitu kysyä myös suoraan etäisyyden mittana.
Näyttää lähinnä naurettavalta itsetehostukselta, kun ruvetaan puhumaan yleisistä ympyrän kaavoista ja muista nyansseista, jotka eivät varmasti auta vähääkään kysyjää, miettikää nyt vaikka itse, jos tietotaso on sellainen, että tämän tason tehtävään täytyy kysyä neuvoa, niin nuo sekavat höpötykset varmasti karkoittavat lopullisestikin ko. kysyjän mielenkiinnon koko asiaan.
Jos on tarve esitellä omaa osaamistaan, niin ok. mutta mieluummin sellaisten keppihevosten selässä, joka ei aiheuta vain vahinkoa alkeita ammentavan mielikuvaan, antaa laajemman käsittelyn tulla käyttöön, kun on sen aika.
Näin toiveena.
Siis ensiksi pitää kertoa, että puun voi kaataa vain kivikirveellä, vaikka olisi käytettävissä teräskirves, justeeri, moottorisaha tai monitoimikone?
Älä ny vaahtoo siinä ! Tämän tehtävän tarkoitus on nimenomaan ympyrän määritelmän ja ympyrän yhtälön läpikäyminen, eli ei todellakaan mikään
Pythagorastehtävä sen paremmin kuin vektoritehtäväkään, vaikka vektoreilla tämä olisikin helpoin ratkaista.
Ensin 13- säteisen ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö, (jolla esitellään ympyrän yhtälö), ja sitten samasta keskipisteestä R säteisen ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö, johon sijoitetaan piste A tai B .
Siitä ratkaistaan se R, jota verrataan kolmeentoista. Se on nimenomaan näin. Piste.
Tuohan selviää parhaiten (jos tarvis) selvittämällä, minkä luokan kirjasta ja minkä otsikon alta tehtävä löytyy. Ap.kysyjä tuon heti tietää, jos vain tulee jälkikäteen vilkaisseeksi palstaa.
Yleisemminkin olisi hyvä, jos kysyjä arvaisi mainita minkä luokan laskuja kysymys on :) Monet opiskelijat eivät enää muista millä luokalla mitkäkin asiat ovat eka kertaa esiintyneet.
Oletko juovuksissa ?
Palstan säännöissä ei kai mainita, että tämä palsta on vain alkeismatematiikkaa varten. Otsikohan on Suomi24 / Tiede ja kulttuuri / Tiede / Matematiikka. Siis myös edistyneempi matematiikka kuuluu alueeseen, vaikkakin sitä esiintyy täällä harvoin.
Jos pelkää kovasti, että matemaatikot tulevat häiritsemään, niin voisi kirjoittaa palstalle Suomi24 / Nuoret / Koulu.
Kutsutko sinä noita itsekeskeisä narssisteja matemaatikoiksi ?
Netistä kaivetuilla kaavoilla elvisteleminen, vieläpä väärässä paikassa herättää vain vastenmielistä sääliä.
on mahdollista ja ehkä suotavaakin, että tyhjentää vaikka kaiken tietämyksensä aiheesta palstalle, mutta vaikka eri ketjussa; ei niinkään siinä tarkoituksessa, että siitä olisi sen hetken akuutti hyöty koululaisaloittajalle.
Kun näin tekee erikseen, sitä voi vapaasti kritisoida eikä sotke koululaisen tehtävää asioilla, jotka ovat kirjoittajan mielikuvassa edistyksellisiä tai uutta näkökulmaa avaavia. Niinhän sitä tiedettäkin tehdään, altistetaan kritiikille...
ja itse asiassa jotkut harvat opiskelevatkin matematiikkaa tiedemielessä myös, ei vain jotain käytännön muodollista vaatimusta varten.
Piirrä kuva! Keskipisteen Y-koordinaatin arvohan on niin suuri säteeseen verrattuna, että voit päätellä asian ihan suoraan. Kysytyt pisteethän ovat usean säteen mitan päässä kehästä.
Ja muille vastaajille: Miettikää edes hetki ennen vastausta ja lukekaa se tehtävä!
Et miettinyt itsekään sitä keskipistettä. Eikö muka sinulle ole käynyt niin, että kaarisulku kiinni sijaan on tullutkin 9 ?
Tuo pisteen etäisyyden laskeminen ympyrän keskipisteeseen ja vertaaminen säteeseen on yksinkertaisin menetelmä, ja sen pitäisi riittää täysien pisteiden saamiseen, jos tehtävässä ei ole muuta vaadittu. Tuo menetelmä rajoittuu luonnollisesti vain ympyröihin. Muille suljetuille tasokäyrille f(x,y) = 0 ilmeisesti pätee, että f(x,y) saa erimerkkisiä arvoja, kun piste (x,y) on tasokäyrän rajaaman alueen sisä- tai ulkopuolella, mutta tämä ei taida sisältyä esim. lukion matematiikkaan.
Olen silloin tällöin koululaskuihin vastaillut, ja erityisesti sellaisia liikateoretisointeja 'oikaisten', kun menevät koululaisen ja kirjansa horisontin yli. Tämä asia lienee lyhyen ja pitkän matikan rajamailla, josta johdatteluna asiasta yleensä on, että olkoon kaksi pistettä, liikkuva (x,y) ja kiinteä (xc,yc) ja lasketaan xy-koordinaatistossa Pythagoraalla niiden etäisyys. Kun tämä etäisyys merkitään vakioksi r, yhtälö samalla meinaa pisteiden joukkoa, jotka ovat r:n etäisyydellä kiinteästä pisteestä (xc,yc) eli ympyrän kehää. Syntynyt esitys on ns.keskipistemuoto, josta suoraan näkee mikä on keskipiste ja säde. Kerrataan vielä, että pisteet, jotka toteuttavat tuon yhtälön, sijaitsevat ympyrän kehällä, ts. yhtälön vasen puoli (neliöjuuren alla) tarkoittaa tuota r:n suuruista etäisyyttä pisteestä (xc,yc). Ja sitten tulee tuo aloittajan esittämä 'vakio'harjoitus.
Tässä siis yhtälö: (x-2)^2 (y-5)^2 = 13^2. Kysytään onko piste (14,0) kehällä.
Saadaan 144 25, joka on 13^2, ja siten on ympyrän kehällä.
PIste (-5,16): 49 121=170 menee vähän yli 169:n, joten ei ole.
Ympyrän yhtälön yleinen muoto on varmaan pitempää matikkaa, koska ei ole niin havainnollinen. Muuten tuossa alempana "Tangenttitehtävä":ssä on myös tämän kaltainen tilanne, mutta siinä kysyjä jo alkuunsa huomaa, ettei "tuollaisia asioita ole meillä ollut". Vasta sitten saa vaiheelleen sopivan vastauksen.
Suomen matematiikan opetus rämpii suossa. Kun minä aikoinaan kävin lukiota 90-luvulla, siellä lyhyen matematiikan oppikirjassakin käytiin läpi derivointi aivan kaavojen kanssa ja sitten sivuttiin vielä integrointia.
Nyt, 2010-luvulla, integroinnista ei ole tietoakaan ja derivoinnista esitetään ainoastaan sen graafinen selitys. Analyyttinen geometria ja moni muu matematiikan osa-alue on käynyt läpi samanlaisen "metamorfoosin". Aivan käsittämätöntä meininkiä. Ja samaan aikaan vaaditaan oppilailta yhä uusien kielten opiskelua ja kieltenopetuksen aikaistamista.
Mikä ihmeen humanistipoppoo siellä opetushallituksessa oikein istuu? Tähän maahan tuovat rahaa teknisiin ja luonnontieteisiin aloihin perustuvat innovaatiot eikä turha, kaupallinen, human resource jauhanta.
Edellinen tehtävä pitäisi kyetä ratkaisemaan peruskoulun oppimäärällä; eihän se tosiaan vaadi muuta kuin Pythagoraan kaavan soveltamista ja sen soveltamisen pitäisi olla intuitiivistä, kun vain piirtää sen ympyrän keskipisteen, em. pisteet ja ympyrän kehän harpilla koordinaatistoon.