Pitäisi laskea integraali I = int int int e^-(x^2 y^2 z^2) dxdydz yli tilavuuden
D = {(x,y,z) | z > sqrt(x^2 y^2)
Okei, pallokoordinaateilla saadaan funktionaalideterminantiksi r^2 sin theta
ja siis I = int int int r^2 sin theta * e^(-r^2) dr d theta d fii
Mitkä ovat r:n integroimisrajat? En oikein hahmota...
Eikös muut ole 0 < fii < 2pi ja 0 < theta < pi/4 ?
Kiitos vaan avusta :)
Kolmoisintegraali
pöt
13
218
Vastaukset
- ---
r:n pitäisi olla nollasta äärettömään? D on kuitenkin määritelty äärettömän suureksi joten ei muuta vaihtoehtoa.
- sekoboltsi
Integrointi pitäisi kai tehdä sellaisen alueen yli, jossa x ja y voivat saada ehdon sanelemia arvoja. z on tällöin suurempi kuin z-akselista laskettu etäisyys sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa.
Kun ollaan xy-tasossa ja z = 0, ehto ei toteudu missään.
Kun ollaan kyseisen tason alapuolella (z < 0), ehto ei toteudu, sillä sqrt(x^2 y^2) on aina positiivinen ollessaan positiivisen luvun neliöjuuri.
Ilmeisesti integrointi täytyy suorittaa positiivisilla z-arvoilla. Näillä arvoilla käy seuraavasti: kun z kasvaa, voidaan mennä kauemmas z-akselista niin, että ehto toteutuu. Rajapinnalla z = r. Integrointialue on siis jonkinlainen origosta ulospäin z-akselin suuntaan mentäessä levenevä torvipinta.
Pallokoordinaateissa ehto z = r voidaan kirjoittaa cos theta = sin theta. Näin ollen
tan theta = 1, ja edellä mainitsemani torvipinta suoristuu kartioksi. Kartion sivu muodostaa z-akselin kanssa 45 asteen kulman, joten kulma theta saa kaikki arvot väliltä 0 - 45 astetta. Säde r voi saada mitä tahansa (positiivisia) arvoja ja kulma phi voi saada kaikki arvot väliltä 0 - 360 astetta.
Säteen r integrointirajat voi hahmottaa seuraavalla tavalla: kun ollaan kulman theta = 45 astetta sisäpuolella, voidaan edetä kuinka kauas tahansa origosta. Jokaisella kulmalla tämän rajan sisäpuolella on käytävä läpi kaikki r:n arvot, jotta koko tilavuus tulisi integroiduksi. Millä tahansa etäisyydellä origosta voidaan pyörähtää täysi kierros z-akselin ympäri.
Enkai puhunut täyttä puppua? Jos puhuin, hommaa minulle paperit mielisairaalaan.- ---
x ja y ovat vapaita muuttujia, ainoastaan z on rajoitettu.
No takaperoisesti voisi ajatella että z on vapaasti valittavissa mutta x ja y riippuvat z:n arvosta. Mutta koska z ei voi olla negatiivinen niin tämä jälkimmäinen kuulostaisi huonolta idealta.
Tilavuus taitaa olla nimeltään ympyräkartio ...
- pöt
Sitten jää vielä ongelmaksi tuo integraali r^2 e^(-r^2) dr, kun siinä on tuo r^2 edessä, eikä pelkkä r.... fii ja sin theta hoituvat näppärästi, ja niistä tulee kerroin
2pi(1-1/sqrt2) koko homman eteen.- ---
onnistuisko osittaisintegroinnilla, muutat sen muotoon r*(r*e^(-r^2))
etummaisen osaat derivoida ja jälkimmäisen integroida. - (*^*)
--- kirjoitti:
onnistuisko osittaisintegroinnilla, muutat sen muotoon r*(r*e^(-r^2))
etummaisen osaat derivoida ja jälkimmäisen integroida.Ei taida onnistua (en kyllä osaa lonkalta heittää miksei, pitänee koittaa), funktio meinaan näyttäisi integroituvan erikoisfunktioksi.
- ...
(*^*) kirjoitti:
Ei taida onnistua (en kyllä osaa lonkalta heittää miksei, pitänee koittaa), funktio meinaan näyttäisi integroituvan erikoisfunktioksi.
r*e^(-r^2):n integraali on -½ e^(-r^2)
- ...
... kirjoitti:
r*e^(-r^2):n integraali on -½ e^(-r^2)
ja integraali miinus äärettömästä äärettömään e^(-r^2) dr
näyttäisi olevan sqrt(pi) joten nollasta äärettömään kaiketi on puolet tuosta .... - (*^*)
... kirjoitti:
r*e^(-r^2):n integraali on -½ e^(-r^2)
Niin on, mutta alkuperäisen funktion integraalissa on yhtenä terminä virhefunktio : /
- ;)
(*^*) kirjoitti:
Niin on, mutta alkuperäisen funktion integraalissa on yhtenä terminä virhefunktio : /
missä, vastauksessako vai jo tehtävänannossa?
Kyllä tuon avausviestin ongelma on varsin selkeä ... jos se olikin vain puolikas tehtävä niin mahdoton siihen on mitään kenenkään sanoa. - (*^*)
;) kirjoitti:
missä, vastauksessako vai jo tehtävänannossa?
Kyllä tuon avausviestin ongelma on varsin selkeä ... jos se olikin vain puolikas tehtävä niin mahdoton siihen on mitään kenenkään sanoa.... Lienetkö tosissasi ; )? Ei virhettä tehtävässä tai vastauksessa, vaan tuosta integraalista tulee ulos virhefunktio.
Virhefunktio erf(x) on erikoisfunktio joka määritellään epäoleellisena integraalina (2/sqrt(pi)) int (e^(-x'²) dx' nollasta äksään. Kun tuon r^2 e^(-r^2):n integroi, tulee mukaan virhefunktio. - ;)
(*^*) kirjoitti:
... Lienetkö tosissasi ; )? Ei virhettä tehtävässä tai vastauksessa, vaan tuosta integraalista tulee ulos virhefunktio.
Virhefunktio erf(x) on erikoisfunktio joka määritellään epäoleellisena integraalina (2/sqrt(pi)) int (e^(-x'²) dx' nollasta äksään. Kun tuon r^2 e^(-r^2):n integroi, tulee mukaan virhefunktio.niin mitäs siitä, sehän on hyvin tunnettu funktio ja siitä saa lukuarvon ...
lopulliseen vastaukseen ei jää mitään virhefunktiota. - (*^*)
;) kirjoitti:
niin mitäs siitä, sehän on hyvin tunnettu funktio ja siitä saa lukuarvon ...
lopulliseen vastaukseen ei jää mitään virhefunktiota.Ei toki jää, kummastelin vain tuota itse integraalia. Mutta never mind.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Eroa Orpo! Orpo eroa!
Suomen kansa vaatii viimein ottamaan meidät huomioon, eikä vain ulkomaalaisia pääomasijoittajia. Koska täällä Suomessa732622Odottavan aika on pitkä, Lindtmanin hallitusta tule jo!
Eilisen perusteella nykyinen hallitus epäonnistui kaikissa vaalilupauksissaan, joten olemme ansainneet uudet eduskuntava631702SDP esti Suomen luisumisen kohti 1984 Orwell -yhteiskuntaa
Äärioikeistohallitus olisi halunnut Stasin tapaan mikrofonit jokaisen kansalaisen kotiin, mutta SDP esti tuon siirtymän71670Naiset ei halua kilttejä miehiä
Näin se vaan on..jos olet ilman tatskoja, et rähjää, sinulla ei ole rikosrekisteriä, olet liian kiltti, et sano pahasti,2631555Wille Rydman (ps) osoitti olevansa kommunisti
Hän toistaa Neuvostoliiton virhettä. Haluaa pitää palveula yllä maksoi mitä maksoi, vaikkei ole maksavia asiakkaita. --81528Seiska: Helmi Loukasmäki paljastaa - Näin Danny ja Helmi tapasivat
Helmi Loukasmäki, 25, ja Ilkka Danny Lipsanen, 83, ovat seurattuja julkkiksia. Mutta tiesitkö, miten he tapasivat? Lue261236Ainoastaan 10 aloitusta ekasivulla yhdeltä henkilöltä
Kovasti on vaivaa, ei oo muuta tekemistä tällä henkilöllä päivisin ja öisin... Taas märehtimistä ja samaa jankutusta.251088Kiinteistökauppoja
Onko totta ettö haapaveden kaupunki on ostanut vanhan kesoilin kiinteistön? Kuulemma siihen muuttaa autokorjaamo vanhan411032RAAMATULLINEN KASTE ON SAPATTI-LAUANTAI, EI SUNNUNTAI
Aihe, josta ehkä on eniten kiistaa kristillisten seurakuntien piirissä, on kysymys oikeasta raamatullisesta pyhäpäivästä4041012Menettämisestä
Ajatteletko, että olet menettänyt mahdollisuutesi häneen? Osaatko sanoa miksi niin tapahtui?79986