Pitäisi laskea integraali I = int int int e^-(x^2 y^2 z^2) dxdydz yli tilavuuden
D = {(x,y,z) | z > sqrt(x^2 y^2)
Okei, pallokoordinaateilla saadaan funktionaalideterminantiksi r^2 sin theta
ja siis I = int int int r^2 sin theta * e^(-r^2) dr d theta d fii
Mitkä ovat r:n integroimisrajat? En oikein hahmota...
Eikös muut ole 0 < fii < 2pi ja 0 < theta < pi/4 ?
Kiitos vaan avusta :)
D = {(x,y,z) | z > sqrt(x^2 y^2)
Okei, pallokoordinaateilla saadaan funktionaalideterminantiksi r^2 sin theta
ja siis I = int int int r^2 sin theta * e^(-r^2) dr d theta d fii
Mitkä ovat r:n integroimisrajat? En oikein hahmota...
Eikös muut ole 0 < fii < 2pi ja 0 < theta < pi/4 ?
Kiitos vaan avusta :)
Vastaukset 13
Vanhimmat
r:n pitäisi olla nollasta äärettömään? D on kuitenkin määritelty äärettömän suureksi joten ei muuta vaihtoehtoa.
Integrointi pitäisi kai tehdä sellaisen alueen yli, jossa x ja y voivat saada ehdon sanelemia arvoja. z on tällöin suurempi kuin z-akselista laskettu etäisyys sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa.
Kun ollaan xy-tasossa ja z = 0, ehto ei toteudu missään.
Kun ollaan kyseisen tason alapuolella (z < 0), ehto ei toteudu, sillä sqrt(x^2 y^2) on aina positiivinen ollessaan positiivisen luvun neliöjuuri.
Ilmeisesti integrointi täytyy suorittaa positiivisilla z-arvoilla. Näillä arvoilla käy seuraavasti: kun z kasvaa, voidaan mennä kauemmas z-akselista niin, että ehto toteutuu. Rajapinnalla z = r. Integrointialue on siis jonkinlainen origosta ulospäin z-akselin suuntaan mentäessä levenevä torvipinta.
Pallokoordinaateissa ehto z = r voidaan kirjoittaa cos theta = sin theta. Näin ollen
tan theta = 1, ja edellä mainitsemani torvipinta suoristuu kartioksi. Kartion sivu muodostaa z-akselin kanssa 45 asteen kulman, joten kulma theta saa kaikki arvot väliltä 0 - 45 astetta. Säde r voi saada mitä tahansa (positiivisia) arvoja ja kulma phi voi saada kaikki arvot väliltä 0 - 360 astetta.
Säteen r integrointirajat voi hahmottaa seuraavalla tavalla: kun ollaan kulman theta = 45 astetta sisäpuolella, voidaan edetä kuinka kauas tahansa origosta. Jokaisella kulmalla tämän rajan sisäpuolella on käytävä läpi kaikki r:n arvot, jotta koko tilavuus tulisi integroiduksi. Millä tahansa etäisyydellä origosta voidaan pyörähtää täysi kierros z-akselin ympäri.
Enkai puhunut täyttä puppua? Jos puhuin, hommaa minulle paperit mielisairaalaan.
x ja y ovat vapaita muuttujia, ainoastaan z on rajoitettu.
No takaperoisesti voisi ajatella että z on vapaasti valittavissa mutta x ja y riippuvat z:n arvosta. Mutta koska z ei voi olla negatiivinen niin tämä jälkimmäinen kuulostaisi huonolta idealta.
Tilavuus taitaa olla nimeltään ympyräkartio ...
Sitten jää vielä ongelmaksi tuo integraali r^2 e^(-r^2) dr, kun siinä on tuo r^2 edessä, eikä pelkkä r.... fii ja sin theta hoituvat näppärästi, ja niistä tulee kerroin
2pi(1-1/sqrt2) koko homman eteen.
onnistuisko osittaisintegroinnilla, muutat sen muotoon r*(r*e^(-r^2))
etummaisen osaat derivoida ja jälkimmäisen integroida.
Ei taida onnistua (en kyllä osaa lonkalta heittää miksei, pitänee koittaa), funktio meinaan näyttäisi integroituvan erikoisfunktioksi.
r*e^(-r^2):n integraali on -½ e^(-r^2)
ja integraali miinus äärettömästä äärettömään e^(-r^2) dr
näyttäisi olevan sqrt(pi) joten nollasta äärettömään kaiketi on puolet tuosta ....
Niin on, mutta alkuperäisen funktion integraalissa on yhtenä terminä virhefunktio : /
missä, vastauksessako vai jo tehtävänannossa?
Kyllä tuon avausviestin ongelma on varsin selkeä ... jos se olikin vain puolikas tehtävä niin mahdoton siihen on mitään kenenkään sanoa.
... Lienetkö tosissasi ; )? Ei virhettä tehtävässä tai vastauksessa, vaan tuosta integraalista tulee ulos virhefunktio.
Virhefunktio erf(x) on erikoisfunktio joka määritellään epäoleellisena integraalina (2/sqrt(pi)) int (e^(-x'²) dx' nollasta äksään. Kun tuon r^2 e^(-r^2):n integroi, tulee mukaan virhefunktio.
niin mitäs siitä, sehän on hyvin tunnettu funktio ja siitä saa lukuarvon ...
lopulliseen vastaukseen ei jää mitään virhefunktiota.
Ei toki jää, kummastelin vain tuota itse integraalia. Mutta never mind.