Kolmoisintegraali

pöt

Pitäisi laskea integraali I = int int int e^-(x^2 y^2 z^2) dxdydz yli tilavuuden
D = {(x,y,z) | z > sqrt(x^2 y^2)
Okei, pallokoordinaateilla saadaan funktionaalideterminantiksi r^2 sin theta
ja siis I = int int int r^2 sin theta * e^(-r^2) dr d theta d fii
Mitkä ovat r:n integroimisrajat? En oikein hahmota...
Eikös muut ole 0 < fii < 2pi ja 0 < theta < pi/4 ?

Kiitos vaan avusta :)

13

210

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • ---

      r:n pitäisi olla nollasta äärettömään? D on kuitenkin määritelty äärettömän suureksi joten ei muuta vaihtoehtoa.

    • sekoboltsi

      Integrointi pitäisi kai tehdä sellaisen alueen yli, jossa x ja y voivat saada ehdon sanelemia arvoja. z on tällöin suurempi kuin z-akselista laskettu etäisyys sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa.

      Kun ollaan xy-tasossa ja z = 0, ehto ei toteudu missään.

      Kun ollaan kyseisen tason alapuolella (z < 0), ehto ei toteudu, sillä sqrt(x^2 y^2) on aina positiivinen ollessaan positiivisen luvun neliöjuuri.

      Ilmeisesti integrointi täytyy suorittaa positiivisilla z-arvoilla. Näillä arvoilla käy seuraavasti: kun z kasvaa, voidaan mennä kauemmas z-akselista niin, että ehto toteutuu. Rajapinnalla z = r. Integrointialue on siis jonkinlainen origosta ulospäin z-akselin suuntaan mentäessä levenevä torvipinta.

      Pallokoordinaateissa ehto z = r voidaan kirjoittaa cos theta = sin theta. Näin ollen
      tan theta = 1, ja edellä mainitsemani torvipinta suoristuu kartioksi. Kartion sivu muodostaa z-akselin kanssa 45 asteen kulman, joten kulma theta saa kaikki arvot väliltä 0 - 45 astetta. Säde r voi saada mitä tahansa (positiivisia) arvoja ja kulma phi voi saada kaikki arvot väliltä 0 - 360 astetta.

      Säteen r integrointirajat voi hahmottaa seuraavalla tavalla: kun ollaan kulman theta = 45 astetta sisäpuolella, voidaan edetä kuinka kauas tahansa origosta. Jokaisella kulmalla tämän rajan sisäpuolella on käytävä läpi kaikki r:n arvot, jotta koko tilavuus tulisi integroiduksi. Millä tahansa etäisyydellä origosta voidaan pyörähtää täysi kierros z-akselin ympäri.

      Enkai puhunut täyttä puppua? Jos puhuin, hommaa minulle paperit mielisairaalaan.

      • ---

        x ja y ovat vapaita muuttujia, ainoastaan z on rajoitettu.
        No takaperoisesti voisi ajatella että z on vapaasti valittavissa mutta x ja y riippuvat z:n arvosta. Mutta koska z ei voi olla negatiivinen niin tämä jälkimmäinen kuulostaisi huonolta idealta.
        Tilavuus taitaa olla nimeltään ympyräkartio ...

    • pöt

      Sitten jää vielä ongelmaksi tuo integraali r^2 e^(-r^2) dr, kun siinä on tuo r^2 edessä, eikä pelkkä r.... fii ja sin theta hoituvat näppärästi, ja niistä tulee kerroin
      2pi(1-1/sqrt2) koko homman eteen.

      • ---

        onnistuisko osittaisintegroinnilla, muutat sen muotoon r*(r*e^(-r^2))
        etummaisen osaat derivoida ja jälkimmäisen integroida.

      • (*^*)
        --- kirjoitti:

        onnistuisko osittaisintegroinnilla, muutat sen muotoon r*(r*e^(-r^2))
        etummaisen osaat derivoida ja jälkimmäisen integroida.

        Ei taida onnistua (en kyllä osaa lonkalta heittää miksei, pitänee koittaa), funktio meinaan näyttäisi integroituvan erikoisfunktioksi.

      • ...
        (*^*) kirjoitti:

        Ei taida onnistua (en kyllä osaa lonkalta heittää miksei, pitänee koittaa), funktio meinaan näyttäisi integroituvan erikoisfunktioksi.

        r*e^(-r^2):n integraali on -½ e^(-r^2)

      • ...
        ... kirjoitti:

        r*e^(-r^2):n integraali on -½ e^(-r^2)

        ja integraali miinus äärettömästä äärettömään e^(-r^2) dr
        näyttäisi olevan sqrt(pi) joten nollasta äärettömään kaiketi on puolet tuosta ....

      • (*^*)
        ... kirjoitti:

        r*e^(-r^2):n integraali on -½ e^(-r^2)

        Niin on, mutta alkuperäisen funktion integraalissa on yhtenä terminä virhefunktio : /

      • ;)
        (*^*) kirjoitti:

        Niin on, mutta alkuperäisen funktion integraalissa on yhtenä terminä virhefunktio : /

        missä, vastauksessako vai jo tehtävänannossa?
        Kyllä tuon avausviestin ongelma on varsin selkeä ... jos se olikin vain puolikas tehtävä niin mahdoton siihen on mitään kenenkään sanoa.

      • (*^*)
        ;) kirjoitti:

        missä, vastauksessako vai jo tehtävänannossa?
        Kyllä tuon avausviestin ongelma on varsin selkeä ... jos se olikin vain puolikas tehtävä niin mahdoton siihen on mitään kenenkään sanoa.

        ... Lienetkö tosissasi ; )? Ei virhettä tehtävässä tai vastauksessa, vaan tuosta integraalista tulee ulos virhefunktio.

        Virhefunktio erf(x) on erikoisfunktio joka määritellään epäoleellisena integraalina (2/sqrt(pi)) int (e^(-x'²) dx' nollasta äksään. Kun tuon r^2 e^(-r^2):n integroi, tulee mukaan virhefunktio.

      • ;)
        (*^*) kirjoitti:

        ... Lienetkö tosissasi ; )? Ei virhettä tehtävässä tai vastauksessa, vaan tuosta integraalista tulee ulos virhefunktio.

        Virhefunktio erf(x) on erikoisfunktio joka määritellään epäoleellisena integraalina (2/sqrt(pi)) int (e^(-x'²) dx' nollasta äksään. Kun tuon r^2 e^(-r^2):n integroi, tulee mukaan virhefunktio.

        niin mitäs siitä, sehän on hyvin tunnettu funktio ja siitä saa lukuarvon ...
        lopulliseen vastaukseen ei jää mitään virhefunktiota.

      • (*^*)
        ;) kirjoitti:

        niin mitäs siitä, sehän on hyvin tunnettu funktio ja siitä saa lukuarvon ...
        lopulliseen vastaukseen ei jää mitään virhefunktiota.

        Ei toki jää, kummastelin vain tuota itse integraalia. Mutta never mind.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Riikan kukkaronnyöri on umpisolmussa

      Kulutus ei lähde liikkeelle, koska kansalaiset eivät usko, että: – työpaikka säilyy – tulot eivät romahda – talous ei h
      Maailman menoa
      5
      2752

    2. Jos vedetään mutkat suoraksi?

      Niin kumpaan ryhmään kuulut? A) Niihin, jotka menevät edellä ja tekevät? Vai B) Niihin, jotka kulkevat perässä ja ar
      Sinkut
      106
      2581

    3. Tanskan malli perustuu korkeaan ansioturvaan

      Ja vahvoihin työllisyys- ja kotoutumispalveluihin. Suomessa Riikka on leikannut juuri näitä: palkkatukea, työttömyysturv
      Maailman menoa
      18
      2297

    4. Vain vasemmistolaiset ovat aitoja suomalaisia

      Esimerkiksi persut ovat ulkomaalaisen pääomasijoittajan edunvalvojia, eivät auta köyhiä suomalaisia.
      Maailman menoa
      46
      1875

    5. Anteeksipyyntöni

      Jätän tähän anteeksipyyntöni sinulle, koska en voi sanoa sitä missään muuallakaan. Pyydän anteeksi, jos purkamani tuska
      Järki ja tunteet
      14
      1453

    6. Miten must tuntuu

      et sä ajattelet mua just nyt
      Ikävä
      32
      1453

    7. Kun et vain tajua että

      sua lähestytään feikkiprofiililla :D Hanki aivot :D m-n
      Ikävä
      177
      1163

    8. Sydämeni valtiaalle

      En täältä aio asioita kysellä. Haluan tuoda tiedoksesi, että pohjimmiltani en ihmisiä tahdo satuttaa ja ajattelen muiden
      Ikävä
      101
      1144

    9. Persu ajoi autoa

      Ajoi lapsen yli https://www.iltalehti.fi/kotimaa/a/597a7468-3d1d-455e-bed2-21c1efc31ac1
      Perussuomalaiset
      20
      1063

    10. Oletko tyytyväinen

      Tämän hetkiseen tilanteeseenne? Odotatko, että lähennytte vai yritätkö päästä yli ja eteenpäin?
      Ikävä
      81
      948
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt