Todennäköisyyskysymys

Missä piilee peräkkäiset


Vedetään vähän hatusta tai hihasta. Koska täällä
suurin osa vastauksista on "puuta heinää" ei ole
suurikaan häpeä jos minäkin jo kolmannen kerran
erehdyn näillä palstoilla.

Mahdollisuus, että kahdeksan ensimmäistä merkkiä
ovat nollia on (1 / 2) potenssiin 8 = 1 / 256.

Mahdollisuus, että kahdeksan ensimmäistä merkkiä
ovat ykkösiä on (1 / 2) potenssiin 8 = 1 / 256.

Mahdollisuus, että kahdeksan ensimmäistä merkkiä
ovat "nollasuora tai ykkössuora" on (1 1) / 256.

Edellä mainitut mahdollisuudet pätevät myös muissa
kahdeksan binäärinumeron (0 tai 1) joukoissa.

"Voittamattomuusmahdollisuuden kautta" laskemalla
saamme ehkä helpoimmin asian selvitettyä:
Ei "putkea" ensimmäisissä kahdeksassa numerossa =
(256 - 2) / 256 = 0.9921875

Ei putkea kahdessa jonossa: 0.9921875 ^ 2 = 0.984436
Ei putkea kolmessa jonossa: 0.9921875 ^ 3 = 0.976745
ja niin edelleen...

Laskukoneella "haarukoimalla" tulemme tulokseen, että
"voittamattomuustodennäköisyys" alittaa 0.50:n rajan
89:ssä "arvonnassa": 0.9921875 ^ 89 = 0.497558

Nyt voimme laskea todennäköisyyden tapauksille:
"Vähintään yksi 8-putki" = 1 - 0.497558 = 0.502442

Koska alkuperäinen binääriluku oli "satunnainen" niin
voinemme päätellä, että kuljettaessa bittijonoa merkki
kerrallaan siirtyen, saavutamme 50%:n todennäköisyyden
nolla- tai ykkösputken löytymiselle paikassa 89 - 96.

Samalla periaatteella voimme selvittää myös x-pituisten
z-todennäköisyydet.
Itse en nyt enää mokomaa jaksa tähän laskeskella..

Ps. Jos alkuperäisen kysyjän tarkoituksena on selvittää
kenorivien numeroiden esiintymisihmeitä ei tämä toimi.
Kenorivihän ei ole satunnainen binääriluku, vaan voimme
sen ajatella ns. vakiopainoiseksi luvuksi, jonka pituus
on 70 ja paino on 20.

Päädyin tällaiseen:

(x-7) = 2^6
= 71

Sain heikkioskarin kanssa samanlaisen tuloksen. Laskin olettamalla, että numeroita on sellainen sarja (vähintään 8 numeroa), jossa tuo 8 peräkkäisen ehto ei täyty. Kysytään, mikä on todennäköisyys, ettei ehto täyty, kun sarjaan lisätään yksi numero. Se ei täyty, jos alkuperäisen sarjan seitsemän viimeistä numeroa eivät ole ykkösiä tai nollia, tästä todennäköisyys 126/128. Se ei myöskään täyty, jos alkuperäisen sarjan seitsemän viimeistä numeroa ovat ykkösiä (tai nollia), mutta uusi numero ei ole ykkönen (tai nolla vastaavasti). Tästä todennäköisyys (2/128)*(1/2)=1/128. Yhteenlaskettu todennäköisyys on 127/128, eli vakiokerroin peräkkäisten numeron lisäys-vaiheiden välillä. Sarjalla, jossa on n (>7) numeroa, todennäköisyys "ei 8 peräkkäistä" on siis (127/128)^(n-7). Jos sen arvoksi asetetaan < 1/2, saadaan n> 95.

Yritin selvitä helpommalla, eli suotuisten tapahtumien suhteesta kaikkiin mahdollisiin.

Jos arvotaan peräkkäin n kappaletta 1 tai 0, niin kaikkien yhdistelmien lukumäärä on 2^n.

8-peräkkäistä samaa merkkiä voi olla n-7 kpl joissa n-8 kpl kumpia hyvänsä ja ne 8 voi olla 1 tai 0 joten suotuisten yhdistelmien määrä =
= 2*(n-7)*2^(n-8) ja kun sen suhde 2^n olisi 1/2 , päädytään lukemaan n=2^6 7.

Tämä hyväksyy siis myös tapaukset joissa peräkkäisiä samoja on useampiakin kuin 8, mutta oletin että haettiin "vähintään" 8-peräkkäin.