Tässä melko haastavia matematiikan tehtäviä.Osaako joku auttaa?

C_

21. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:
a) -2x 2 3x 5 ≥ 0
b) x 2 x - 2 < 0
c) x 2 - 8x ≥ -16


24. Milloin funktio f(x) = (-3x 10)2 on
a) kasvava
b) aidosti vähenevä


25. Määritä funktion f(x) = -x 2 2x 1 muutosnopeus pisteessä x = 2 käyttämällä graafista menetelmää.


26. Derivoi seuraavat lausekkeet:
a.) 0,3x^10 b.) (3x^2)^3 c.) \sqrt{\;} ( 6^8)

d.) ( x /3)^3 e.) x^3 4 / x^2 f.) 2s^5 - 7s^4


27. Määrittele funktion f(x) = x 2 - 4x derivaatta pisteissä x = 1, x= 2 ja x = 3 graafisesti ja käyttämällä derivoimissääntöjä. Vertaile tuloksia. Minkälaisia johtopäätöksiä voidaan tehdä?


28. Ratkaise yhtälö f ´(x) = 27 , kun f (x) = 3x 3 - 9x 12.


29. Tutki derivaatan avulla funktion f (x) = 4/3 x3 5/2 x2 12/2 käyttäytymistä,
kun x ∈[-2, 1].


30. Olkoon f(x) = 5x 3 4x 2 x - 12. Määritä
a) f(-2)
b) f ´(-2)
c) milloin f ´(x) = 0


31. Olkoon g(a) = a^6 5a^3 - 4a^2. Määritä
a) g(-3)
b) g ´(-1)
c) g ´(a)


32. Laske seuraavien funktioiden derivaattojen arvot pisteessä x = 3, kun

a) f (x) = -x^2 2/x^2

b) g (x) = - 1/ x - (x 1)^2

c) h(x) = ( x -1^2)


33. Selitä mitä derivaatta tarkoittaa. Mitä derivaatan avulla voidaan tutkia?


34. Osoita, että funktio f(x) = -2x2 x - 2 saa vain negatiivisia arvoja.


35. Osoita, että funktio f(x) = 2x 3 6x - 7 on kaikkialla aidosti kasvava.


36. Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri.


37. Millä a:n arvolla funktion g(x) = ax 2 - 2x minimi välillä [0, 10] sijaitsee pisteessä x= 1/5 ?


38. Puutarhuri haluaa tehdä kukkaistutuksen siten, että istutukseen tulle rinnakkain viisi samankokoista suorakulmion muotoista aluetta, jotka reunustetaan muovisella reunusnauhalla (alueiden väliin tulee yksinkertainen reunus). Reunusnauhaa on käytettävissä 80 m. Kuinka mitat tulisi valita, jotta koko istutusalueesta saadaan mahdollisimman suuri? Mikä on tällöin koko istutusalueen yhteispinta-ala?


39. Pahvinpalasta, jonka koko on 30 cm x 50 cm halutaan valmistaa tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suorakulmaisen särmiön muotoinen kanneton rasia siten, että kulmista leikataan pois neliön muotoiset palat. Minkä kokoiset palat pitää leikata pois? Mikä on tällöin rasian tilavuus?


40. Uima-allasta tyhjennettäessä altaassa olevaa veden määrää kuvaa funktio V(t) = 600(20 - t) 2, jossa t on aika minuutteina. Allas tyhjenee nopeudella q(t) = -V ´(t) (litraa/minuuutti). Altaan tyhjeneminen alkaa ajan hetkellä t = 0.
a) Kuinka kauan menee altaan tyhjenemiseen?
b) Milloin tyhjenemisnopeus on suurimmillaan?
c) Kuinka pitkän ajan kuluttua allas on puolillaan?

14

761

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 8+9

      1) Eivät ole "melko haastavia", ovat "helppoja perustehtäviä".

      2) Mene pois.

      3) Tee itse.

      Ihan oikeasti, opastan ja teenkin mielelläni jos joku laittaa tänne tehtävän tai pari, mutta tällainen kertauskokeen tai vastaavan suora dumppaaminen foorumille ilman, että yrittää edes itse, on silkkaa patalaiskuutta.

    • C_

      Ehkä sinulle helppoja mutta itselle ainakin tosi vaikeita...
      sitäpaitsi mitä pahaa tässä on ? ei ainakaan mitään haittaa ..
      Mikä sua ärsyttää ? Mene itse pois jos et kestä tätä palstaa....huh,
      kaikkea sitä näkee nykyään netissä...Sitäpaitsi eikö tämä matikkapalsta
      ole juuri tätä laskemista ja laskujakin varten?en oikein ymmärrä
      tuohtumustasi.....
      Ps. teen myös itse tehtäviä....

    • 2+16

      Kannattaa oikeasti ratkoa ja harjotella niitä eikä kopioida vastauksia.

    • 20

      eikö teillä koulussa voi keskustella tehtävistä mitä ei osaa ratkaista?

    • KÄT€IN€N

      21. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:
      a) -2x² 3x 5 ≥ 0
      b) x² x - 2 < 0
      c) x² - 8x ≥ -16

      a) -2x² 3x 5 ≥ 0
      Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö:
      -2x² 3x 5 = 0 x = -1 tai x = 5/2
      Hahmottele paperille kuva alaspäin aukeavasta paraabelista.
      Vastaus: -1 ≤ x ≤ 5/2

      b) x² x - 2 < 0
      Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö:
      x² x - 2 = 0 x = -2 tai x = 1
      Hahmottele paperille kuva ylöspäin aukeavasta paraabelista.
      Vastaus: -2 < x < 1

      c) x² - 8x ≥ -16 II 16
      x² - 8x 16 ≥ 0 (Muistikaava: a² - 2ab b² = (a - b)²)
      (x - 4)² ≥ 0, joka on tosi kaikilla x:n arvoilla

    • KÄT€IN€N

      25. Määritä funktion f(x) = -x² 2x 1 muutosnopeus pisteessä x = 2 käyttämällä graafista menetelmää.

      Tuon funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Piirrä pisteeseen (2,1) tangentti ja määritä sen kulmakerroin. Vastaukseksi pitäisi tulla -2.

    • KÄT€IN€N

      28. Ratkaise yhtälö f ´(x) = 27 , kun f (x) = 3x³ - 9x 12.

      f´(x) = 9x² - 9

      9x² - 9 = 27 II 9
      9x² = 36 II:9
      x² = 4
      x = -2 tai x = 2

    • KÄT€IN€N

      30. Olkoon f(x) = 5x³ 4x² x - 12. Määritä
      a) f(-2)
      b) f ´(-2)
      c) milloin f ´(x) = 0

      a) f(-2) = 5*(-2)³ 4*(-2)² (-2) - 12 = -38
      b) f´(x) = 15x² 8x 1
      f´(-2) = 15*(-2)² 8*(-2) 1 = 45
      c) 15x² 8x 1 = 0 x = -1/3 tai x = -1/5

    • derivata

      39.
      Poisleikattavan neliön sivun pituus on x. Silloin laatikon pohjan ala on
      (30 - 2x) * (50 - 2x) ja laatikon tilavuus siis x * (30 - 2x) * (50 - 2x). Derivaatta saadaan helpommin, kun suoritetaan kertolaskut, jolloin tilavuus

      V(x) = 4x^3 - 160x^2 1500x, josta derivaatta

      V'(x) = 12x^2 - 320x 1500 = 4 * (3x^2 - 80x 375).

      Derivaatan nollakohdat saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta:

      x = (80 - sqrt(6400 - 4 * 3 * 375) / 6
      = (80 - sqrt(1900)) / 6 = (80 -10* sqrt(19)) / 6.

      V(x) on kolmannen asteen polynomi, jonka kuvaaja kulkee kulkee origon kautta. Ensin se nousee ylöspäin. Sitten se tekee mutkan alas ja nousee taas kohti ääretöntä, kun x kasvaa. Täten pienempi nolakohdista on maksimi. Maksimikohdan on

      xmax = (80 - 10 * sqrt(19)) / 6 = 5 * (8 - sqrt(19)) / 3 = 6.06850 cm.

      Näin saadun laatikon mitat ovat 17,863 cm * 37,863 cm * 6,0685 cm, ja sen tilavuus on
      4104,4 cm^3. Tilavuuden tarkka arvo lausekkeena missä esiinty sqrt(19) vaatii hieman ruumiilista työtä.

      Tehtävä oli periaatteessa hyvin yksinkertainen, mutta sen ratkaisu vaati jo hieman pyörittämistä. Koulumatematiikka näyttää jääneen 1700-luvulle. Jos e.m. tehtävä todella pitäisi ratkaista numeerisesti, jo taulukkolaskentaohjelman avulla voitaisiin helposti haarukoida ratkaisu parin kolmen numeron tarkkuudella.

      Tarkempi numeerinen ratkaisu saataisiin esimerkiksi 1/4-haulla. Siinä tutkittava väli [a,b] jaetaan neljään yhtäpitkään osaan pisteillä x1, x2 ja x3. Sitten katsotaan onko funktiolla kupu välillä
      [a, x2], [x1, x3] tai [x2,b], Jos se on esimerkiksi välillä [x2, b], niin se otetaan uudeksi hakuväliksi, jonka pituus on puolet edellisestä.

      Derivaattoja käytetään ääriarvotehtävissä erityisesti fysiikassa ja tekniikassa vain, jos halutaan saada yleispäteviä ehtoja teoreettisissa tarkasteluissa.

    • KÄT€IN€N

      31. Olkoon g(a) = a^6 5a^3 - 4a^2. Määritä
      a) g(-3)
      b) g ´(-1)
      c) g ´(a)

      a) g(-3) = (-3)^6 5*(-3)^3 - 4*(-3)^2 = 558
      c) g´(a) = 6a^5 15a^2 - 8a
      b) g´(-1) = 6*(-1)^5 15*(-1)^2 - 8*(-1) = 17

    • Osoitus

      35. Osoita, että funktio f(x) = 2x³ 6x - 7 on kaikkialla aidosti kasvava.

      f´(x) = 6x² 6 = 6(x² 1) > 0 kaikilla x:n arvoilla, koska x² 1 > 0
      Funktion derivaatan arvo on siis aina positiivinen, joten se on kaikkialla aidosti kasvava. □

    • Herra Å

      36. Kahden luvun summa on 80. Määrittele luvut niin, että niiden tulo olisi mahdollisimman suuri.

      Olkoon x ensimmäinen luku ja 80-x toinen luku.
      f(x) = x(80-x) = 80x - x²
      f´(x) = 80 - 2x
      f´(x) = 0 80 - 2x = 0 2x = 80 x = 40
      Esimerkiksi funktion kulkukaavion avulla voit osoittaa, että kyseessä on maksimikohta.
      Vastaus: Luvut ovat 40 ja 40.

    • 7+8

      37. Millä a:n arvolla funktion g(x) = ax² - 2x minimi välillä [0, 10] sijaitsee pisteessä x= 1/5 ?

      g´(x) = 2ax - 2
      g´(1/5) = 0 2a/5 - 2 = 0 2a = 10 a = 5

    • Osoitus

      34. Osoita, että funktio f(x) = -2x² x - 2 saa vain negatiivisia arvoja.

      -2x² x - 2 = 0
      D = 1²-4*(-2)*(-2) = -15 < 0
      Koska diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole yhtään (reaalista) juurta eli funktiolla f ei ole yhtään nollakohtaa.
      Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, koska x²-termin kerroin on negatiivinen.
      Siten f:n kuvaaja on aina x-akselin alapuolella ja siten se saa vain negatiivisia arvoja. □

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kanki kovana; ei tiedä pornovideoista mitään

      Kaikkosen erityis­avustajan asunnossa kuvattiin pornoa. Väittää ettei tiedä asiasta yhtään mitään. https://www.is.fi/po
      Maailman menoa
      122
      6059
    2. Halaisin sua mies

      Jos voisin 💗
      Ikävä
      29
      2130
    3. Onkohan meillä kummallakin joku pakkomielle toisiimme

      Vähän luulen että on..
      Ikävä
      177
      1962
    4. Mitä tämä on

      Ajatella, olen viimeksi nähnyt sinua melkein vuosi sitten ohimennen. Ja silloinkin sinä välttelit minua. En ole kuullut
      Tunteet
      10
      1133
    5. Ei monet elä kuin alle 60 v, mikä vaikuttaa?

      gulp, gulp.. Juice Leskinen eli 56 vuotta. Matti Nykänen eli 55 vuotta. Topi Sorsakoski eli 58 vuotta.
      Maailman menoa
      68
      1127
    6. Olen valmis

      Kohtaamaan sinut tänä kesänä, jos sellainen sattuma osuu kohdalleni.
      Ikävä
      73
      1007
    7. Hyvää yötä kaivatulleni

      En pysty tekemään kokemaan mitään sielussa tuntuvaa, syvää, vaikuttavaa, ilman että rinnastan sen sinuun. Niin kävi tänä
      Tunteet
      24
      1007
    8. Nyt on konstit vähänä.

      Nimittäin tuulivoiman vastustajilla, kun pitää perättömiä ilmiantoja tehdä. Alkaa olla koko vastustajien sakki leimattu,
      Kiuruvesi
      24
      912
    9. Tilinpäätösvaltuusto 27.5

      Samalla viimeinen kokous ennen uudenvaltuustokauden alkamista. Vanhat antavat itselleen erinomaiset arvosanat, ja siirty
      Pyhäjärvi
      42
      897
    10. Hevoset ajoteillä Karhulanvaaralla

      Minkä ihmeen takia osaamattomat ihmiset tuovat hevosia ajoteille ja pyöräteille? Eilen oli kolari lähellä tämän takia. I
      Suomussalmi
      12
      765
    Aihe