P(x) = 0 -> sqrt(x) integraali sin(t^2) dt
Laske funktion P derivaatta kohdassa 4.
Miten tämän voisi ratkaista? Muutenhan tämä olisi helppo, mutta kun tuossa sin-funktion sisällä on t^2 eikä t.
Laske funktion P derivaatta kohdassa 4.
Miten tämän voisi ratkaista? Muutenhan tämä olisi helppo, mutta kun tuossa sin-funktion sisällä on t^2 eikä t.
Vastaukset 12
Vanhimmat
http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ05.htm
http://www.rautavaara.fi/koulut/oppima/maa13/integraali0.html
[lainasu alkaa]
Yhdistetyn funktion derivoimissääntöön perustuva integrointi
Yhdistetyn funktion derivoinnissahan piti muistaa sisäfunktion derivaatta:
D(g(f(x)) = g'(f(x))f '(x)
Jos pitää integroida yhdistetty funktio, niin sisäfunktion derivaatta on oltava tekijänä:
g(f(x))f '(x)dx = G(f(x)) C , C R
Esimerkki 1. sin 3x dx = ?
Ulkofunktio on sin ja sisäfunktio 3x. Sisäfunktion derivaatta 3 pitää järjestää perään. Koko integraali kerrotaan luvulla 1/3, jotta se "söisi" panemamme kolmosen. Siis:
sin 3x dx = 1/3· sin 3x·3 dx = 1/3 -cos 3x C, CR.
Tarkista derivoimalla.
[lainasu päättyy]
tämmöstä minä tästä yrittäisin:
http://aijaa.com/laHCAw tuota apuna käyttäen http://www.wolframalpha.com/input/?i= d/dx integral sin(t^2)dt from 0 to sqrt(x)
Sijoita y = t^2, jolloin dt = dy/2sqrt(y) ja integroinnin yläraja = x
niin ja alaraja 0. Sen kohdalla täytyisi tehdä limit tarkastelua, mutta miten tehdä kun ei tunneta tarkasteltavaa funktiota ? Sen derivaattahan on kyllä 0, jos integroinnissa teoriassa saatavan funktion arvo alarajalla on vakio, tai ääretön, mutta voihan sen arvo olla vaikka 0/0 , vai voiko?
Tuo integroitava on kuitenkin muotoa sin(y)/sqrt(y) joka -> 0 kun y->0.
Määrätty integraali on oltava määritetty suljetulla integroimisvälillä, siis myös alarajalla, ja tuo integroitava ei sitä ole.
Lähestyköön, vaan nollaa, mutta tuo sijoituskeino tässä vuotaa kuin seula, juuri siitä raosta alarajan likellä.
Piti kirjoittaa, että "Määrätyn integraalin integroitava funktio on oltava määritelty suljetulla integroimisvälillä, siis myös alarajalla, ja tuo integroitava ei sitä ole."
Määrätty integraali voidaan määritellä integraalifunktion avulla myös silloin kun integroitavalla on epäjatkuvuuskohtia integroimisvälillä tai integroimisväli ei ole rajoitettu. Tällaisia integraaleja sanotaan epäoleellisiksi integraaleiksi.
Puheena olevassa tapauksessa integroitavalla on alarajalla raja-arvo 0. Määrätty integraali on rajoitettu, koska integroitava on sitä koko integroimisvälillä. Tuota integraalin alaraja-arvoahan ei varsinaisesti tarvita koska kyseessä on integraalin derivaatta (paitsi jos x = 0)
Onhan se nyt selvä asia, että määrättyä integraalia, joka on määritelty koko välillä ja myöskin päätepisteissä ei voi muuttaa miksikään epäoleelliseksi integraaliksi, jota ei ole jommassa kummassa päätepisteessä määritelty.
Siitä tässä on kysymys.
Teette homman turhan monimutkaiseksi, sillä eihän tässä tehtävässä tarvitse tuota integraalia lainkaan laskea.
Merkitään funktion sin(t^2) jotakin integraalifunktiota kirjaimella F. Siis F'(t)=sin(t^2).
Tällöin
P(x)=F(sqrt(x))-F(0)
Derivoimalla x:n suhteen saadaan
P'(x)=F'(sqrt(x))/(2*sqrt(x))=sin(x)/(2*sqrt(2))
ja
P'(4)=sin(4)/4
Pieni kirjotusvirhehän tuohon tuli. Piti tietysti olla
P'(x)=F'(sqrt(x))/(2*sqrt(x))=sin(x)/(2*sqrt(x))
Tuossa on kai se, että pitäisi periaatteessa tarkistaa että tuo F(0) on rajoitettu, jotta integraali on olemassa.