Alkulukuja on ääretön määrä.
Löysin erään mutta se jättää kysymyksiä auki..
Löysin erään mutta se jättää kysymyksiä auki..
Saisinko todistuksen
Primenumber
151412
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Oletetaan, että on olemassa suurin alkuluku p. Muodostetaan sitten kaikkien alkulukujen tulo p:hen asti ja lisätään tuloon 1. Koska näin saatu luku on yhdistetty luku, muttei jaollinen millään alkuluvulla p:hen asti, täytyy olla jokin p:tä suurempi alkuluku, jolla luku on jaollinen.
Näin ainakin muistelisin; "satavarma" en ole.
Mitäs tuo todistaa? Jos kerromme kaikki alkuluvut keskenään ja lisäämme luvun 1 niin tuloksena saattaa olla vaikkapa parillinen luku...tai ihan mitä tahansa, missä on se seuraava alkuluku?
Vaikkapa 7x11 1 = 78 Onko takeita että alkulukua 11 seuraa uusi alkuluku?
Olkoot luvut 2, 3, 5, ..., p kaikki alkuluvut. Siis p on suurin alkuluku. Nyt luku a := 2 * 3 * 5 * ... * p 1 on välttämättä alkuluku. Luku a on suurempi kuin p, mikä on ristiriita. Siis suurinta alkulukua ei voi olla olemassa. Siis alkulukuja on äärettömästi.
Miksi a sitten on välttämättä alkuluku? Jaetaan a jollain luvulla 0 < b < a, jonka alkulukuhajotelma on b = q1 * ... * qk. Lasketaan siis
a/b = (2*3*5*...*p 1)/(q1*...*qk) = (2*3*5*...*p)/(q1*...*qk) 1/(q1*...*qk)
Viimeisen lausekkeen vasemmanpuoleinen osamäärä supistuu kokonaisluvuksi aina, oikeanpuoleinen taas vain, kun b = 1. Siis a on jaollinen itseään pienemmistä luvuista vain ykkösellä, joten a on alkuluku.
Kaikkien alkulukujen tulon ja ykkösen summa ei siis ole lainkaan mikä tahansa luku --- eikä varsinkaan parillinen, sillä se on muotoa 2n 1 jollekin kokonaisluvulle n. Primenumber, esimerkkisi 7*11 1 = 78 ei tietenkään ole alkuluku, koska olet unohtanut lausekkeen tulo-osasta seitsemää pienemmät alkuluvut. Luku 2*3*5*7*11 1 = 2311 taas on alkuluku, aivan kuin todistus näyttää.
"a/b = (2*3*5*...*p 1)/(q1*...*qk) = (2*3*5*...*p)/(q1*...*qk) 1/(q1*...*qk)
Viimeisen lausekkeen vasemmanpuoleinen osamäärä supistuu kokonaisluvuksi aina"
miksi?
p:= 5
=>
a:=2*3*5 1 = 31 ja olkoon
b:=2*2 = 4 (alkulukuhajotelma tämäkin)
a/b=30/4 1/b= 7,5 ( 1/b),
missä vasemmanpuoleinen osamäärä ei ole kokonaisluku.
Olet tietenkin aivan oikeassa. Korjataan todistus kuntoon.
Riittää tarkistaa, ettei luku a ole jaollinen millään alkuluvulla. Jos a nimittäin olisi jaollinen jollain yhdistetyllä luvulla (siis jollain alkulukuhajotelmalla), se olisi väistämättä jaollinen myös jollain alkuluvulla. Sen sijaan, että todistuksessa jaettaisiin luvulla b = q1 * ... * qk, jaetaankin nyt vain jollain alkuluvulla 0 < q < a. Luku 2*3*5*...*p on jaollinen q:lla, sillä q on yksi tulon tekijöistä, ja 1 on tietenkin jaoton q:lla. Siis a on jaoton alkuluvuilla (ja a > 1), joten se on väistämättä itse alkuluku.
Kiitos korjauksesta.
Öh. Korjataanpa vielä vaihtaen virke
"Sen sijaan, että todistuksessa jaettaisiin luvulla b = q1 * ... * qk, jaetaankin nyt vain jollain alkuluvulla 0 < q < a."
muotoon
"Sen sijaan, että todistuksessa jaettaisiin luvulla b = q1 * ... * qk, jaetaankin nyt vain jollain alkuluvulla 0 < q < p 1."
Käytät todistuksessasi hyväksi seuraavaa olettamusta:
luku a ei ole jaollinen alkuluvulla=>luku a ei ole jaollinen yhdistetyllä luvulla
Mielestäni tämän "lauseen" käyttäminen ei ole perusteltua sillä selityksellä että "Jos a nimittäin olisi jaollinen jollain yhdistetyllä luvulla (siis jollain alkulukuhajotelmalla), se olisi väistämättä jaollinen myös jollain alkuluvulla"
Noinhan se todistus menee, mutta esittämäsi perustelu ei ole aivan oikea. Oikea todistus nimittäin pohjaa siihen, että konstruoimallasi luvulla a täytyy olla jokin alkutekijä (koska oletusten nojalla a on yhdistetty, ja jokainen yhdistetty luku jakautuu alkutekijöihin), ja kuten totesit, tämä alkutekijä ei voi olla mikään luvuista 2,3,5,...,p. Tämä puolestaan on ristiriidassa sen kanssa, että 2,3,5,...,p olisivat kaikki alkuluvut. Siispä alkulukuja on äärettömän paljon.
Päätelmääsi, että luku a itse olisi alkuluku ei voi käyttää, koska se ei ole tosi, sillä esim. 2*3*5*7*11*13 1 = 30031 = 59*509. Siis myös todistuksesi tälle tulokselle on väärä. (Luku a voi vallan hyvin olla jaollinen jollakin alkuluvulla, joka on suurempi kuin mikään sitä konstruoitaessa käytetty alkuluku)
Väite:
Alkulukuja on äärettömän monta.
Todistus:
Vastaoletus: Alkulukuja on vain äärellinen määrä. Olkoot p_1,...,p_n kaikki alkuluvut. Tällöin luku a = p_1*...*p_n 1 on väistämättä yhdistetty luku, sillä se on suurempi kuin suurin alkuluku. Koska a on yhdistetty, jokin alkuluku p_1,...,p_n jakaa sen. Rajoituksetta voidaan olettaa, että tämä luku on p_1. Koska p_1 jakaa luvun a ja toisaalta kaikkien alkulukujen tulon, luvun p_1*...*p_n, niin se jakaa myös niiden erotuksen (aina on niin, että jos k jakaa m:n ja k jakaa n:n, niin k jakaa m - n:n, missä k, m ja n ovat kokonaislukuja). Mutta a - p_1*...*p_n = 1, joten saadaan, että p_1 jakaa ykkösen ja on päädytty ristiriitaan vastaoletuksen kanssa.
Hups, lopusta voi poistaa sanat "vastaoletuksen kanssa".
Tarkkaan ottaen on vain johdettu ristiriita vastaoletuksesta lähtien. Siispä vastaoletus on väärä ja alkulukuja on äärettömän monta.
Voisikohan joku kertoa tarkan määritelmän mikä on alkulukuhajotelma. Ja jos saisi vielä pari esimerkkiä...
Voidaanko esimerkiksi luvusta 7 tehdä alkulukuhajotelma?
Olkoon n > 1 luonnollinen luku. Luvun n alkulukuhajotelma on sen esitys alkulukujen tulona. Luvun alkulukuhajotelma on aina muodostettavissa ja se on tekijöiden järjestystä vaille yksikäsitteinen, se voidaan siis aina tehdä tasan yhdellä tavalla.
Esimerkiksi luvun 6 alkulukuhajotelma on 2*3, luvun 7 alkulukuhajotelma on 7 ja luvun 100 alkulukuhajotelma on 2^2 * 5^2.
Aiemmin esiintyi termi "yhdistetty luku". Mitä tämä mahtaa tarkoittaa?
Tiedonjanoinen kiittää...
Selityshän näkyi jo yhdessä kappaleessa...
Olkoon x=a1*a2*a3...*an
x 1 on pariton ja voi olla alkuluku, mutta jos se ei ole, niin täytyy olla joku luku an:n ja x 1:n välillä, jolla x 1 on jaollinen ja se luku on silloin uusi alkuluku.