Mikä on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää kolmellatoista eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kokonaisluvun kuutioiden summana? Mitkä ovat nämä kolmetoista esitystä?
Esim. luku 36 on pienin tällainen positiivinen kokonaisluku, jolla on etsittyä muotoa oleva esitys, sillä 36 = 1^3 2^3 3^3.
Esim. luku 36 on pienin tällainen positiivinen kokonaisluku, jolla on etsittyä muotoa oleva esitys, sillä 36 = 1^3 2^3 3^3.
Vastaukset 17
Vanhimmat
http://keskustelu.suomi24.fi/node/12788616
eikö sen voi laskea samaan malliin?
Onko järjestyksellä väliä? Jos on, sanoisin että tuo luku on 45 (kahden ykkösen, kahden kakkosen ja yhden kolmosen kuution summat eri järjestyksissä).
Eikö nimimerkki '17 5' ymmärrä lukemaansa?
Kyllä tuo järjestyskysymys on mielestäni relevantti, esim. tuo 36 voidaan esittää kuudella eri tavalla 1, 2 ja 3 kuutiosummina eri järjestyksissä.
Kun nikki Luehan lähti solvauslinjalle, on ehkä syytä hieman analysoida tuota kysymyksenasettelua. " joka voidaan esittää kolmellatoista eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kokonaisluvun kuutioiden summana".
Jotta olisi yksikäsitteisempi, kirjoittaisin seuraavasti: "joka voidaan esittää kolmen luvun kuutiosummana. Nämä luvut ovat erisuuria kokonaislukuja eikä yhteenlaskun tekijöiden järjestyksellä ole merkitystä".
Matematiikassa tulisi olla täsmällinen. Nikille Luehan se ei näytä olevan tärkeätä, enemmänkin muiden keskustelijoiden mollaaminen.
Ensimmäinen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää kahdella eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kuutioluvun summana, on 1009.
1009=1^3 2^3 10^3=4^3 6^3 9^3.
5104?
Luku 5104 on tosiaankin pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää kolmella eri tavalla kolmen erisuuren positiivisen kuutioluvun summana.
Nimittäin 5104 = 1^3 12^3 15^3 = 2^3 10^3 16^3 = 9^3 10^3 15^3.
Entä sitten?
Eihän tuossa mitenkään vastata alkuperäiseen kysymykseen.
Modulossa 7 kuutiot ovat vain 0, 1 ja -1. Tästähän ei ole mitään hyötyä, kun summataan kolme, joten kaikki mahdolliset jäännökset modulossa 7 ovat kuitenkin saatavissa. Voisipa kuitenkin ajatella, että jos luku on (monillakin tavoin) kolmen kuution summa, niin se todennäköisesti ei ole 3 (mod 7) tai -3 eli 4 (mod 7), sillä ei ole todennäköistä, että kaikki summattavat kuutiot olisivat juuri 1 tai -1. Mutta kuten sanottu, tästä ei ole mitään hyötyä ratkaisun kannalta, kunhan nyt kirjoittelin kun pohdin, että olisi kelloaritmeetikasta mitään hyötyä ratkaisun kannalta. On kyllä tosi kinkkinen tehtävä, täytyy sanoa. :-D
Mistä tämä tehtävä on? Siis jos tämä on vaikka läksy tai joku kilpatehtävä, niin voisi olettaa, että ratkaisu on löydettävissä. Luku 28^12 on käsittääkseni esitettävissä kolmen positiivisen kuution summana 13 eri tavalla, mutta minulla ei ole hajuakaan, miten sen todistaisi olevan minimiratkaisu.
Mistä tämä käsitys? Mitkä ne esitykset ovat? Wolfram Alpha ei suostu tuota komentoa
PowersRepresentations[28^12,3,3]
laskemaan ja kun ei parempia laskukoneita tässä nyt ole niin en pysty tarkistamaan. Mathematicalla tuo tietysti menisi, mutta miten pitkään siinä sitten menee... Mitenköhän tuo algoritmi PowersRepresentations toimii?
On voimassa (q^4-9*p^3*q)^3 (3*p*q^3-9*p^4)^3 (3*p^2)^6=q^12. Nyt pitää valita q niin suureksi, että kaikki termit ovat positiivisia kun p=1,...,13. Tämä onnistuu kun q=28. En tunne Mathematicaa, varmaan muutama millisekunti. Tein itse Pythonilla:
q=28
for p in range(1,14):
print(str(q**4-9*p**3*q) "^3 " str(3*p*q**3-9*p**4) "^3 " str((3*p**2)**2) "^3=" str(q**4) "^3")
tulostaa
614404^3 65847^3 9^3=614656^3
612640^3 131568^3 144^3=614656^3
607852^3 196839^3 729^3=614656^3
598528^3 261120^3 2304^3=614656^3
583156^3 323655^3 5625^3=614656^3
560224^3 383472^3 11664^3=614656^3
528220^3 439383^3 21609^3=614656^3
485632^3 489984^3 36864^3=614656^3
430948^3 533655^3 59049^3=614656^3
362656^3 568560^3 90000^3=614656^3
279244^3 592647^3 131769^3=614656^3
179200^3 603648^3 186624^3=614656^3
61012^3 599079^3 257049^3=614656^3
Osoitteessa http://mathematica.stackexchange.com/questions/11886/powersrepresentations-algorithm on annettu kaksi linkkiä artikkeleihin, joissa on luku esitetty potenssien summana ja yksi linkki neliöiden summiin. En kuitenkaan pääse lukemaan artikkeleja. On vaikea sanoa, käyttääkö Mathematica noiden artikkelien menetelmiä.
Minun laskujeni mukaan pienin tällainen kokonaisluku on 119095488.
Tällä luvulla on esitykset
119095488
= 24^3 204^3 480^3
= 48^3 85^3 491^3
= 72^3 384^3 396^3
= 113^3 264^3 463^3
= 114^3 360^3 414^3
= 149^3 336^3 427^3
= 176^3 204^3 472^3
= 190^3 279^3 449^3
= 207^3 297^3 438^3
= 226^3 332^3 414^3
= 243^3 358^3 389^3
= 246^3 328^3 410^3
= 281^3 322^3 399^3
Nimimerkin 'enosaa' esittämä ratkaisu ei siis ole lähelläkään pienintä, mutta käytetty tekniikka on mielenkiintoinen. Olisi mielenkiintoista kuulla, miten 'enosaa' on polynomiyhtälöönsä päätynyt.
En keksinyt itse, vaan kysyin osoitteesta http://math.stackexchange.com/questions/1013045/how-to-compute-the-smallest-integer-which-is-sum-of-cubes-in-13-ways/1016104#1016104 apua. Toisaalta olisi kiva tietää perustelut, miksi ratkaisusi on optimaalinen.
Tai no, nyt keksinkin sopivan ohjelman, jolla optimaalisuus todistetaan:
l = list()
for i in range(1,500):
for j in range(i,500):
for k in range(j,500):
l.append(i**3 j**3 k**3)
l.sort()
for i in range(0,len(l)-11):
if l[i] == l[i 11]:
luku = l[i]
for i in range(1,500):
for j in range(i,500):
for k in range(j,500):
if i**3 j**3 k**3==luku:
print(str(luku) "=" str(i) "^3 " str(j) "^3 " str(k) "^3")
Tulostus:
119095488=24^3 204^3 480^3
119095488=48^3 85^3 491^3
119095488=72^3 384^3 396^3
119095488=113^3 264^3 463^3
119095488=114^3 360^3 414^3
119095488=149^3 336^3 427^3
119095488=176^3 204^3 472^3
119095488=190^3 279^3 449^3
119095488=207^3 297^3 438^3
119095488=226^3 332^3 414^3
119095488=243^3 358^3 389^3
119095488=246^3 328^3 410^3
119095488=281^3 322^3 399^3