Mikä on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää vähintään 2^6=64 eri tavalla kahden erisuuren positiivisen kokonaisluvun neliöiden summana? Mitkä ovat nämä esitykset?
Kokonaislukujen esitys neliöiden summana?
HaastettaKerrakseen
17
135
Vastaukset
- 7+13
oliskohan se 2^260, ja luvut tulisi 2^n 4^m=2^260=> n 2m=260
n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2 , esim. (2^12) (4^124)=(2^6)^2 (4^62)^2- 3+1
Siinä on tainnut mennä laskusäännöt vähän sekaisin. ( 2^n)*(2^(2m))=2^(n (2m))
2^n 4^m on tuo mikä on - 7+13
3+1 kirjoitti:
Siinä on tainnut mennä laskusäännöt vähän sekaisin. ( 2^n)*(2^(2m))=2^(n (2m))
2^n 4^m on tuo mikä onSitten muutetaan vaan se luku, eli luku on vaikka nyt tuo (2^6)^2 (4^62)^2
ja kaikki luvut ovat 2^n 4^m, n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2 - 7+13
7+13 kirjoitti:
Sitten muutetaan vaan se luku, eli luku on vaikka nyt tuo (2^6)^2 (4^62)^2
ja kaikki luvut ovat 2^n 4^m, n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2oikeastaan kaikki luvut ovat: ((2^(n/2))^2) ((4^(m/2))^2)
- 15+20
Vähän epäselvä tehtäväksianto. Sanoisin että 20. Voidaan esittää yli 64 tavalla neljän ykkösen ja neljän kakkosen neliösummana.
- tarkennusta?
Ovatko esitykset 1^2 2^2 ja 2^2 1^2 samoja vai eriä?
- HaastettaKerrakseen
Nimimerkin 'tarkennusta?' esitykset ovat samoja, ne lasketaan vain yhdeksi esitykseksi.
- HaastettaKerrakseen
Täsmennetään vielä. Tässä tarkoitetaan siis esityksiä kahden erisuuren neliöluvun summana.
Neliölukuja ovat 1^2, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, jne. - HaastettaKerrakseen
Annetaanpas selvyyden vuoksi esimerkki. Luku 325 voidaan esittää kolmella tavalla kahden erisuuren neliöluvun summana, sillä
325
= 1^2 18^2 = 1 324
= 6^2 17^2 = 36 289
= 10^2 15^2 = 100 225 - paraabeliä
paraabelin n=m^2 h^2 kautta pähkäiltynä 64^2 65^4
- paraabeliä
Tuntuisi, että tuosta paraabelistä se voisi löytyä, mutta ei onnistu...
- miettijä
Eikö toi lukumäärä mene sivun http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html kaavoilla (15)-(18)? Tai mitä tuo etumerkkien ja kertalukujen ignooraaminen tarkoittaa?
Minä löysin tuohon tehtävään tietokoneellani pienimmän ratkaisun n = 1215306625. Tämän luvun tekijöihinjako on n=1215306625=5^3*13*17*29*37*41. Kaikki tekijät ovat muotoa 4k 1.
Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe.
Samat 64 ratkaisua, jotka omalla koneellani sain, antaa Wolfram Alpha komennolla:
PowersRepresentations[1215306625,2,2]- miettijä
MattiKSinisalo kirjoitti:
Minä löysin tuohon tehtävään tietokoneellani pienimmän ratkaisun n = 1215306625. Tämän luvun tekijöihinjako on n=1215306625=5^3*13*17*29*37*41. Kaikki tekijät ovat muotoa 4k 1.
Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe.
Samat 64 ratkaisua, jotka omalla koneellani sain, antaa Wolfram Alpha komennolla:
PowersRepresentations[1215306625,2,2]Juu. Tämä 1215306625 on oikea vastaus.
"Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe."
Hmm. Sain tuosta kaavasta (16) B=4*2*2*2*2*2=128, ja siitä puolet on 64. Laskit väärin tuon B:n arvon. Tuon kaavan voinee pyöritellä Gaussin kokonaislukujen avulla. miettijä kirjoitti:
Juu. Tämä 1215306625 on oikea vastaus.
"Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe."
Hmm. Sain tuosta kaavasta (16) B=4*2*2*2*2*2=128, ja siitä puolet on 64. Laskit väärin tuon B:n arvon. Tuon kaavan voinee pyöritellä Gaussin kokonaislukujen avulla.No niinpäs teinkin, kun ajattelin jotain muuta, väsyneenä ja flunssaisena. Mutta mitäpä siitä, kun homma nyt on kunnossa.
Gaussin kokonaislukuja minäkin vähän mietiskelin tämän probleeman yhteydessä,
- JaakkoS
Tässäpä esitykset tulostava GAP-ohjelmalistaus ( http://www.gap-system.org/ ), joka tulostaa esitykset:
n:=1215306625;
for a in [0..RootInt(n)] do
b:=n-a^2;
c:=RootInt(b);
if(IsSquareInt(b)) then
if (a- JaakkoS
Hups. Yritän uudestaan
n:=1215306625;
for a in [0..RootInt(n)] do
b:=n-a^2;
c:=RootInt(b);
if(IsSquareInt(b)) then
if (a
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 564961
Vain vasemmistolaiset rakennemuutokset pelastavat Suomen
Kansaa on ankeutettu viimeiset 30+ vuotta porvarillisella minäminä-talouspolitiikalla, jossa tavalliselta kansalta on ot1774348- 1334023
- 673962
Purra on kantanut vastuuta täyden kympin arvoisesti
Luottoluokituksen lasku, ennätysvelat ja ennätystyöttömyys siitä muutamana esimerkkinä. Jatkakoon hän hyvin aloittamaans523746Persut huutaa taas: "kato! muslimi!"
Persut on lyhyessä ajassa ajaneet läpi kaksi työntekijöiden oikeuksien heikennystä, joita se on aiemmin vastustanut. Pe803552- 1133221
- 562961
- 252756
Korjaamo suositus
Vahva suositus Kumpulaisen korjaamolle vanhan 5-tien varrelta! Homma pelaa ja palvelu ykköslaatuista. Mukavaa kun tuli p172574