Kokonaislukujen esitys neliöiden summana?

HaastettaKerrakseen

Mikä on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää vähintään 2^6=64 eri tavalla kahden erisuuren positiivisen kokonaisluvun neliöiden summana? Mitkä ovat nämä esitykset?

17

84

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 7+13

      oliskohan se 2^260, ja luvut tulisi 2^n 4^m=2^260=> n 2m=260

      n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2 , esim. (2^12) (4^124)=(2^6)^2 (4^62)^2

      • 3+1

        Siinä on tainnut mennä laskusäännöt vähän sekaisin. ( 2^n)*(2^(2m))=2^(n (2m))
        2^n 4^m on tuo mikä on


      • 7+13
        3+1 kirjoitti:

        Siinä on tainnut mennä laskusäännöt vähän sekaisin. ( 2^n)*(2^(2m))=2^(n (2m))
        2^n 4^m on tuo mikä on

        Sitten muutetaan vaan se luku, eli luku on vaikka nyt tuo (2^6)^2 (4^62)^2

        ja kaikki luvut ovat 2^n 4^m, n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2


      • 7+13
        7+13 kirjoitti:

        Sitten muutetaan vaan se luku, eli luku on vaikka nyt tuo (2^6)^2 (4^62)^2

        ja kaikki luvut ovat 2^n 4^m, n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2

        oikeastaan kaikki luvut ovat: ((2^(n/2))^2) ((4^(m/2))^2)


    • 15+20

      Vähän epäselvä tehtäväksianto. Sanoisin että 20. Voidaan esittää yli 64 tavalla neljän ykkösen ja neljän kakkosen neliösummana.

    • tarkennusta?

      Ovatko esitykset 1^2 2^2 ja 2^2 1^2 samoja vai eriä?

      • HaastettaKerrakseen

        Nimimerkin 'tarkennusta?' esitykset ovat samoja, ne lasketaan vain yhdeksi esitykseksi.


    • HaastettaKerrakseen

      Täsmennetään vielä. Tässä tarkoitetaan siis esityksiä kahden erisuuren neliöluvun summana.
      Neliölukuja ovat 1^2, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, jne.

    • HaastettaKerrakseen

      Annetaanpas selvyyden vuoksi esimerkki. Luku 325 voidaan esittää kolmella tavalla kahden erisuuren neliöluvun summana, sillä

      325
      = 1^2 18^2 = 1 324
      = 6^2 17^2 = 36 289
      = 10^2 15^2 = 100 225

    • paraabeliä

      paraabelin n=m^2 h^2 kautta pähkäiltynä 64^2 65^4

      • paraabeliä

        Tuntuisi, että tuosta paraabelistä se voisi löytyä, mutta ei onnistu...


    • miettijä
      • Minä löysin tuohon tehtävään tietokoneellani pienimmän ratkaisun n = 1215306625. Tämän luvun tekijöihinjako on n=1215306625=5^3*13*17*29*37*41. Kaikki tekijät ovat muotoa 4k 1.

        Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe.

        Samat 64 ratkaisua, jotka omalla koneellani sain, antaa Wolfram Alpha komennolla:
        PowersRepresentations[1215306625,2,2]


      • miettijä
        MattiKSinisalo kirjoitti:

        Minä löysin tuohon tehtävään tietokoneellani pienimmän ratkaisun n = 1215306625. Tämän luvun tekijöihinjako on n=1215306625=5^3*13*17*29*37*41. Kaikki tekijät ovat muotoa 4k 1.

        Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe.

        Samat 64 ratkaisua, jotka omalla koneellani sain, antaa Wolfram Alpha komennolla:
        PowersRepresentations[1215306625,2,2]

        Juu. Tämä 1215306625 on oikea vastaus.

        "Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe."

        Hmm. Sain tuosta kaavasta (16) B=4*2*2*2*2*2=128, ja siitä puolet on 64. Laskit väärin tuon B:n arvon. Tuon kaavan voinee pyöritellä Gaussin kokonaislukujen avulla.


      • miettijä kirjoitti:

        Juu. Tämä 1215306625 on oikea vastaus.

        "Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe."

        Hmm. Sain tuosta kaavasta (16) B=4*2*2*2*2*2=128, ja siitä puolet on 64. Laskit väärin tuon B:n arvon. Tuon kaavan voinee pyöritellä Gaussin kokonaislukujen avulla.

        No niinpäs teinkin, kun ajattelin jotain muuta, väsyneenä ja flunssaisena. Mutta mitäpä siitä, kun homma nyt on kunnossa.

        Gaussin kokonaislukuja minäkin vähän mietiskelin tämän probleeman yhteydessä,


    • JaakkoS

      Tässäpä esitykset tulostava GAP-ohjelmalistaus ( http://www.gap-system.org/ ), joka tulostaa esitykset:

      n:=1215306625;
      for a in [0..RootInt(n)] do
      b:=n-a^2;
      c:=RootInt(b);
      if(IsSquareInt(b)) then
      if (a

      • JaakkoS

        Hups. Yritän uudestaan

        n:=1215306625;
        for a in [0..RootInt(n)] do
        b:=n-a^2;
        c:=RootInt(b);
        if(IsSquareInt(b)) then
        if (a


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Haluaisitko nähdä

      Hänet alastomana?
      Ikävä
      74
      3730
    2. Hilirimpsistä

      Hyvää huomenta ja kivaa päivää. Ilmat viilenee. Niin myös tunteet. 🧊☕✨🍁❤️
      Ikävä
      201
      3002
    3. Nainen lopeta pakoon luikkiminen?

      Elämä ei oo peli 😔😟
      Ikävä
      25
      2920
    4. Älä elättele

      Toiveita enää. Ihan turhaa. Sotku mikä sotku.
      Ikävä
      49
      2778
    5. Olet täällä. Mutta ei minulle.

      Nyt olen tästä 100% varma. Satuttaa. T: V
      Ikävä
      24
      2714
    6. Kuule rakas...

      Kerrohan minulle lempivärisi niin osaan jatkaa yhtä projektia? Arvaan jo melkein kyllä toki. Olethan sinä aina niin tyyl
      Ikävä
      41
      2465
    7. Miten hitsissä ulosoton asiakas?

      On tää maailma kumma, tässä haisee suuri kusetus ja ennennäkemättömän törkeä *huijaus*! Miten to.monen kieroilu on edez
      Kotimaiset julkkisjuorut
      268
      2241
    8. Kela valvoo lasten tilejä.

      Tämä isoveli Kela kyttää jopa lasten yli 200,- euron rahat jotka on melko varmasti lahjaksi saatu. Se vaikuttaa perheen
      Yhteiskunta
      212
      1944
    9. Törmättiin tänään

      enkä taaskaan osannut reagoida fiksusti. Menen aina lukkoon. Yksi asia on varma: tunteeni sinua kohtaan ovat edelleen v
      Ikävä
      24
      1927
    10. Vieläkö sä

      Rakastat mua?❤️😔
      Ikävä
      44
      1877
    Aihe