Mikä on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, joka voidaan esittää vähintään 2^6=64 eri tavalla kahden erisuuren positiivisen kokonaisluvun neliöiden summana? Mitkä ovat nämä esitykset?
Kokonaislukujen esitys neliöiden summana?
HaastettaKerrakseen
17159
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 17
Vanhimmat
oliskohan se 2^260, ja luvut tulisi 2^n 4^m=2^260=> n 2m=260
n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2 , esim. (2^12) (4^124)=(2^6)^2 (4^62)^2
Siinä on tainnut mennä laskusäännöt vähän sekaisin. ( 2^n)*(2^(2m))=2^(n (2m))
2^n 4^m on tuo mikä on
Sitten muutetaan vaan se luku, eli luku on vaikka nyt tuo (2^6)^2 (4^62)^2
ja kaikki luvut ovat 2^n 4^m, n= 4,8,12....256 , m=128, 126,124,...2
oikeastaan kaikki luvut ovat: ((2^(n/2))^2) ((4^(m/2))^2)
Vähän epäselvä tehtäväksianto. Sanoisin että 20. Voidaan esittää yli 64 tavalla neljän ykkösen ja neljän kakkosen neliösummana.
Ovatko esitykset 1^2 2^2 ja 2^2 1^2 samoja vai eriä?
Nimimerkin 'tarkennusta?' esitykset ovat samoja, ne lasketaan vain yhdeksi esitykseksi.
Täsmennetään vielä. Tässä tarkoitetaan siis esityksiä kahden erisuuren neliöluvun summana.
Neliölukuja ovat 1^2, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, jne.
Annetaanpas selvyyden vuoksi esimerkki. Luku 325 voidaan esittää kolmella tavalla kahden erisuuren neliöluvun summana, sillä
325
= 1^2 18^2 = 1 324
= 6^2 17^2 = 36 289
= 10^2 15^2 = 100 225
paraabelin n=m^2 h^2 kautta pähkäiltynä 64^2 65^4
Tuntuisi, että tuosta paraabelistä se voisi löytyä, mutta ei onnistu...
Eikö toi lukumäärä mene sivun http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html kaavoilla (15)-(18)? Tai mitä tuo etumerkkien ja kertalukujen ignooraaminen tarkoittaa?
Minä löysin tuohon tehtävään tietokoneellani pienimmän ratkaisun n = 1215306625. Tämän luvun tekijöihinjako on n=1215306625=5^3*13*17*29*37*41. Kaikki tekijät ovat muotoa 4k 1.
Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe.
Samat 64 ratkaisua, jotka omalla koneellani sain, antaa Wolfram Alpha komennolla:
PowersRepresentations[1215306625,2,2]
Juu. Tämä 1215306625 on oikea vastaus.
"Luvun B arvoksi kaavassa (16) saadaan B=7. Koska 64=2^6, herää epäilys, että kaavassa (17) olisi jokin pieni kirjoitusvirhe."
Hmm. Sain tuosta kaavasta (16) B=4*2*2*2*2*2=128, ja siitä puolet on 64. Laskit väärin tuon B:n arvon. Tuon kaavan voinee pyöritellä Gaussin kokonaislukujen avulla.
No niinpäs teinkin, kun ajattelin jotain muuta, väsyneenä ja flunssaisena. Mutta mitäpä siitä, kun homma nyt on kunnossa.
Gaussin kokonaislukuja minäkin vähän mietiskelin tämän probleeman yhteydessä,
Tässäpä esitykset tulostava GAP-ohjelmalistaus ( http://www.gap-system.org/ ), joka tulostaa esitykset:
n:=1215306625;
for a in [0..RootInt(n)] do
b:=n-a^2;
c:=RootInt(b);
if(IsSquareInt(b)) then
if (a
Hups. Yritän uudestaan
n:=1215306625;
for a in [0..RootInt(n)] do
b:=n-a^2;
c:=RootInt(b);
if(IsSquareInt(b)) then
if (a