Pisteestä (-2, 0) lähtevä vektori v muuttuu siten, että sen kärki piirtää ympyrän x^2 y^2 = 16. Minkä käyrän piirtää tällöin vektorin keskipiste.
Miten lähetään ratkomaan?
Miten lähetään ratkomaan?
Käyrän yhtälö
Eiosaa
9182
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Ympyrällä on origo keskipisteenä ja säde 4. Sillä on silloin vektorimuoto r=4cos(fii)i 4(sin(fii)j.
Vektori v= vektori pisteestä(-2,0) origoon plus r.
Sitten muodostat vektorin ½v ja vähän järkeilet...
Kärki hetkellä t on koordinaatissa K(t) = (4*cos t, 4*sin t), t välillä [0, 2*pii].
Keskipiste hetkellä t on koordinaatissa (-2,0) 1/2*(K(t) - (-2,0))
(-2, 0) 1/2*((4*cos(t), 4*sin(t))-(-2,0))
= (2*cos(t) - 1, 2*sin(t) )
= (-1, 0) 2(cos(t), sin(t))
Eli keskipiste piirtää (-1, 0)-keskisen 2-säteisen ympyrän.
Minkäköhän takia tuo vektori v jaetaan kahdella? Muutenhan tuo on ihan selvä ratkaisu.
Tuo ensimmäinen järkeily taitaa olla minun ja siinä todellakin v jaetaan kahdella, mutta Nokikanan ratkaisussa lasketaan siinä vaiheessa ensin suuntajanan keskipistettä, joka sitten esitetään saman tien origosta.
Minulla oli mielessä niinkin simppeli jutska, että ratkaisun olisi nähnyt suoraan tuosta ½ v:stä. Nyttemmin olen sitä jo oikein laskenutkin ja täytyy tarkistaa kantaa, niinkuin yleensä aina. http://aijaa.com/dhK1N7
Lyhyesti vastattuna: Siinä tarvitaan ½v, jotta origosta päästään v:n alkupisteen kautta v:n keskipisteeseen.
Alkeismatematiikalla: Alkuperäisen käyrän pistettä (x,y) vastaava piste (p,q) = ( (x-2)/2, y/2), josta
x= 2(p 1) ja y = 2q. Sijoittamalla nämä alkuperäiselle käyrälle saadaan
4(p 1)^2 4q^2 = 16 eli (p 1)^2 q^2 = 4 josta vastaus selviääkin.
Kehittyneemmin: kyseessä on molempien koordinaattien suhteen lineaarinen muunnos, joten kaikki kuviot säilyttävät muotonsa, vain koko puolittuu ja paikka vaihtuu.
Olkoon vektorin (a,b) transpoosi T(a,b) (pystyvektori). Tehtävän muunnos on
T(x',y') = A * T(x,y) - T(1,0), missä A on matriisi jonka 1. vaakarivi on (1/2,0) ja 2. vaakarivi on (0,1/2). Muunnetun kuvion pinta-ala det(A) * alkuperäisen kuvion pinta-ala ja det(A) = 1/4. Koko ei siis puolitu vaan siitä tulee !/4.
(pi*2^2) / (pi*4^2) = 1/4.
Ympyrän kehän pituus kyllä puolittuu,ehkäpä tarkoitit koolla sitä.
>Koko ei siis puolitu vaan siitä tulee !/4.
Olet tietenkin oikeassa mikäkili puhutaan pinta-alasta, joka on mahdollinen tulkinta tässä tapauksessa. Onneksi puhuin kuitenkin kuvioista, joka sisälttää muutakin kuin suljetut käyrät, joten myös yksidimensionaalinen mitta tulee kysymykseen.
Toinenkin pieni puute kirjoituksessani oli. "kyseessä on molempien koordinaattien suhteen lineaarinen muunnos" ei ole riittävä. Pitää olla ""kyseessä on molempien koordinaattien suhteen samansuhteinen lineaarinen muunnos" - muutoinhan kuvio voisi litistyä.
Johan tämä on ratkaistu monella tavalla mutta tässä nyt yksi.
Alkuperäinen ympyrä on origokeskinen 4-säteinen ympyrä, olkoon sen ratavektori R.
Kysytyn käyrän piirtää vektori R' = 1/2 (R - 2 i) = 1/2 R - i. l R' - (-i) l = 1/2 l R l = 2, joten R' piirtää 2-säteisen ympyrän jonka keskipiste on - i = (-1,0).