alkuarvoprobleema

Eikö tuo mene ihan perinteisin methodein?
Siis karakteristisella yhtälöllä yksi ratkaisu; yritteen avulla toinen ratkaisu; summataan net; sijoitetaan alkuehdot voimaan ja siinä se... voipi olla ettei mee..

Puolittaine derivoimalla:

x'''-4x'=3 , x''(0) = 0

Merkitään z = x'. Silloin

z'' - 4z = 3 , z'(0) = z(0) = 0

Ratkaise z tavanomaisella menetelmällä.
Sitten laske z:n integraali välille (0,t). Se olkoon f(t). Se on myös x':n integraali eli
x(t) - x(0). Siten x(t) = x(0) f(t)
on x(

"Osaako joku sanoa miten seuraava probleema ratkaistaa analyytisesti ja algebrallisesti..."

Analyyttisesti menee helposti. Algebrasta en osaa oikein sanoa mitään; minulle algebrallisuuden ja analyyttisyyden rajakin on vähän hämärän peitossa. Joka tapauksessa alla esittämäni tapa on kyllä puhtaan analyyttinen, mutta olisiko yritteellä saatu ratkaisu sitten algebrallinen? Siinähän ei tarvitse sinänsä turvautua mihinkään analyysin tuloksiin, vai? Vai voikohan ko. tehtävää yleensäkään edes ratkaista algebrallisesti.


> x'' - 4x = 3t
> x(0) = x'(0) = 0

Olettaen että halutaan siis ratkaista funktio x(t), saadaan Laplace-muunnoksella ja osamurtokehitelmällä:

s^2*X(s) - s*x(0) - x'(0) - 4X(s) = 3/(s^2)
s^2*X(s) - 4X(s) = 3/(s^2)
X(s)*(s^2 - 4) = 3/(s^2)
X(s) = 3/((s^2)(s^2 - 4))
= -3/(4s^2) 3/(16(s-2)) - 3/(16(s 2))
= -(3/4)/s^2 (3/16)( 1/(s-2) - 1/(s 2) )

Ja ottamalla tämän käänteismuunnos saadaan
x(t) = -(3/4)t (3/16)( e^(-2t) - e^(2t) )

Tämä probleema olisi varmaan ratkennut yhtä helposti suoraan yritteelläkin, mutta Laplace-muunnos tuntuu elegantimmalta, enkä kyllä olisi edes muistanut sopivaa yritettä ulkoa.

En saa nauruani loppumaan :)