Mites tästä nyt lasketaan nollakohdat, ilmeisesti huono laskin tuo hp40gs, kun sekään ei auta...
Derivaatta siis x/sqrt(100^2 x^2) (x-100)/sqrt(200^2 [100-x]^2)
Kuumottelee vaan jo koetta varten, kun en osaa..
Derivaatta siis x/sqrt(100^2 x^2) (x-100)/sqrt(200^2 [100-x]^2)
Kuumottelee vaan jo koetta varten, kun en osaa..
Vastaukset 17
Vanhimmat
Jos x/sqrt(100^2 x^2) (x-100)/sqrt(200^2 [100-x]^2)=0, niin voit vähentää puolittain (x-100)/sqrt(200^2 [100-x]^2) ja korottaa toiseen, jolloin pääset juurista eroon.
No tietysti se meni näin.. Kiitokset vastaajalle, minulle kotitehtäviä ja bänniä.
Tuon tehtävän voi laskea myls ilman derivaattaa peilaamalla päätepisteen suoran suhtaan, jolloin vastaus saadaan suoraan pythagoraan lauseella.
Po. Myös ja päätepiste
Arvasit tehtävänannon oikein, ja nyt alkoikin kiinnostaa, miten tuo käytännössä tapahtuu.
Jos loppupisteen peilaa, on kääntymispisteestä yhtä pitkä matka loppupisteeseen ja peilattuun pisteeseen. Nyt koska lyhin tie kahden pisteen välillä on jana yhdistetään lähtöpiste peilattuun pisteeseen janalla. Siitä matka onkin helppo sitten laskea.
En kyllä vieläkää tiedä, mikä oli tehtävänanto, mutta derivaattafunktion perusteella veikkaisin jotain tällaista :)
Vastaus saattaisi siten olla sqrt((100 200)^2 100^2)?
Lisään vielä, että jos x oli se, mitä kysyttiin, niin se ratkeaa tuosta yhdenmuotoisten kolmioiden avulla.
x/100=100/300
eli x= 33,33...
Ja toki funktioita saa aina geometrisesti tulkita, eli vastaus ei edes riipu tehtävänannosta. Osasinko ratkaista tehtävän?
Piirretään 100 pitkä vaakasuora jana. Sen oikeasta päätepisteestä piirretään 100 pitkä pystysuora jana. Ja sen päätepisteestä piirretään 200 pitkä vaakasuora jana, jolloin muodostuu askelmakuvio. Yhdistetään kuvion päätepisteet janalla joka jakaa pystysuoran janan osiin x ja 100-x ja josta saadaan x arvoksi helposti 33,3. Mikä on myös aloitusviestin yhtälön ratkaisu.
"Mummo kastelee aamuisin kasvimaansa. Hän ottaa kastelukannunsa kuistilta ja täyttää sen joen rannassa. Laske lyhin matka mökiltä rannan kautta kasvimaalle."
kuva, jossa 400 metrin rantaviiva, jonka toisesta päästä kohtisuoraan rannalle 100m päässä mökki ja rantaviivan toisessa päässä kohtisuoraan samaan suuntaan 200m päässä kasvimaa.
Sain pytgagoraan nojalla tutkittavaksi funktioksi
s(x) = sqrt(100^2 x^2) sqrt(200^2 (100-x)^2) , 0<= x <= 400.
Ajattelin tästä edetä pienimpään funktion s arvoon, mutta tyssäsi tuossa. 500m olisi oikea vastaus.
Kiva kun apua löytyy! Helpottaa tietty, kun pistää tehtävänannon :)
Juu, tuollaista arvelinkin. Kuljettava vaakasuora matka on 400m ja pystysuora 100m 200m eli pythagoraan lauseella koko matka on 500m. Peilaamalla näkee tuon näteimmiten :)
Toki tuo derivointi on järkevä suoraviivainen tapa, mutta helpommallakin pääsee. Tuossa funktiossa pitäis varmaa olla 400-x ja siksi tuli eri vastauksia aiemmin mutta oikealla periaatteella muodostettu.
Ja x saadaan siis verranosta x/400=100/(100 200) eli x= 400/3. Tuo lienee sen derivaattafunktion nollakohta.
Onkohan funktion s kaavassa jotain vikana, sillä 500 en ole vielä kertaakaan saanut, vaikka nämä tunnit pohtinut?
Joo, pitäis olla x-400, eikä x-100 kuten tuolla jo mainittukin.
Eikun siis 400-x 100-x sijaan. Derivaatta oli muuten oikein
Mummon matka on s = sqrt(100^2 x^2) sqrt((400-x)^2 200^2)
ds/dx= x/sqrt(100^2 x^2) - (400-x)/sqrt((400-x)^2 200^2) = 0
x^2/(100^2 x^2) = (400-x)^2/((400-x)^2 200^2)
1/((100/x)^2 1) = 1/(1 (200/(400-x))^2)
(100/x )^2 1 = 1 (200/(400-x)^)^2
100/x = 200/(400-x) (tässä - neliöjuuri antaisi negatiivisen arvon x:lle mikä varmasti ei johda minimiarvoon).
1/x = 2/(400-x)
2x = 400-x
3x = 400
x = 400/3 (= noin 133)
Nyt on löydetty derivaatan nollakohta. Pitäisi vielä osoittaa, että se antaa mummon minimimatkan. Tähän tarjoutuu seuraavat konstit:
1. Laske toinen derivaatta ja totea että se on > 0. Työlästä.
2. Tutki ensimmäistä derivaattaa ja totea että se vaihtaa arvonsa negatiivisesta positiiviseksi kun x siirtyy alueelta x < 400/3 alueelle x > 400/3.
3. Tehtävän geometria on sellainen, että tuo piste x= 400/3 on välttämättä minimi ja koska tuolla rantapätkällä ei ole muita derivaatan nollakohtia niin mummon matka saa varmasti pienimmän arvonsa kun x = 400/3. En tiedä riittääkö tämä kouluoloissa perusteluksi.
Ohman