Kahdella autolla, massoiltaan m ja 2m, kiihdytetään matka s. Kumpaakin autoa kiihdyttää sama voima F. Kummalla autolla on lopussa suurempi liike-energia ja kumpi on ennemmin matkan s päässä?
Differentiaaliyhtälö
jsergiqoveprnlk
11117
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Sama liike-energia, kevyempi ennen.
Vakiovoima F tekee työtä matkan s verran eli määrän W = Fs, joka on lopuksi auton liike-energiaa. Molemmilla autoilla on siis lopussa sama liike-energia.
Liikeyhtälöt: v = at ja s = ½at^2. Näistä saadaan pienen pyörittelyn jälkeen autolle 1 (massa m) aika t1 = sqrt(2ms/F) ja autolle 2 (massa 2m) aika t2 = sqrt(4ms/F). Näin ollen t1 < t2 eli auto 1 on ennemmin perillä.
Eipä välttämättä noin. Voihan olla, ettei auto ole hinauksessa, vaan sitä ajetaan. Tällöin kiihdyttävä voima kohdistuu tienpinnasta renkaan kosketuspintaan, eikä kyseinen renkaan pinta liiku. Siksi kyseinen voima ei tee työtä, eli tiestä ei siirry energiaa renkaaseen.
Toisekseen, autoon voi kohdistua muitakin voimia, kuin tienpinnasta renkaan kosketuspintaan voima F. Esim ilmanvastus. Sen seurauksena liike-energian määrä jää laskemaasi pienemmäksi molemmilla autoilla, ja suurempimassaisella autolla olisi suurempi liike-energia, koska ilmanvastus tekee sille pienemmästä vauhdista johtuen vähemmän negatiivista työtä samalla matkalla. Jos kuitenkin huomioidaan vierintävastus, niin se hukkaa suurempimassaisen auton energiaa enemmän samalla matkalla, joten se luultavasti kääntää tilanteen päinvastaiseksi realistisilla lukuarvoilla, eli suurempimassaisella on vähemmän liike-energiaa saman matkan s kuljettuaan. Tn sille että liike-energiat ovat samat on käytännössä tasan nolla.
Jos vierintävastusta ei huomioida ja F on autoon liikkeen suunnassa vaikuttavien voimien resultantti (eikä yksittäinen kiihdyttävä voima) ja autoa hinataan olet täysin oikeassa!
Vetovoimasta riippuu. Minä laitoin vetovoimaksi 4,1 kN , ja aika lähellä ovat toisinaan. Jos laittaa vetovoimaksi 2 kN, niin ovat hyvinkin kaukana, ja sitten taas rajanopeuksilla jo toiseen suuntaan hyvin kaukana.
Laskin siis vakiovetovoimalla niin kuin puhe oli, vakioteholla saa laskea joku muu, helpompi se olisi, laskinhan silloin vuodenvaihteessa niitä Ladan pakonopeuksia. Kulunut aika jäisi varmaan kuitenkin laskemati.
http://aijaa.com/WgPPaM
Vastataan nyt sitten differentiaaliyhtälöllä: http://aijaa.com/6zXPyV
Kiitoksia aeijalle taas kerran asiallisesta vastauksesta.
En ole vielä kovin pitkällä matematiikan opinnoissa joten voisitko hieman selventää muutavaa derivointiin ja integrointiin liittyvää kohtaa:
Toisella rivillä olet kirjoittanut x''=dv/dt=dv/dx*dx/dt.
Mistä tuonne tuo dx tulee ja mitä se oikein tarkoittaa käytännössä?
Liike-energian laskemisen jälkeen kirjoitit
dx/dt=sqrt(2Fx/m) --> dx/sqrt(sFx/m)=dt
ja integroit, niin miten tuo käytännössä integroidaan? Integroitko kummankin puolen yhtälöstä? Miten integroidaan dt?
Muuten ymmärränkin matemaattisen esityksen
Terveisin toinen samankaltaista tehtävää ihmettelevä
No, ensinnäkin jos et ole kovin pitkällä opinnoissa, niin differentiaaliyhtälöitä ei vielä kannata pähkäillä.
Jos sen sijaan et ole vielä kovin pitkällä differentiaaliyhtälöiden opiskeluissa, niin tämä on ihan perusasioita ja perustuu derivoinnin ketjusääntöön (chain rule). Siitä on hyvin paljon selitystä netissä, mutta hyvin vaikeasti ymmärrettävää.
En minäkään sitä ymmärrä, enkä varsinkaan osaa selittää, muuten kuin niin , että nämä ovat differentiaaleja, joita voidaan käsitellä kuin lukuja. Eli nyt a=dv/dt, eli lavennetaan osoittaja ja nimittäjä luvulla dx:
x``=a=dv/dt => x``=dvdx/(dtdx)= (dx/dt)*(dv/dx)=v*(dv/dx), koska v=dx/dt
Siinä integroidaan todellakin molemmat puolet erikseen omien muuttujiensa suhteen.
dt on oikeastaan 1*dt, siinä dt ilmoittaa vaan että t:n suhteen integroidaan, ja tuon integraali t:n suhteen on t C, koska sen derivaatta on 1.
aeija kirjoitti:
"Eli nyt a=dv/dt, eli lavennetaan osoittaja ja nimittäjä luvulla dx:
x"=a=dv/dt => x"=dvdx/(dtdx)= (dx/dt)*(dv/dx)=v*(dv/dx), koska v=dx/dt"
ei siinä oikeesti mitään lavenneta, vaan ketjusääntö tarkoittaa sitä, että koska nopeus v riippuu paikasta joka puolestaan riippuu ajasta eli v(x(t)), niin tämän derivaatta ajan suhteen eli kiihtyvyys a saadaan derivoimalla nopeus v ensin paikan x suhteen ja sitten tulos kerrotaan paikan derivaatalla ajan t suhteen eli (dv/dx)*(dx/dt)
vaikka kaipa sinä sen tiesitkin...
Yksi kirja mulla on, mistä näitä kattelen, en minä itse mitään sävellä:
http://aijaa.com/RPFCwz
- käyrät ja kurvit puuttuu ?
Toi raskas Lada ei jaksa enää minkäänlaista ahretta, se on nääs täyteen ahrettu.
(tamperelaisvitsi)