Determinantti ongelma

Kyllä joo mutta silti en ymmärrä tuota laskua. Mitä/miten siinä pitää laskea?

Petri kirjoitti:

Kyllä joo mutta silti en ymmärrä tuota laskua. Mitä/miten siinä pitää laskea?

ymmärrä tehtävänantoasi.

Matriisin voi parhaiten antaa tällaisessa tekstissä muodossa

[[a b] [c d]],

joka on 2x2-matriisi ja jonka ensimmäinen vaakarivin alkiot ovat a ja b sekä toisen c ja d.

Tämän matriisin determinantin laskennan voisi sitten merkitä

det([[a b] [c d]]).

Joten jospa kertoisit tämänkaltaisia merkintöjä käyttäen, mitä oikein oletetaan laskettavaksi.

Jo vain kirjoitti:

ymmärrä tehtävänantoasi.

Matriisin voi parhaiten antaa tällaisessa tekstissä muodossa

[[a b] [c d]],

joka on 2x2-matriisi ja jonka ensimmäinen vaakarivin alkiot ovat a ja b sekä toisen c ja d.

Tämän matriisin determinantin laskennan voisi sitten merkitä

det([[a b] [c d]]).

Joten jospa kertoisit tämänkaltaisia merkintöjä käyttäen, mitä oikein oletetaan laskettavaksi.

Lue lisää

Eli tuolla tavalla merkittynä:

Millä x:n arvoilla determinantin
det([[1 2] [2 4]]- x * [[1 0] [0 1]]) = 0


Joko nyt käsität?

Petri kirjoitti:

Kyllä joo mutta silti en ymmärrä tuota laskua. Mitä/miten siinä pitää laskea?

Jos matriisin ylärivissä on siis vaikka x ja y sekä alarivissä a ja b, niin siitä tulee xb-ya. Ihan sama mitä lukuja tai kirjaimia siellä on. Eli kerrotaan ristiin ja vähennetään. Siitä lasket millä x:n arvo(i)lla siitä tulee nolla.

Petri kirjoitti:

Eli tuolla tavalla merkittynä:

Millä x:n arvoilla determinantin
det([[1 2] [2 4]]- x * [[1 0] [0 1]]) = 0


Joko nyt käsität?

X=0

Eli olisiko kirjoitti:

X=0

Niin nollan minäkin siitä sain. Mutta onko se oikein?

lasketaan kirjoitti:

Jos matriisin ylärivissä on siis vaikka x ja y sekä alarivissä a ja b, niin siitä tulee xb-ya. Ihan sama mitä lukuja tai kirjaimia siellä on. Eli kerrotaan ristiin ja vähennetään. Siitä lasket millä x:n arvo(i)lla siitä tulee nolla.

Lue lisää

Laskin muuten tuolla tavalla ristiin ja en saanu siitä kokeessa yhtään pistettä. x:n arvoksi sain nollan... Mistä se johtuu?

Petri kirjoitti:

Niin nollan minäkin siitä sain. Mutta onko se oikein?

Pistänpä minäkin lusikkani soppaan. Kyseessä näyttää olevan aivan tavallinen matriisin ominaisarvotehtävä.

Alkuperäinen yhtälö saadaan matriisien vähennyslaskulla muotoon

det([[1-x 2] [2 4-x]])=0,

mistä edelleen matriisi kehittämällä päästään karateristiseen polynomiin

-5*x x^2 = 0.

Tämän juuriksi näkee nyt yhtälöstä aivan suoraan x=0 ja x=5.

Ja siinä se tehtävä sitten olikin.

Petri kirjoitti:

Niin nollan minäkin siitä sain. Mutta onko se oikein?

> det([[1 2] [2 4]]- x * [[1 0] [0 1]]) = 0
> ...
> Niin nollan minäkin siitä sain. Mutta onko se oikein?

Melkein - olettaen siis, että x on skalaari. (Ilmeisesti on, tässähän ratkaistaan ominaisarvoja. x voisi olla myös kompleksinen, mutta nyt niin ei ole. Yleensä x:n paikalla käytetään lambdaa.)

Vähennyslaskun jälkeen tuosta tulee ratkaistavaksi yhtälö
det([1-x 2][2 4-x]) = 0
(1-x)(4-x) - 2*2 = 0
(x-5)x = 0
x = 0 || x = 5

Ts. matriisin [[1 2][2 4]] ominaisarvot ovat 0 ja 5.

Ps. Matlab-tyylinen merkintätapa [1 2; 2 4] on ehkä kivempi ja selvempi pienemmän hakasulkumäärän ansiosta.

Strawman kirjoitti:

> det([[1 2] [2 4]]- x * [[1 0] [0 1]]) = 0
> ...
> Niin nollan minäkin siitä sain. Mutta onko se oikein?

Melkein - olettaen siis, että x on skalaari. (Ilmeisesti on, tässähän ratkaistaan ominaisarvoja. x voisi olla myös kompleksinen, mutta nyt niin ei ole. Yleensä x:n paikalla käytetään lambdaa.)

Vähennyslaskun jälkeen tuosta tulee ratkaistavaksi yhtälö
det([1-x 2][2 4-x]) = 0
(1-x)(4-x) - 2*2 = 0
(x-5)x = 0
x = 0 || x = 5

Ts. matriisin [[1 2][2 4]] ominaisarvot ovat 0 ja 5.

Ps. Matlab-tyylinen merkintätapa [1 2; 2 4] on ehkä kivempi ja selvempi pienemmän hakasulkumäärän ansiosta.

Lue lisää

Kiitoksia noista muutamista täydennyksistä.

Mutta minusta tuo matriisien hakasulkusyntaksi on parempi, se käy lähes suoraan minun matematiikkaohjelmaani!

Muutenkin tällä palstalla havaitsee, että ihmiset eivät ole tottuneet kirjoittamaan matemaattisia lausekkeita tekstin sekaan. Siksi sulkuja oikean laskujärjestyksen osoittamiseksi puuttuu, lausekkeissa on muutenkin paljon virheitä jne.

Pitäisiköhän meidän ryhtyä sopimaan jonkinlaiset säännöt lausekkeiden kirjoittamiseen, jotta pääsisimme nopeammin itse asiaan, matemaattisten ongelmien ratkaisuun?

Jäärä kirjoitti:

Kiitoksia noista muutamista täydennyksistä.

Mutta minusta tuo matriisien hakasulkusyntaksi on parempi, se käy lähes suoraan minun matematiikkaohjelmaani!

Muutenkin tällä palstalla havaitsee, että ihmiset eivät ole tottuneet kirjoittamaan matemaattisia lausekkeita tekstin sekaan. Siksi sulkuja oikean laskujärjestyksen osoittamiseksi puuttuu, lausekkeissa on muutenkin paljon virheitä jne.

Pitäisiköhän meidän ryhtyä sopimaan jonkinlaiset säännöt lausekkeiden kirjoittamiseen, jotta pääsisimme nopeammin itse asiaan, matemaattisten ongelmien ratkaisuun?

Lue lisää

"Kiitoksia noista muutamista täydennyksistä."

Eipä kestä, vaikka itse asiassa tarkoitus ei kyllä ollut täydentää viestiäsi - en nimittäin huomannut sitä vielä silloin kun aloin kirjoittaa omaani.

"Pitäisiköhän meidän ryhtyä sopimaan jonkinlaiset säännöt lausekkeiden kirjoittamiseen --"

Niistä olisi kyllä oikeasti hyötyä. Jonkinlainen FAQ tai Read-Me-First, joka voisi komeilla esim. sivun ylälaidassa (siis linkki). FAQ:ssa voisi esittää ainakin seuraavat:
- sulkujen (riittävä) käyttö
- peruslaskutoimitukset (esim. kaikille ei tunnu olevan selvää, että ^ tarkoittaa potenssia)
- integraali-, summa- ym. merkkien käyttö
- yleisimmät funktiot tekstinä (sqrt, exp, ym)
- Windowsin merkistön (charmap.exe) käyttäminen
- ehkä pikkuisen LaTeXia, kuten \in ja \forall
- jotain muuta, mitä: _______________

"Mutta minusta tuo matriisien hakasulkusyntaksi on parempi, se käy lähes suoraan minun matematiikkaohjelmaani!"

Se kyllä muistuttaa ainakin TI-89:n syntaksia, mutta eipä nyt tule mieleen samanlaista syntaksia käyttävää PC-softaa.

Mathematican aaltosulkusyntaksi on aivan karsea, sen käyttö missään muualla kuin ko. softassa kannattaa unohtaa heti kättelyssä. Matlabin ja (ilmaisen) Octaven hakasulku-puolipistesyntaksi sen sijaan on mielestäni selkeä ja ennen kaikkea nopea kirjoittaa. Olen tehnyt itsekin yhden matriisilaskusoftan, joka käyttää samaa syntaksia inputteihin, koska en keksinyt parempaakaan.

Strawman kirjoitti:

"Kiitoksia noista muutamista täydennyksistä."

Eipä kestä, vaikka itse asiassa tarkoitus ei kyllä ollut täydentää viestiäsi - en nimittäin huomannut sitä vielä silloin kun aloin kirjoittaa omaani.

"Pitäisiköhän meidän ryhtyä sopimaan jonkinlaiset säännöt lausekkeiden kirjoittamiseen --"

Niistä olisi kyllä oikeasti hyötyä. Jonkinlainen FAQ tai Read-Me-First, joka voisi komeilla esim. sivun ylälaidassa (siis linkki). FAQ:ssa voisi esittää ainakin seuraavat:
- sulkujen (riittävä) käyttö
- peruslaskutoimitukset (esim. kaikille ei tunnu olevan selvää, että ^ tarkoittaa potenssia)
- integraali-, summa- ym. merkkien käyttö
- yleisimmät funktiot tekstinä (sqrt, exp, ym)
- Windowsin merkistön (charmap.exe) käyttäminen
- ehkä pikkuisen LaTeXia, kuten \in ja \forall
- jotain muuta, mitä: _______________

"Mutta minusta tuo matriisien hakasulkusyntaksi on parempi, se käy lähes suoraan minun matematiikkaohjelmaani!"

Se kyllä muistuttaa ainakin TI-89:n syntaksia, mutta eipä nyt tule mieleen samanlaista syntaksia käyttävää PC-softaa.

Mathematican aaltosulkusyntaksi on aivan karsea, sen käyttö missään muualla kuin ko. softassa kannattaa unohtaa heti kättelyssä. Matlabin ja (ilmaisen) Octaven hakasulku-puolipistesyntaksi sen sijaan on mielestäni selkeä ja ennen kaikkea nopea kirjoittaa. Olen tehnyt itsekin yhden matriisilaskusoftan, joka käyttää samaa syntaksia inputteihin, koska en keksinyt parempaakaan.

Lue lisää

Tästä voidaan olla montaa mieltä.

Lukiolaisten edustajana esitän, ettei kaikki yksinkertaisesti ole perehtyneet merkistöihin, eivätkä jaksa tehdä sitä, vaikkapa yhteen tehtävään tarvittavan avun takia. Kukapa sitä sitten noudattaisikaan, vakiopostaajien tyytyessä auttamaan tehtävissä?

Ei sillä, etteikö järjestelmästä olisi hyötyä.

jens kirjoitti:

Tästä voidaan olla montaa mieltä.

Lukiolaisten edustajana esitän, ettei kaikki yksinkertaisesti ole perehtyneet merkistöihin, eivätkä jaksa tehdä sitä, vaikkapa yhteen tehtävään tarvittavan avun takia. Kukapa sitä sitten noudattaisikaan, vakiopostaajien tyytyessä auttamaan tehtävissä?

Ei sillä, etteikö järjestelmästä olisi hyötyä.

Lue lisää

"Lukiolaisten edustajana esitän, ettei kaikki yksinkertaisesti ole perehtyneet merkistöihin,"

Niin no, no niin.

Välillä tänne kirjoitetut lausekkeet vain ovat niin karseata siansaksaa, ettei niistä ota selvää. Välillä niistä taas ottaa selvän, mutta jo kaukaa näkee, että lausekkeen kirjoittaja on tarkoittanut jotain ihan muuta (sulkuja puuttuu tms.).

Joten jos FAQ:lla onnistuttaisiin vähentämään seuraavantyylisten lausekkeiden postausta, niin olisi siitä jotain hyötyä:

e potenssiin 2x jaettuna neliöjuuri 2 = x 1 / 2

5^1/2 (kun tarkoitetaan sqrt(5):ä)

ax^2 bx c=0 x = -b -(b^2-4ac)^1/2/2a

summa i käy 0:stä oo:aan x^i/i!

Ja oma lukunsa ovat ne (tässäkin threadissa nähdyt) lausekkeet, jotka on kirjoitettu tähän tekstikenttään vakiolevyisellä fontilla siinä luulossa, että 1. rivin 7. merkki ja 2. rivin 7. merkki olisivat kohdakkain myös lähetetyssä viestissä.

Ja eikös lukiolaisten pitäisi enemmän tai vähemmän hyvin osata jo käyttää niitä sulkuja ja muutenkin kirjoittaa matematiikkaa tietokonetyyppisillä laitteilla, kun esim. graafiset laskimet vaativat sitä. No, lyhyen lukijat eivät ehkä, mutta pitkässä käsitykseni mukaan lähes kaikilla on graafinen laskin.

Strawman kirjoitti:

"Lukiolaisten edustajana esitän, ettei kaikki yksinkertaisesti ole perehtyneet merkistöihin,"

Niin no, no niin.

Välillä tänne kirjoitetut lausekkeet vain ovat niin karseata siansaksaa, ettei niistä ota selvää. Välillä niistä taas ottaa selvän, mutta jo kaukaa näkee, että lausekkeen kirjoittaja on tarkoittanut jotain ihan muuta (sulkuja puuttuu tms.).

Joten jos FAQ:lla onnistuttaisiin vähentämään seuraavantyylisten lausekkeiden postausta, niin olisi siitä jotain hyötyä:

e potenssiin 2x jaettuna neliöjuuri 2 = x 1 / 2

5^1/2 (kun tarkoitetaan sqrt(5):ä)

ax^2 bx c=0 x = -b -(b^2-4ac)^1/2/2a

summa i käy 0:stä oo:aan x^i/i!

Ja oma lukunsa ovat ne (tässäkin threadissa nähdyt) lausekkeet, jotka on kirjoitettu tähän tekstikenttään vakiolevyisellä fontilla siinä luulossa, että 1. rivin 7. merkki ja 2. rivin 7. merkki olisivat kohdakkain myös lähetetyssä viestissä.

Ja eikös lukiolaisten pitäisi enemmän tai vähemmän hyvin osata jo käyttää niitä sulkuja ja muutenkin kirjoittaa matematiikkaa tietokonetyyppisillä laitteilla, kun esim. graafiset laskimet vaativat sitä. No, lyhyen lukijat eivät ehkä, mutta pitkässä käsitykseni mukaan lähes kaikilla on graafinen laskin.

Lue lisää

"Ja eikös lukiolaisten pitäisi enemmän tai vähemmän hyvin osata jo käyttää niitä sulkuja ja muutenkin kirjoittaa matematiikkaa tietokonetyyppisillä laitteilla, kun esim. graafiset laskimet vaativat sitä"

Näinhän toki on, mutta eikös niissäkin ole juuri yksinkertaistamista varten esiohjelmoituja funktioiden piirto-ohjelmia? Esim. ympyrä, paraabeli, ellipsi jne. Näin ainakin Casioissa, TI:t ovat tosin jäänet pimentoon...

jens kirjoitti:

"Ja eikös lukiolaisten pitäisi enemmän tai vähemmän hyvin osata jo käyttää niitä sulkuja ja muutenkin kirjoittaa matematiikkaa tietokonetyyppisillä laitteilla, kun esim. graafiset laskimet vaativat sitä"

Näinhän toki on, mutta eikös niissäkin ole juuri yksinkertaistamista varten esiohjelmoituja funktioiden piirto-ohjelmia? Esim. ympyrä, paraabeli, ellipsi jne. Näin ainakin Casioissa, TI:t ovat tosin jäänet pimentoon...

Lue lisää

"mutta eikös niissäkin [graafisissa laskimissa] ole juuri yksinkertaistamista varten esiohjelmoituja funktioiden piirto-ohjelmia? Esim. ympyrä, paraabeli, ellipsi jne."

On toki, ainakin ympyrälle löytynee circle(...)-funktio lähes kaikista laskimista. En vain osaa keksiä näille paljoakaan käyttöä lukiolaskuissa (tai myöskään korkeakoulussa/yliopistossa).

Yleensähän funktiot ovat lukiossa tavallisia polynomeja, murtolausekkeita, eksponenttifunktioita, trigonometrisia funktioita, logaritmeja ja näiden yhdistelmiä. Niitä laskimeen kirjoitettaessa joutuu väkisinkin käyttämään aika paljon sulkuja. Kaikki oppilaat eivät tietenkään piirtele kuvaajia tai evaluoi funktioita laskimillaan, mutta siitä olisi kyllä paljon hyötyä.

"Näin ainakin Casioissa, TI:t ovat tosin jäänet pimentoon..."

Minä taas olen käyttänyt yksinomaan Teksasin Instrumentteja, joissa kyllä on valmiita piirtofunktioita, mutta ei niille mitään käyttöä ole. Pelejä varten ne ovat joka tapauksessa liian hitaita. Sitä paitsi trace- ym. toiminnot eivät toimi esim. circle(...):n kanssa.