Normaalijakaumatehtävä, apua

xifix

Eli tehtävä kuuluu

Yhteensäfi 5000 ammattijärjestön jäsentä on ottanut ryhmähenkivakuutuksen. Kuolleisuustilaston perusteella on arvioitu, että ammattijärjestön jäsenellä on 0,12 % riski kuolla kalenterivuoden aikana. Kuinka todennäköisesti vakuutusyhtiö joutuu maksamaan korvausta vähintään kymmenestä kuolemantapauksesta vuoden aikana?
(Oikea vastaus 5 %)

Eli miten tähän vastaukseen päädytään? Mikä mikäkin noista annetuista arvoista on, mitä pitää tehdä ja mikä se juoni tässä on??

Ja lisäkysymys aikaisempaan tehtävään liittyen, jos z arvoksi tulee -5 ja normaalijakauman kertymäfunktion taulukoituja arvoja välillä -3.4 ; 3.4, miten kertymän arvon saa tällöin selville? Vai olenko laskenut päin mäntyjä?

13

322

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • bimerkonomi

      Juonena tässä on se, että "toistojen" lukumäärä on hyvin suuri, eli nyt 5000, silloin normaalijakaumaan voidaan sijoittaa binomijakauman keskiarvo ja keskihajonta.

      Binomijakauman keskiarvo on n*p=5000*0.12/100=6
      Binomijakauman keskihajonta on sqrt(n*p*(1-(0.12/100))= noin 2.448

      Normitettu z=(10-6)/2,448= 1,64

      Kysytty p= 1-fii(1.64)=1-0.9495=0.0505= noin 5%

      b) luultavasti väärin laskettu

    • Npq

      Lasketaan ensin korvaustapausten odotusarvo N p. Se on 5000 * 0.0012 = 6.

      Sitten lasketaan hajonta sqrt(N p (1-p ) ). Siitä saadaan 2.45.

      Katsotaan kumulatiivisne normaalijakautuman oikea häntä 10 kodalta, kun u = 6 ja s=2.45. Sieltä sadaan 5 %. Vastaavasti 95 % todennäköisyydellä joudutaan maksamaan korkeintaan tuo kymmenen korvausta.

      Taulukkolaskennassa ( 1 - NORMDIST(10.0,6.0,2.45,true) ). True (tai joku positiivinen luku) siis tarkoittaa, että kyseessä on kumulatiivinen jakautuma.

    • Lähinnä kyseessä taitaa olla väärin perustein palkattu henkilö.
      Kysymyksesi on sen verran maanläheinen, että ole hyvä ja
      kerro, että olet opiskelija!

    • xifix

      Kiitos näistä kahdesta järkevästä vastauksesta. Noin laskinkin aluksi mutta huomasin että kännykän laskimen omaperänen laskujärjestys sotki koko tehtävän.. ihmettelinkin kun sain vieläkin eri arvoja, vaikka tähän asti oon tällä pärjännyt.

      Kysyn vielä tuohon z=5 juttuun, nyt yritin laskea z arvoa 45:lle, kun satunnaismuuttuja (jonkin ryhmän kengänkoko) noudattaa tuota normaalijakaumaa arvoilla (41.6;0.6) niin eikös z ole silloin (45-41.6)/0.6 = 5.6666? Mikä tässä menee väärin? Vai onko vastaus vaan että todennäkösyys että kengänkoko on isompi kuin 45 on erittäin häviävän pieni/ei voida laskea?

      • bimerkonomi

        Pitäisköhän toi keskiarvo pyöristää arvoon 42 ja keskihajonta arvoon 1, koska kengän numeroistahan tässä kyse on ? Silloin siitä tulisi joku järjellinen vastauskin.


      • Matikanfuksi
        bimerkonomi kirjoitti:

        Pitäisköhän toi keskiarvo pyöristää arvoon 42 ja keskihajonta arvoon 1, koska kengän numeroistahan tässä kyse on ? Silloin siitä tulisi joku järjellinen vastauskin.

        Miksi pitäisi pyöristää keskihajonta arvoon 1? Pyöristätkö myös satunnaismuuttujan X = "kuutosten lukumäärä 10 nopanheiton sarjassa" keskihajonnan sqrt(npq) = sqrt(10*1/6*(1-1/6)) = (5*sqrt(2))/6 arvoon 1, sillä noppaa heitettäessä ei voida saada (5*sqrt(2))/6 kuutosta? Tollainen pyöristelyhän vain heikentää tuloksen tarkkuutta.


      • Matikanfuksi

        "Kysyn vielä tuohon z=5 juttuun, nyt yritin laskea z arvoa 45:lle, kun satunnaismuuttuja (jonkin ryhmän kengänkoko) noudattaa tuota normaalijakaumaa arvoilla (41.6;0.6) niin eikös z ole silloin (45-41.6)/0.6 = 5.6666?"

        Ei päde z = (45-41.6)/0.6 = 5.6666, sillä ei päde 5.6666 = (45-41.6)/0.6. Mutta tietysti pätee z = (45-41.6)/0.6 = 17/3 = 5.6666... Tarkkana yhtäsuuruusmerkin käytön kanssa.


      • bimerkonomi
        Matikanfuksi kirjoitti:

        Miksi pitäisi pyöristää keskihajonta arvoon 1? Pyöristätkö myös satunnaismuuttujan X = "kuutosten lukumäärä 10 nopanheiton sarjassa" keskihajonnan sqrt(npq) = sqrt(10*1/6*(1-1/6)) = (5*sqrt(2))/6 arvoon 1, sillä noppaa heitettäessä ei voida saada (5*sqrt(2))/6 kuutosta? Tollainen pyöristelyhän vain heikentää tuloksen tarkkuutta.

        Silloin siitä tulisi joku järjellinen vastauskin. Siinähän se luki heti perässä.


    • xifix

      Laskin tietokoneella tuon z=5.666 ja se antoi kyllä vastauksen 0.999999993 eli vastaus tehtävään olisi silloin 1-0,999999993 = 7.30848 x 10^(-9), mutta voiko tätä tehdä mitenkään käsin tai onko tälle olemassa jotain kaavaa? Vai pitääkö näissä siis vaan todeta että todennäköisyys että kengänkoko > 45 pyöristyy nollaan?

      • Ohman

        New Cambridge Statistical Tables (Second Edition) antaa tällaisen kaavan:

        Kun x > 3.3 niin 1 - Fii(x) = e^(- 1/2 x^2) / (x sqrt(2 pii)) ( 1 - 1/x^2 3/x^4 - 15/x^6 105/x^8) .

        Tätä sanotaan erittäin tarkaksi,suhteellinen virhe on pienempi kuin 945/ x^10.

        En nut ruvennut numerolaskuihin eli laskemaan tätä tehtävän F(ii)-arvoa.

        Fii oli siis normeeratun normaalijakautuman kertymäfunktio. Ja siis

        Fii(x) = 1 - Fii(- x)

        Ohman


    • Matikanfuksi

      Itse laskin ekan tehtävän todennäköisyyden hyödyntäen parametrein 5000;0,0012 binomijakautuneen satunnaismuuttujan X = "vuoden aikana sattuneet kuolemantapaukset" pistetodennäköisyyksiä. Tällä tavoin vastaukseksi saadaan P(X≥10) = 1 - (P(X=0) P(X=1) ... P(X=8) P(X=9)) = 0,083... eli siis noin 8 %.

      Kengänkokotehtävään en tässä ota enempää kantaa kuin että useimmista todennäköisyyslaskennan teoksista ei tosiaan todennäköisyyttä P(Z>17/3) = 1 - fii(5) pysty laskemaan, sillä kyseistä standardoidun normaalijakauman kertymäfunktion arvoa ei ole taulukoitu. Selvästi kuitenkin huomataan, että todennäköisyyshän on häviävän pieni, joten kuulostaa siltä, että tehtävää laadittaessa on nyt käynyt pieni kömmähdys.

      • Npq

        Aika suuri heitto tulee tuosta jatkuvan normaalijakautuman käytöstä. Tarkka tulos on todellakin tuo 8.38 %. Piti oikein tarkistaa. Taulukkolaskennassa FACT-funktio ei enää toimi, kun N on niin suuri, mutta pienillä tempuilla lasku onistuu.


      • Ohman

        P(0 <= X <= 9) = Summa(0 <= i <= 9) C(5000,i) * 0,0012 ^i * 0,9988^(5000 - i).
        Tämän approksimaatio normaalijakautumalla on

        Fii((9 1/2 - 6)/sqrt(5,9928)) - Fii((- 1/2 - 6) / sqrt(5,9928)) = Fii(1,42973) - Fii( - 2,65521)

        Fii(1,42973) = 0,9222 0,973 * 0,0014 = 0,92356

        Fii(- 2,65521) = 1 - Fii(2,65521)

        Fii(2,65521) = 0,99598 0,521 * 0,00011 = 0,99604.

        P(0 <= X <= 9) = 0,9196 eli kysytty 1 - P = 0,0804 eli noin 8 %.

        Jos tarkka arvo on tuo aiemmin mainittu niin ei tässä nyt kovin suurta virhettä tehdä tuolla normaaliapproksimaatiolla.

        Ohman


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ja taas ammuttu kokkolassa

      Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.
      Kokkola
      30
      3531
    2. Kukka ampu taas Kokkolassa?

      T. olisi hetkeä aiemmin lähtenyt johonkin. Naapuri kai tekijä J.K., ei paljasjalkainen Kokkolalainen, vaan n. 100km pääs
      Kokkola
      9
      1588
    3. Kuinka kauan

      Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?
      Ikävä
      113
      1483
    4. Milli-helenalla ongelmia

      Suomen virkavallan kanssa. Eipä ole ihme kun on etsintäkuullutettu jenkkilässäkin. Vähiin käy oleskelupaikat virottarell
      Kotimaiset julkkisjuorut
      224
      1290
    5. Kun näen sinut

      tulen iloiseksi. Tuskin uskallan katsoa sinua, herätät minussa niin paljon tunteita. En tunne sinua hyvin, mutta jotain
      Ikävä
      34
      903
    6. Purra saksii taas. Hän on mielipuuhassaan.

      Nyt hän leikkaa hyvinvointialueiltamme kymmeniä miljoonia. Sotea romutetaan tylysti. Terveydenhoitoamme kurjistetaan. ht
      Maailman menoa
      242
      893
    7. Helena Koivu on äiti

      Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      132
      892
    8. Yhdelle miehelle

      Mä kaipaan sua niin paljon. Miksi sä oot tommonen pösilö?
      Ikävä
      60
      879
    9. Ja taas kerran hallinto-oikeus että pieleen meni

      Hallinto-oikeus kumosi kunnanhallituksen päätöksen vuokratalojen pääomituksesta. https://sysmad10.oncloudos.com/cgi/DREQ
      Sysmä
      66
      854
    10. Löydänköhän koskaan

      Sunlaista herkkää tunteellista joka jumaloi mua. Tuskin. Siksi harmittaa että asiat meni näin 🥲
      Ikävä
      98
      829
    Aihe