Rautalanka, jonka pituus on 1 m, katkaistaan kahteen osaan. Toinen osa taivutetaan ympyräksi ja toinen neliöksi. Kuinka katkaisu on suoritettava, jotta neliön ja ympyrän pinta-alojen summa on mahdollisimman pieni?
Ympyrä ja neliö
asdfghjkllöä
172074
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 17
Vanhimmat
Ympärysmitoista lienee kysymys. Neliön ympärysmitan neljäsosa toiseen on ala. Ympyrässä kehän pituus on 2 pii * r ja pinta-ala on pii * r^2. Niinkö se oli? Ainakin derivaattojen kaavoilla saisin tuosta pinta-alasta kehän pituuden, joten kaipa sitten oikein oli muistettu pinta-alan kaava.
Kysymyksessä ympärysmitta ja kehä yhteensä 1. Tarvitaanko tässä derivointia, vai ratkeaako muuten? Voidaanko kirjoittaa yhtälö, jossa yhdellä puolella yhtäläisyysmerkkejä neliön ala, ja toisella puolella ympyrän ala, ja sitten derivoida molemmat puolet?
Ilman derivaattaa selviää. Toivottavasti alla olevaan ei tullut laskuvirhettä. Idea: Jos ympyrän kehä pituuteen käytetään x metriä lankaa, niin neliöön käytetään 1-x metriä. Ympyrän säteelle r on voimassa 2rpii=x, eli r=x/(2pii). Ympyrän pinta-ala on pii*r^2=x^2/4*pii. Neliön pinta-ala on ((1-x)/4)^2. Pitää siis minimoida funktio x^2/4*pii ((1-x)/4)^2=(pii/4 1/16)x^2-(1/8)x 1/16. Ylöspäin aukeavana parametrina minimi selviää, kun kirjoittaa yhtälön muotoon (ax b)^2 c. Saadaan a=sqrt(pii/4 1/16), 2ab=-1/8, b^2 c=1/16. Siis b=-1/(16sqrt(pii/4 1/16)) ja c=1/16-b^2=1/16-(-1/(16sqrt(pii/4 1/16)))^2=pii/(4 16pii). Sitten vaan ratkaistaan yhtälö (pii/4 1/16)x^2-(1/8)x 1/16=pii/(4 16pii), josta toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla x=1/(1 4*pii) eli ympyrän kehä on noin 7,4 cm.
"Toivottavasti alla olevaan ei tullut laskuvirhettä...
...Pitää siis minimoida funktio x^2/4*pii ((1-x)/4)^2=(pii/4 1/16)x^2-(1/8)x 1/16."
x^2:n kertoimen pitäisi olla 1 / (4 * Pii) 1 / 16 ?
Voidaanko kirjoittaa yhtälö, jossa yhdellä puolella yhtäläisyysmerkkejä neliön ala, ja toisella puolella ympyrän ala, ja sitten derivoida molemmat puolet?
Voidaan, siihen tehtävä kahden muuttujan ääriarvotehtävänä käsiteltäessä käytännössä päätyy, ja pätkien suhteeksi tulee 4/pi. Se kyllä pitää jotenkin osoittaa, että kyseessä on minimi.
Suosittelen kuitenkin alojen summan lauseketta käsiteltävän ylöspäin aukeavana paraabelina, jolloin minimi on paraabelin huipussa, ja sitten vain huipun x-koordinaatti (-b/(2a).
En nyt ala niitä tähän suttaan, lähden uimaan...
No tuota en ymmärrä. Mutta jos merkkaa neliön sivua x ja ympyrän sädettä y, on ala:
A = x^2 pii'y^2, ja toisaalta 4*x 2*pii*y=1
Nuo kun differentioi ja merkkaa dA=0, saa että neliön sivu ja ympyrän halkaisija ovat yhtä suuret.
Tossa on toi paraabelijutska selvenettynä. Kahden muuttujan ääriarvotehtävänä en viitsi laittaa. http://aijaa.com/J52FKR
Se on juuri niin. Rautalankapätkien suhde kun on 4/pii, niin sehän on 4*sivu/(pii*halkaisija)=> 1=sivu/halkaisija=> sivu=halkaisija
Jos sinulla on tietty määrä rautalankaa, niin taivuttelitpa sen sitten miksi kuvioksi tahansa (jossa rautalangan päät ovat kiinni toisissaan), niin ko. kuviollahan on aina oltava sama pinta-ala. Näin ollen ongelman voi yksinkertaistaa siten, että tahdotkin taivutella kaksi neliötä.
Näin ollen tahdotaan minimoida (A/4)^2 (B/4)^2, jossa A,B>0, A B=1 ovat katkaistujen osien pituudet. Huomataan, että lausekkeen arvo on pienimmillään kun A=B=0.5. Näin ollen vastaus on, että rautalanka katkaistaan keskeltä (ts. molemmat osat ovat 0.5 metriä)
laitetaan 44 cm ympyrään.
Jaetaan lanka osiin x ja 1 - x (ensin mainittu ympyrälle, jälkimmäinen neliölle).
Neliön ala on (1 - x)^2
Ympyrän ala on Pii*r^2 = Pii * (x / [2 * Pii])^2 = x^2/(4 * Pii)
sillä 2 * Pii * r = x
Summa auki kirjoitettuna on siis:
Ala(x) = x^2/(4*Pii) (1-x)^2
Pinta-ala on siis x:n funktio ja sen derivaatan nollakohta on :
x = 2 / (2 1 / [2 * Pii]) = 0,926
joten
1 - x = 0,074
Huomasin, että yllä olikin jo ratkaistu tehtävä tällä tavalla. Itselläni tuli myös esittämääni yhtälöön lapsus eli neliön ala on luonnollisesti ((1-x)/4)^2.
Kun lasketaan oikealla neliön alalla ((1-x)/4)^2, saadaan ilmeisesti:
x = 0,4399 cm
Seuraava funktio on äärimmäisen helppo derivoida:
Ala(x) = x^2/(4*Pii) [(1-x)/4]^2 = x^2*[1/(4*Pii) 1/16] -x/8 1/16
Ala'(x) = x*[1/(2*Pii) 1/8] - 1/8
Derivaatan nollakohta on siis:
x = 1/8 / { [1/(2*Pii) 1/8] } = 0,4399 cm
Neliön sivu = x, ympyrän säde = y. Koko langan pituus on 1 joten tarkastellaan fuktiota
x^2 pii y^2 - k( 4x 2 pii y - 1) ja derivoidaan.
2x - 4 k = 0 ja 2 pii y - 2 pii k = 0
x = 2k ja y = k
8 k 2 pii k = 1 joten k = 1/(8 2 pii)
x = 2 k = 1/(4 pii) = 0,14
y = k = 1/(8 2 pii) = 0,07
4x 2 pii y = 4/(4 pii) 2 pii / (8 2 pii) = 1 kuten pitääkin.
Neliön ala on x^2 ja ympyrän ala on pii y^2.
Tehtävän geometria kertoo ajattelevalle että kyseessä on minimi.
Ohman
Lagrangen menetelmä. Käytännössä sama kuin edellä esitetty differentiaalimenetelmä.
Ajattelevalle? Niinkö että ei voi vääntää rautalangasta enempää, kuin mitä on rautalangan pituus? No, parempi vääntää rautalangasta paremman puutteessa.
No niin.
Ääritapauksessa x = 1/4 ja y = 0. Neliön pinta-ala = 1/16 = 0,0625.
Toisessa ääripäässö on x = 0 ja y = 1/(2 pii). Ympyrän pinta-ala on pii / (4 * pii^2) = 1/(4 pii) = 0,08.
Lagrangella saadussa ratkaisussa ympyrän ala neliön ala = 0,14^2 pii*0,07^2 = 0,035.
Tämä on pienempi kuin kumpikaan noista ääripään tuloksista eikä muita kriittisiä pisteitä kyseisellä alueella ole kuin tuo x = 0,14 ja y = 0,07. Kyseessä on siis minimi.
On tällaiseen sidotun ääriarvon tehtävään löydettävissä myös toisten derivaattojen avulla suoritettava testi jolloin riittävä ehto minimille on se, että eräs neliömuoto on positiivisesti definiitti tietyssä tangenttiavaruudessa. Tuo ehto toteutuu tässä.Tämän voi Kanavaimunaensin joutessaan ja halutessaan laskea.
Ohman
En minä ollut tässä mitään laskemassa. Keskustelin vaan matematiikasta. Eivätkö tällä tavalla työnjohtajat, keksijät, luovat johtajat, profeetat tai muut visionäärit toimi, että heitellään ideoita ja arvelua, joista muut sitten ahertavat, testaavat ja laskevat, toimiiko tämä idea käytännössä? Täytyy tunnustaa, että keskustelun toista viestiä kirjoittaessani olin tietämätön, näinkö voidaan laskea, mutta eikö jonkinlainen intuitio tässä toiminut, tai aavistus? Minulla oli alun perin ajatuksena, että ympyrän pinta-alan kaavaa derivoimalla saadaan kehän pituuden kaava, joten derivaatta olisi ehkä yksi mahdollisuus...
Tästä muistuikin mieleeni planimetri. Oliko kukaan keskustelija kuullut aiheesta aiemmin? On ollut mekaaninen laite, jolla mitattiin alueen pituuksia, ja laite näytti asteikolta pinta-alalukeman. Eli mekaaninen laite, joka näytti integraalin arvon, jos oikein olen ymmärtänyt. Nykyään on lisäksi digitaalisiakin planimetrejä.
https://fi.wikipedia.org/wiki/Planimetri
https://en.wikipedia.org/wiki/Planimeter
http://qrobe.it/search/?q=planimeter
Olisiko tehtävä voitu ratkaista toisinkin päin? Muodostaa yhtälö, jossa ympyrän halkaisijaa yhdellä puolella, neliön sivua toisella puolella yhtäläisyysmerkin, ja sitten... simsalabim... integroimallako olisi saatu vastaus?