Olen opiskellut itsenäisesti pitkää matematiikkaa, ja nyt tällä viikolla aloitin opiskelemaan vektoreita. YO-tehtävät osoittautuvat vielä hankaliksi, ja kysyisinkin neuvoa seuraavassa tehtävässä.
Huom! Merkitsen vektoreita vain kirjaimilla seuraavissa lausekkeissa.
Vektoreiden a ja b summa on vektori 4i j ja niiden perustulo on a * b = 4.
Vektori b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa. Määritä vektorit a ja b.
En osannut ratkaista tätä, mutta katsoin vastauksen täältä: http://matta.hut.fi/matta/yoteht/k10pratk.pdf
Nyt pohdin sitä, että voiko tehtävän ratkaista seuraavalla tavalla;
b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa jos ja vain jos b=t(4i)
lisätään tämä yhtälöön a t(4i) = 4i j
tästä saadaan a = 4i j- t(4i)
lisätään molemmat yhtälöön a * b = 4
(4i j-(t(4i)*(t4i)=4
Pistetulossa 4i*0=0 ja j*0=0
16t^2=4 ||:16
t^2 = 1/4, josta otetaan neliöjuuri
t= 1/2
Lisäämällä 1/2 b=t(4i) saadaan b= 2a
lisätään b= 2a yhtälöön a b= 4i j
a= 2a j
Saan näin oikeat vastaukset, mutta onko tämä oikea tapa ratkaista lasku?
Kiitos vastanneille!
Huom! Merkitsen vektoreita vain kirjaimilla seuraavissa lausekkeissa.
Vektoreiden a ja b summa on vektori 4i j ja niiden perustulo on a * b = 4.
Vektori b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa. Määritä vektorit a ja b.
En osannut ratkaista tätä, mutta katsoin vastauksen täältä: http://matta.hut.fi/matta/yoteht/k10pratk.pdf
Nyt pohdin sitä, että voiko tehtävän ratkaista seuraavalla tavalla;
b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa jos ja vain jos b=t(4i)
lisätään tämä yhtälöön a t(4i) = 4i j
tästä saadaan a = 4i j- t(4i)
lisätään molemmat yhtälöön a * b = 4
(4i j-(t(4i)*(t4i)=4
Pistetulossa 4i*0=0 ja j*0=0
16t^2=4 ||:16
t^2 = 1/4, josta otetaan neliöjuuri
t= 1/2
Lisäämällä 1/2 b=t(4i) saadaan b= 2a
lisätään b= 2a yhtälöön a b= 4i j
a= 2a j
Saan näin oikeat vastaukset, mutta onko tämä oikea tapa ratkaista lasku?
Kiitos vastanneille!
Vastaukset 11
Vanhimmat
Tuo on juuri oikea tapa. Annetuista tiedoista tehdään yhtälöt ja ratkaistaan ne. 6/6.
PS. En olekaan ikinä kuullut termiä 'perustulo' pistetulon (sisätulon) asemesta. Onko oma keksimäsi ;-)?
Yksi huomio kuitenkin: tuossa kun otat neliöjuuren, niin täytyisi huomioida myös tapaus t=-1/2, mutta koska b on yhdensuuntainen (eikä vain samansuuntainen), täytyy olla t>0, ja negatiivinen arvo ei kelpaa.
Ei, nyt meni itselläni termit väärin päin, yhdensuutaisuudessa sallitaan myös negatiiviset arvot (nollaa ei kai kuitenkaan).
Joten tapaus t=-1/2 on ihan relevantti tutkiskeltava.
Nyt kun tarkemmin katson tuota saamaasi yhtälöä 16t^2 = 4, niin se ei taida olla oikein vaan siitä tulee
(-4t 4)4t = 4
ja tällä on vain yksi ratkaisu t=1/2.
Kiitti vastauksestasi ja huomiostasi!
Mukava tietää, että vaikka ei aluksi osaakaan tehtävää, niin pystyy sen ratkaisemaan vastauksen avulla. Nyt vain lisää laskuja :)
Joo, näköjään tuli vahingossa perustulo pistetulon sijasta :D
Huomasitko vielä tuon viimeisimmän kommenttini? Sori, nää tulee tälleen vähän ripoittaen (ja virheellisesti itseltänikin) kun en aluksi mieti tarpeeksi tarkasti.
Että kyllä siellä yksi virheen pahanen oli yhtälönmuokkauksessa, mutta kyllä sulla nuo vektoriasiat näyttäisi olevan hallussa.
Siinä pistetulossa on siis ensimmäisen vektori
(-4t 4)i j,
joten pistetulosta vektorin (4t)i kanssa tulee (-4t 4)4t.
Nyt huomasin uudet viestisi, kiitos tästäkin. Virhehän tuonne olikin päässyt! :)
Kyllä tuossa ratkaisun lopussa vielä jotain mätää on. Loppuvaiheissa kirjoitat b = 2a, mikä on mahdotonta. Jos olisi b = 2a, niin a ja b olisivat yhdensuuntaisia. Koska b on i:n kanssa yhdensuuntainen, niin näin olisi myös a. Ja jos a ja b molemmat ovat i:n kanssa yhdensuuntaisia, ei summa a b voi sisältää ollenkaan j:n suuntaista komponenttia eli a b = 4i j olisi mahdoton summa. Kannattaa tarkistaa loppu vielä uudestaan.
Olet oikeassa! :)
t= 1/2 voisi liittää suoraan b=t(4i), josta tulee 2i.
b = x i joten (a,b) = x (a,i) = 4 ja siis vektorin a i-komponentti on 4/x.
a x i = 4 i j joten a = (4-x) i j
(a,b) = ((4-x) i j, x i) = 4x - x^2 = 4 ja x^2 -4x 4 = 0. x = (4 /- sqrt(16 - 16)) / 2 = 2
Nyt b = 2 i ja a 2 i = 4 i j ja siis a = 2 i j
Tark. (a,b) = (2i j, 2 i) = 4. a b = 2 i j 2i = 4 i j
Ohman
Itse asiassa, koska totesin, että a:n i-komponentti on 4/x niin siitäkin voidaan päätellä että
4- x =4/x ja saadaan tuo yhtälö x^2 - 4x 4 = 0.
Ohman