Hei! Ajattelin laskeskella ja ymmärtää todennäköisyyslaskuja paremmin nyt pääsiäisen aikana. Perus klassisen todennäköisyyden jutut kombinatoriikkaan olen onnistunut ratkomaan, mutta sitten tuli tällainen tehtävä. Tiedän, että tämä on yksinkertainen, mutta en oikein saa hahmotettua perusideaa. Jos joku viitsisi kertoa tämän tehtävän idean, niin voisin soveltaa ideaa uusien samankaltaisten tehtävien ratkomisessa. Kiitos jo etukäteen!
Tehtävä yksinkertaisuudessaan on seuraava: Millä todennäköisyydellä kolmelapsisessa perheessä on a) yksi tai kaksi poikaa, b) vähintään kaksi tytöä? Oikeat vastaukset ovat a) 0,75 ja b) 0,5.
Olen päässyt pähkäylyssä seuraavaan. Todennäköisyys olla poika tai tyttö on 0,5. (p= 0,5) n=3.
a) 1 tai 2 poikaa = P(X ≤ 2 poikaa) enintään kaksi poikaa: (mahd. järjestyksiä 3: PPT, PTP, TPP)
Miten jatkan tästä? 3 x 0,5 0,5 0,5? Jos kaksi ensimmäistä on poikaa pitäähän se viimeinenkin ottaa huomioon, että se ei ole poika, miten? Valaiskaa!
Todennäköisyyslaskuja kertaamassa
23
2077
Vastaukset
- pedantikko
"Todennäköisyys olla poika tai tyttö on 0,5."
Tuo on väärä oletus, mutta jatketaan siltä pohjalta, että se olisi tosi.
a) yksi tai kaksi poikaa,
TN että kaikki ovat tyttöjä tai poikia, on yhteensä 2*1/8 = 1/4. Lopuista 3/4-osasta pojat ja tytöt ovat yhtä todennäköisisiä, eli vastais on 3/8.
b) vähintään kaksi tytöä?
No kun vähintää kaksi ovat aina joko poikia tai tyttöjä (olettaen että sukupuoli on aina jompi kumpi), niin täytyy olla fifty-fifty eli 0,5. - pedantikko
a) yksi tai kaksi poikaa,
TN että kaikki ovat tyttöjä tai poikia, on yhteensä 2*1/8 = 1/4. Lopuista 3/4-osasta pojat ja tytöt ovat yhtä todennäköisisiä, eli vastais on 3/8.
Ah luinpa huonosti. Siis tietankin tuon 1/4 komplementti eli 3/4. - Kanootti3
Ilmeisesti merkkaat X:llä poikien määrää. Todennäiköisyys, jota a-kohdassa kysytään on
P(X=1 tai X=2).
Koska tapaukset {X=1} ja {X=2} ovat erilliset, pätee
P(X=1 tai X = 2)
= P(X=1) P(X = 2).
Lasketaan nämä erikseen. Oletkin jo tuon {X=2}:n mahdolliset alkeistapaukset löytänyt. Huomaa, että yhden alkeistapauksen todennäköisyys voidaan laskea (perheen lasten sukupuolten riippumattomuuden nojalla) tulosäännöllä
P("PPT")
= P("eka on poika") * P("toka on poika") * P("kolmas on tyttö")
= 0,5*0,5*0,5 = 0,125.
Siis se, että kolmas on tyttö, on tulossa mukana.
Huomaa, myös, että yhden tälläisen tapauksen todennäköisyys riippuu vain siitä kuinka monta poikaa/tyttöä siinä on (eikä nyt itseasiassa siitäkään, sillä p=0,5=1-p).
Näin saadaan
P(X=2) = P("PPT") P("PTP") P("TPP") = 0,375.
Laskepa nyt P(X=1). Se menee itseasiassa täysin vastaavasti, onhan se sama kuin P(tyttöjä on 2). - Highschoolerr
Hei Kanootti3. Sinun neuvoista ymmärsin ehkä jotain, mutta en lopullista ideaa. Voisitko vääntää vielä rautalangasta... En ymmärrä miten tuo 0,75 oikein saadaan.
a) yksi tai kaksi poikaa
(X = "poikien lukumäärä" (todennäköisyys, että kolmesta lapsesta on kaksi poikaa)
P(X=2) = P("PPT") * P("PTP") * P("TPP") = (0,5 * 0,5 * 0,5) = 1,25.
P(X=1) = P("PTT") * P("TPT") * P("TTP") = (0,5 * 0,5 * 0,5) = 1,25.
P(X=1) P(X = 2) = 1,25 1,25 = 2,50 ?????????
b) vähintään kaksi tytöä?
(X = "tyttöjen lukumäärä")
T( X ≥ 2} = T(X = 2) T(X = 3)
T(X=2) = T("TTP") * P("TPT") * P("PTT") = (0,5 * 0,5 * 0,5) = 0,375.
T(X=3) = T("TTT") = ????????
Mä olen ihan pihalla nyt...- EnOleKanootti
Mutta yritän selventää.
Ensin P että on yksi poika ja pojan ja kahden tytön todennäköisyydet kerrotaan ja järjestyksen määrä 3 P on 3/8, sitten kaksi poikaa eli kerrotaan kaksi pojan ja yksi tytön todennäköisyys ja järjestysten määrä joka on myös 3 ja todennäköisyys 3/8, näiden summa on 6/8 eli 3/4 tai 0,75
- TaulukkoLaskija
Jos haluaa nopeasti ja varmasti oikean vastauksen tälläisiin ongelmiin, kannattaa aina tehdä taulukko (syntymäjärjestyksen mukaan). Siitä selviää kaikki ihan sormilla laskien. Ei tarvitse ajatella mitään. Varmistettava tietysti, että taulukko on oikean mittainen (kahden potenssi) ja se on symmetrinen joka suuntaan.
PPP
PPT
PTP
PTT
TPP
TPT
TTP
TTT
Ei muita vaihtoehtoja. Kaikki yhtä todennäköisiä. Nopein tapa selvittää myös kaikki 4- ja 5-lapsisten perheiden ongelmat. Niihinhän voidaan asettaa kaikenlaisia lisäehtoja, joiden huomioiminen yhtälöissä tai viimeistään yhtälöiden ratkaisu menee käytännössä ekoilla kerroilla vähän pieleen.- Ei.Hyvä.Mies.Sentään
Voit tehdä taulukon jos vaihtoehtojen määrä on riittävän suppea, mutta laskukaavat on paras opetella, muuten ei tule mitään.
Voit vain kuvitella vaikka lottonumeroiden määrää, taulukon suuruutta ja oikeiden mahdollisuuksien hakemista, laskemalla tulos löytyy varmasti helpommalla ja nopeammin.
- Highschoolerrr
Ok. Nyt ymmärrän! Ongelman ydin minulla oli se, että en ajatellut että kaikkia vaihtoehtoja olisi 8. Ajattelin, että niitä olisi vain 6. Unohdin jotenkin laskuista PPP ja TTT tapaukset. Siksi en ihan ensimmäisen vastaajan viestistäkään tajunnut mistä sinne oli tupsahtanut nuomero 8. Mutta jees! Tämä tehtävä laajensi tajuntaani. Kiitos kaikille vastanneille! :)
- TaulukkoLaskija
Jos tehtävässä sanotaan suoraan tai epäsuorasti, että perheessä on vähintään yksi tyttö ja vähintään yksi poika, niin taulukosta pitää poistaa pari riviä. Jos vastaavia "lantinheittotehtäviä" laskeskelee vähänkin enemmän, kannataa editoida tallenettavaan tiedostoon pohjaksi erikokoisia binäärilukutaulukoita. Säästyy aikaa ja tulee vähemmän virheitä.
00000
00001
....
11111
Jos tehtävässä vaaditaan kaavojen käyttöä, kaavat on helppo kirjoittaa oikein (karsitun) taulukon ohjauksella. Mitään ei unohdu! - Highschoolerrry
Kiitos neuvosta. Nämä todennäköisyyslaskut on kyllä välillä tosi viheliäitä. Siksi yritänkin nyt niitä ymmärtää...
En ole omasta mielestäni mikään matematiikan ihmelapsi, mutta jotenkin nuo yläpuolen vastaukset on ilmaistu hyvin vaikeaselkoisesti, sori vaan.. Yritänpä minäkin selittää tämän, mutta ehkä selkeämmin.
Kolmen lapsen joukostahan todellakin voi muodostaa tyttö-poika joukkoja kaikenkaikkiaan 8 kappaletta (niin kuin TaulukkoLaskija yläpuolella vinkkasi), eli kunkin eri mahdollisuuden todennäköisyys on 1/8:
PPP TPP
PPT TPT
PTP TTP
PTT TTT
a) P(X = 1 tai 2 poikaa) = P(X = 1 tai X = 2) = P(X = 1) P(X = 2)
P(X = 1) = (PTT, TPT, TTP) = 3 * 1/8 = 3/8
P(X = 2) = (PPT, PTP, TPP) = 3 * 1/8 = 3/8
P(X = 1) P(X = 2) = 3/8 3/8 = 6/8 (kun supistetaan) = 3/4 = 0,75
VASTAUS: 0,75
b) P(X = 2 tai 3 tyttöä) = P(X = 2 tai X = 3) = P(X = 2) P(X = 3)
P(X = 2) = (PTT, TPT, TTP) = 3 * 1/8 = 3/8
P(X = 3) = (TTT) = 1/8
P(X = 2) P(X = 3) = 3/8 1/8 = 4/8 (kun supistetaan) = 1/2 = 0,5
VASTAUS: 0,5- Highschoolerrrx
No nyt oli kyllä selkeää tekstiä. Kiitos tuosta. Eli sen sukupuolisuutee liityvän 0,5 todennäköisyyden kans ei tavi leikkiä lainkaan!? Kun tuossa noita kaikkia kolmen henkilön poika-tyttö -joukkoja on yhteensä kahdeksan, niin kysehän on variatiosta (eli järjestyksellä on väliä) = 3! / (3 - 2)! = 6. Siihen pitää vain lisätä nuo kaksi mahdollisuutta eli PPP ja TTT. Eli sama tehtävä menisi heljän lapsen joukolla 4! / (4-2)! = 12 PPPP ja TTTT eli = 14 mahdollisuutta? Näinhän se kai mene?
Jos tarkoitus ei ole kehittää mitään yleisempää, niin näin pienessä tapauksessa voi luetella tapaukset. Tapauksia on kahdeksan. Yhden pojan tapauksia on kolme, kahden pojan tapauksia myös kolme (edelliset sukupuolet käännettyinä), siis 6/8 = 3/4.
Kahden tytön tapauksia on kolme. Kolmen tytön tapauksia yksi, siis 4/8 = 1/2.- Systemaattisuutta
Ei tule täysiä pisteitä! Mahdollisuudet (tapaukset) on esitettävä sillä tavalla, että mukana ovat varmasti "todistettavasti" ja ymmärrettävästi kaikki tapaukset selvässä järjestyksessä. Ja on perusteltava miksi niillä on sama todennäköisyys. Osa oppilaista luettelisi tapaukset varmasti useallakin tavalla väärin. Esim. "kaksi tyttöä, yksi poika" olisi joku tapaus. Tai luettelisi tapauksia pitkinä lauseina, joissa pilkut ja "ja-sanat" sotkisivat kaiken.
Lue edelliset vastaukset!
- Ohman
a) P1 = tapaus poikia on 1 ja P2 on tapaus poikia on 2.Nämä ovat pistevieraita
P(P1 U P2) = P(P1) P(P2) = C(3,1) 0,5 * 0,5^2 C(3,2) 0,5^2 * 0,5 = 6*0,5^3 = 6*0,125 = 0,75.
b) T = tyttöjen määrä. P(T >= 2) = C(3,2) 0,5^2*0,5 C(3,3) 0,5^3 = 4 * 0,125 = 0,50.
2. tapa: P(T >= 2) = 1 - P(T < 2) = 1 - C(3,0) 0,5^3 - C(3,1) 0,5 ^3 = 1 - 4 * 0,125 = 0,50- Ohman
Tuo C on siis binomikerroin: C(n,m) = n! / (m! (n-m)!) ja kertoo sen, kuinka monella tavalla n:stä alkiosta voidaan valita m. 0! = 1! = 1.Tämä nyt varmuuden vuoksi aloittajalle tiedoksi.
On syytä oppia matematiikassa merkitsemään asioita symboleilla kuten tein tuossa äsken, nuo P1 jne. Silloin on helppo krjoittaa kaavoja.
- UUSITEHTÄVÄ
UUUSI ONGELMA. Laitan tähän samaan ketjuun, kun kyse on todennäköisyyslaskusta.
TEHTÄVÄ: Mikä on todennäköisyys, että kolmen yhtäaikaisen nopan heitossa silmälukujen summa on 8?
Osaisin laskea tehtävän, jos kyseessä olisi kaksi noppaa. Mutta en kolmen nopan.
Kahden nopan kanssa olen tehnyt taulukon, jossa tiettyjen silmälukujen summan mahdollistavat noppluvut on helppo nähdä. Eli silmälukujen summa 2 tai 12 saadaan vain yhdellä tapaa (1 1). Taas vaikka silmälukujen summa 7 saadaan kuudella tapaa. Ya know what I mean. Kertokaapa miten tällaisen kolminoppaisen tai useampinoppaisen todennäköisyyden saa helposti laskettua.Hei, miksi et kysy suoraa noilta luupäiltä, että kuka heistä voisi suorittaa kokeen puolestasi?
Lienee jo tässä vaiheessa selvää, ettet siihen itse kykene. sillä nyt taitaa myös olla jo selvää, että nämä luupäät ovat ihan samalla tasolla, kuin sinä - todennäköisesti!- UUSITEHTÄVÄ2
tractor kirjoitti:
Hei, miksi et kysy suoraa noilta luupäiltä, että kuka heistä voisi suorittaa kokeen puolestasi?
Lienee jo tässä vaiheessa selvää, ettet siihen itse kykene. sillä nyt taitaa myös olla jo selvää, että nämä luupäät ovat ihan samalla tasolla, kuin sinä - todennäköisesti!On varmaan sanomattakin selvää, että juuri näiltä "luupäiltä" asiasta kyselenkin. En sinun kaltaisiltasi suutansa soittavilta persereijiltä. Tuskin osaat matematiikkaa edes sen vertaa mitä itse osaan. Enkä ole mitään koetta tekemässä vaan olen opiskelemassa todennäköisyyslaskuja, jotta ymmärtäisin niitä paremmin. Rövhål!
- Ohman
Nopan silmäluvut jakautuvat tasaisesti, kunkin arvon tn on 1/6. Tässä on nyt kolme diskreettiä satunnaismuuttujaa, jotka jakautuvat identtisesti. Kysytään niiden summan arvojen todennäköisyyksiä. Tämän summan jakauma saadaan konvoluutioiden avulla.Useampinoppaisella ( n noppaa) on kyse n:n identtisesti jakautuneen satunnaismuuttujan summasta. En nyt ryhdy tässä luennoimaan konvoluutioista, tämä asia sinun on syytä opetella kirjoista.
Terveisin Luupää! En tiedä meneekö ihan 100% varmuudella oikein, mutta itse ratkaisisin tehtävän näin:
Kolmen nopan heiton silmäluvuthan muodostavat tietynlaisen jonon esimerkiksi 1, 5, 6, joten kaikkiaan kolmen silmäluvun jonojen lukumääräksi tulee 6* 6* 6 = 216.
Sitten pitää tietää kuinka monta mahdollisuutta on kolmen nopan silmäluvuista saada silmälukujen summaksi 8. Onnistuu kun hieman laskeskelee ja laittaa lukuja peräkkäin. Pienin kolmen nopan silmälukujen summahan on tietenkin 3 (= 1 1 1). Eli siitä ylöspäin kahdeksaan asti:
Silmälukujen summa 3:
1 1 1
= 1 MAHDOLLISUUS
Simälukujen summa 4:
2 1 1
1 2 1
1 1 2
= 3 MAHDOLLISUUTTA
Silmälukujen summa 5:
3 1 1
1 3 1
1 1 3
2 2 1
2 1 2
2 2 1
= 6 MAHDOLLISUUTTA
ja niin edelleen.
Tuosta huomaa, että silmäluvun summan ja niiden muodostavien mahdollisuuksien määrässä on säännönmukaisuus; eli
(SILMÄLUKU 3) = 1
(SILMÄLUKU 4) = 3
(SILMÄLUKU 5) = 6
(SILMÄLUKU 6) = 10
(SILMÄLUKU 7) = 15
(SILMÄLUKU 8) = 21
Ja lasketaan todennäköisyys: 21 / 216 = 0,097- örhömn
Voiko tuon poikatyttö-ongelman laskea näin:
poika tai tyttö, todennäköisyys 0,5
kolmen lapsen perheessä yksi tai kaksi poikaa:
3 * 0,5^2 = 0,75
Miksi tämä laskentatapa olisi oikein, tai miksi väärin?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1907907
Klaukkalan onnettomuus 4.4
Klaukkalassa oli tänään se kolmen nuoren naisen onnettomuus, onko kellään mitään tietoa mitä kävi tai ketä onnettomuudes974235- 682722
Kolari Klaukkala
Kaksi teinityttö kuoli. Vastaantulijoille ei käynyt mitenkään. Mikä auto ja malli telineillä oli entä se toinen auto? Se751732Ukraina ja Zelenskyn ylläpitämä sota tuhoaa Euroopan, ei Venäjä
Mutta tätä ei YLE eikä Helsingin Sanomat kerto.4011668- 641528
Ooo! Kaija Koo saa kesämökille öky-rempan:jättimäinen terde, poreallas... Katso ennen-jälkeen kuvat!
Wow, nyt on Kaija Koon mökkipihalla kyllä iso muutos! Miltä näyttää, haluaisitko omalle mökillesi vaikkapa samanlaisen l201496Toivoisin, että lähentyisit kanssani
Tänään koin, että välillämme oli enemmän. Kummatkin katsoivat pidempään kuin tavallisesti toista silmiin. En tiedä mistä171151Kevyt on olo
Tiedättekö, että olo kevenee kummasti, kun päästää turhista asioista tai ihmisistä irti! Tämä on hyvä näin <3841078Olisinpa jo siellä, otatkohan minut vastaan
Olisitpa lähelläni ja antaisit minun maalata sinulle kuvaa siitä kaikesta ikävästä, tuskasta, epävarmuudesta ja mieleni791070