Mites-tää-meni

Ei muuten ole !

Se on tulos em. kaavasta , eikä mikään määritelty.

Kertoma positiivisille kokonaisluvuille on vain rajattu osa funktiota, eikä se kaipaa mitään määritelmiä erikseen.
Alkeisopetuksessa on helpompi vain sanoa "että "on sovittu" tai "oletetaan" 0! = 1, koska asian todistamiseen ei taidot vielä riitä sillä tasolla jossa kokonaislukukertomia jo tarvitaan.

Menee nyt höpöstelyn puolelle.
Kyllä kertoma alun perin määritellään ei-negatiivisille kokonaisluvuille näin:
0! = 1
(n 1)! = (n 1) * n!

Se, että gammafunktion avulla voidaan määritellä yleisemmin kertomafunktio jolle ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee tuo yllä sanottu, tarkoittaa oikeastaan seuraavaa:

Voidaan määritellä funktio F jonka arvoille ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee yo. rekursio. Tätä voidaan kutsua nimellä (yleistetty) kertoma.

Tätä määrittelyä ja millä alueella se on voimassa voivat halukkaat tutkia vaikkapa jo aiemmin mainitsemistani lähteistä. Tai muista kompleksianalyysiä käsittelevistä lähteistä sieltä gammafunktion paikkeilta.En rupea sitä tässä selostamaan koska lähteitä kyllä helposti löytyy.

Kyllä se yleinen kertomafunktiokin siis määritellään eikä se "todista" tuota alkuperäistä määritelmää. Sen avulla voidaan laskea noita "yksinkertaisen" kertoman arvojakin ja saadaan ne tutut.

Jos esim. katsotaan funktiota y = x^2 niin sen avulla voidaan laskea, että 2^2 = 4. 3^2 = 9 jne mutta ei tämä ole noitten seikkojen "todistus" vaan kyseisen funktion arvojen laskentaa.

Ohman kirjoitti:

Menee nyt höpöstelyn puolelle.
Kyllä kertoma alun perin määritellään ei-negatiivisille kokonaisluvuille näin:
0! = 1
(n 1)! = (n 1) * n!

Se, että gammafunktion avulla voidaan määritellä yleisemmin kertomafunktio jolle ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee tuo yllä sanottu, tarkoittaa oikeastaan seuraavaa:

Voidaan määritellä funktio F jonka arvoille ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee yo. rekursio. Tätä voidaan kutsua nimellä (yleistetty) kertoma.

Tätä määrittelyä ja millä alueella se on voimassa voivat halukkaat tutkia vaikkapa jo aiemmin mainitsemistani lähteistä. Tai muista kompleksianalyysiä käsittelevistä lähteistä sieltä gammafunktion paikkeilta.En rupea sitä tässä selostamaan koska lähteitä kyllä helposti löytyy.

Kyllä se yleinen kertomafunktiokin siis määritellään eikä se "todista" tuota alkuperäistä määritelmää. Sen avulla voidaan laskea noita "yksinkertaisen" kertoman arvojakin ja saadaan ne tutut.

Jos esim. katsotaan funktiota y = x^2 niin sen avulla voidaan laskea, että 2^2 = 4. 3^2 = 9 jne mutta ei tämä ole noitten seikkojen "todistus" vaan kyseisen funktion arvojen laskentaa.

Lue lisää

Menee nyt tosiaan höpöstelyn puolelle.

Kerrot itse että funktion arvo saadaan laskutoimituksella, eikä se siten ole mikään sopimus tai määrittely tai todistus.
Aivan samalla tavalla 0! on ko. funktion arvo kun n=0, se ei kaipaa mitään lisäselittelyjä tai määriteltyjä käyttörajoja, vain laskutoimitus vaatii hieman perehtyneisyyttä, jonka vuoksi se yleensä ohitetaan.

Mikä tämän ymmärtämisen tekee näin vaikeaksi ?

Lukiessani kommenttiasi ääliötutkani ölähti pahasti. Koska en kirjoittanut omaa juttuani ääliöille en vastaa kommenttiisi tämän enempää.

Varmaan parasta olisi kun lukisit ja kirjoittelisit jossain muualla kuin tällä palstalla.

arvelenpa.vain kirjoitti:

Varmaan parasta olisi kun lukisit ja kirjoittelisit jossain muualla kuin tällä palstalla.

Tarkoitatko, että täällä on niin paljon ääliöitä? No, tuskin sentään. Eiköhän suuri osa ole ihan järkeviä joille kannattaa siis kirjoitella.

Siitä, mihin joukkoon sinä kuulut, en kommenttisi perusteella ole ihan varma.

Ohman kirjoitti:

Tarkoitatko, että täällä on niin paljon ääliöitä? No, tuskin sentään. Eiköhän suuri osa ole ihan järkeviä joille kannattaa siis kirjoitella.

Siitä, mihin joukkoon sinä kuulut, en kommenttisi perusteella ole ihan varma.

Lue lisää

Mene vaikka vähän kävelylle ja mietiskele asennettasi.
Miltä itsestäsi tuntuisi jos muut keskustelijat käyttäytyisivät niin että hyväksyisivät vain omia mielipiteitä myötäilevät ja arvostavat vastineet ja jos joku, perustellusti tai muuten on vähääkään eri mieltä, niin se olisi riittävä syy loukkautua ja julistaa eri mieltä olevat idiooteiksi.

Vaikka nyt ollaan "tällaisella palstalla", niin aika kohtuullista olisi aikuiselta ihmiseltä odottaa kypsempää asennetta ja käyttäytymistä.

Kertoma on funktio y =int 0..äärettömään x^n*e^-x dx, ja positiiviset kokonaisluvut ovat vain rajattu osa funktiota.
Tämä oli jo alussa kai sanottu ja 'Ohman' linkitti sivuston, josta asiaan voi tutustua tarkemmin.

Todistuksesta se, että kun sijoitat em kaavaan n=0, niin lähes päässälaskun avulla voit todeta tuloksen olevan 1, mitään määrittelyjä tai todisteluja se ei kaipaa, vertaa esim a^x = 1 kun x=0, on samanlainen funktion yksi ratkaisu, ei mikään määritelmä tai sopimus.

n:n alkion joukolla on 2^n osajoukkoa. Tämä luku syntyy siitä, että kun muodostetaan tiettyä osajoukkoa päätetään kunkin alkion kohdalla pannaanko se tuohon osajoukkoon vai ei. Ja näitä valintoja on 2^n mahdollista.

Nyt 2^n = (1 1)^n = Summa (0 <= i <= n) C(n,i) missä binomikerroin C(n,i) = n!(i! (n-i)!).Tuolla n:n alkion joukolla on C(n,i) osajoukkoa joissa on i alkiota.i alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,i) tavalla.

Nähdään, että osajoukkoja,joissa on i alkiota on yhtä monta kuin niitä joissa on n - i alkiota, sillä
C(n,i) = C(n, n - i).

Nyt tuo, että k alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,k) eri tavalla voidaan laskea siten, että kaikkiaan n:n alkion joukolla on n! eri järjestystä. Niistä poimitut k alkiota voidaan panna k! eri järjestykseen ja ja jäljelle jäävät n - k voidaan panna (n-k)! eri järjestykseen. Siis joukkoja, joissa on k eri alkiota, niiden järjestyksestä välittämättä, on n!(k!(n-k)!) = C(n,k) kappaletta.
Kun n=0, tyhjällä joukolla on 2^0 = 1 osajoukkoa nimittäin se itse.

0!/(0! (0-0)!) =1.

Mutta en nyt sanoisi, että tyhjän joukon alkiot on asetettu yhteen järjestykseen. Nämä tyhjä-joukko-jutut ovat vähän vähän turhanpäiväisiä tai miten tuon nyt sanoisi.

Esim. se, että tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko syntyy osajoukon määritelmästä.
A on B:n osajoukko jos

(x) (x kuuluu A:han -> x kuuluu B:hen)

. Nyt implikaatio X -> Y < - > ~X V Y ja nähdään, että implikaatio on valetta vain silloin kun X on tosi ja Y on valetta.Näin ollen kun A on tyhjä joukko on ( x kuuluu A:han ) valetta jokaiselle alkiolle x joten implikaatio (x kuuluu A:han) -> (x kuuluu B:hen) on tosi kaikille alkioille x.

Ohman kirjoitti:

n:n alkion joukolla on 2^n osajoukkoa. Tämä luku syntyy siitä, että kun muodostetaan tiettyä osajoukkoa päätetään kunkin alkion kohdalla pannaanko se tuohon osajoukkoon vai ei. Ja näitä valintoja on 2^n mahdollista.

Nyt 2^n = (1 1)^n = Summa (0 <= i <= n) C(n,i) missä binomikerroin C(n,i) = n!(i! (n-i)!).Tuolla n:n alkion joukolla on C(n,i) osajoukkoa joissa on i alkiota.i alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,i) tavalla.

Nähdään, että osajoukkoja,joissa on i alkiota on yhtä monta kuin niitä joissa on n - i alkiota, sillä
C(n,i) = C(n, n - i).

Nyt tuo, että k alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,k) eri tavalla voidaan laskea siten, että kaikkiaan n:n alkion joukolla on n! eri järjestystä. Niistä poimitut k alkiota voidaan panna k! eri järjestykseen ja ja jäljelle jäävät n - k voidaan panna (n-k)! eri järjestykseen. Siis joukkoja, joissa on k eri alkiota, niiden järjestyksestä välittämättä, on n!(k!(n-k)!) = C(n,k) kappaletta.
Kun n=0, tyhjällä joukolla on 2^0 = 1 osajoukkoa nimittäin se itse.

0!/(0! (0-0)!) =1.

Mutta en nyt sanoisi, että tyhjän joukon alkiot on asetettu yhteen järjestykseen. Nämä tyhjä-joukko-jutut ovat vähän vähän turhanpäiväisiä tai miten tuon nyt sanoisi.

Esim. se, että tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko syntyy osajoukon määritelmästä.
A on B:n osajoukko jos

(x) (x kuuluu A:han -> x kuuluu B:hen)

. Nyt implikaatio X -> Y < - > ~X V Y ja nähdään, että implikaatio on valetta vain silloin kun X on tosi ja Y on valetta.Näin ollen kun A on tyhjä joukko on ( x kuuluu A:han ) valetta jokaiselle alkiolle x joten implikaatio (x kuuluu A:han) -> (x kuuluu B:hen) on tosi kaikille alkioille x.

Lue lisää

Huoh !

Ohman kirjoitti:

n:n alkion joukolla on 2^n osajoukkoa. Tämä luku syntyy siitä, että kun muodostetaan tiettyä osajoukkoa päätetään kunkin alkion kohdalla pannaanko se tuohon osajoukkoon vai ei. Ja näitä valintoja on 2^n mahdollista.

Nyt 2^n = (1 1)^n = Summa (0 <= i <= n) C(n,i) missä binomikerroin C(n,i) = n!(i! (n-i)!).Tuolla n:n alkion joukolla on C(n,i) osajoukkoa joissa on i alkiota.i alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,i) tavalla.

Nähdään, että osajoukkoja,joissa on i alkiota on yhtä monta kuin niitä joissa on n - i alkiota, sillä
C(n,i) = C(n, n - i).

Nyt tuo, että k alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,k) eri tavalla voidaan laskea siten, että kaikkiaan n:n alkion joukolla on n! eri järjestystä. Niistä poimitut k alkiota voidaan panna k! eri järjestykseen ja ja jäljelle jäävät n - k voidaan panna (n-k)! eri järjestykseen. Siis joukkoja, joissa on k eri alkiota, niiden järjestyksestä välittämättä, on n!(k!(n-k)!) = C(n,k) kappaletta.
Kun n=0, tyhjällä joukolla on 2^0 = 1 osajoukkoa nimittäin se itse.

0!/(0! (0-0)!) =1.

Mutta en nyt sanoisi, että tyhjän joukon alkiot on asetettu yhteen järjestykseen. Nämä tyhjä-joukko-jutut ovat vähän vähän turhanpäiväisiä tai miten tuon nyt sanoisi.

Esim. se, että tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko syntyy osajoukon määritelmästä.
A on B:n osajoukko jos

(x) (x kuuluu A:han -> x kuuluu B:hen)

. Nyt implikaatio X -> Y < - > ~X V Y ja nähdään, että implikaatio on valetta vain silloin kun X on tosi ja Y on valetta.Näin ollen kun A on tyhjä joukko on ( x kuuluu A:han ) valetta jokaiselle alkiolle x joten implikaatio (x kuuluu A:han) -> (x kuuluu B:hen) on tosi kaikille alkioille x.

Lue lisää

Tuli näköjään tuohon kirjoitusvirhe. Tietysti on C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Oli jäänyt tuo jakomerkki pois.

Ohman kirjoitti:

Tuli näköjään tuohon kirjoitusvirhe. Tietysti on C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Oli jäänyt tuo jakomerkki pois.

Sama virhe vielä tuossa aiemminkin: C(n,i) = n! / (i! (n-i)!).