Voiko kertoma olla muutakin kuin positiiviselle kokonaisluvulle ?
Mites-tää-meni
20
327
Vastaukset
- Toki..toki
N - kertoma on integraali 0>äärettömään x^n*e^-x, ja pätee yli koko alueen.
- voitoki
Nollan kertoma on määritelty.
- Jo.vain.ja.toki
Ei muuten ole !
Se on tulos em. kaavasta , eikä mikään määritelty.
- Ohman
Tulisi turhan pitkä juttu selostaa asiaa. Katso englanninkielisestä Wikipediasta "Factorial" ja "Gamma function". Sieltä löytyy selitystä " noin aluksi".
- NoinOn
Muna-kanajuttu. Jos määritellään positiivisille kokonaisluvuille kertoma, pitää erikseen määritellä nollan kertoma, jotta esim. kombinatoriikasta saadaan oikeita tuloksia. Mutta jos määritellään gammafunktio ja sen kautta positiivisten kokonaislukujen kertoma, saadaan siitä myös nollan kertoma.
- EiSeNiinOle
Kertoma positiivisille kokonaisluvuille on vain rajattu osa funktiota, eikä se kaipaa mitään määritelmiä erikseen.
Alkeisopetuksessa on helpompi vain sanoa "että "on sovittu" tai "oletetaan" 0! = 1, koska asian todistamiseen ei taidot vielä riitä sillä tasolla jossa kokonaislukukertomia jo tarvitaan. - Ohman
Menee nyt höpöstelyn puolelle.
Kyllä kertoma alun perin määritellään ei-negatiivisille kokonaisluvuille näin:
0! = 1
(n 1)! = (n 1) * n!
Se, että gammafunktion avulla voidaan määritellä yleisemmin kertomafunktio jolle ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee tuo yllä sanottu, tarkoittaa oikeastaan seuraavaa:
Voidaan määritellä funktio F jonka arvoille ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee yo. rekursio. Tätä voidaan kutsua nimellä (yleistetty) kertoma.
Tätä määrittelyä ja millä alueella se on voimassa voivat halukkaat tutkia vaikkapa jo aiemmin mainitsemistani lähteistä. Tai muista kompleksianalyysiä käsittelevistä lähteistä sieltä gammafunktion paikkeilta.En rupea sitä tässä selostamaan koska lähteitä kyllä helposti löytyy.
Kyllä se yleinen kertomafunktiokin siis määritellään eikä se "todista" tuota alkuperäistä määritelmää. Sen avulla voidaan laskea noita "yksinkertaisen" kertoman arvojakin ja saadaan ne tutut.
Jos esim. katsotaan funktiota y = x^2 niin sen avulla voidaan laskea, että 2^2 = 4. 3^2 = 9 jne mutta ei tämä ole noitten seikkojen "todistus" vaan kyseisen funktion arvojen laskentaa. - Totta-tosiaan
Ohman kirjoitti:
Menee nyt höpöstelyn puolelle.
Kyllä kertoma alun perin määritellään ei-negatiivisille kokonaisluvuille näin:
0! = 1
(n 1)! = (n 1) * n!
Se, että gammafunktion avulla voidaan määritellä yleisemmin kertomafunktio jolle ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee tuo yllä sanottu, tarkoittaa oikeastaan seuraavaa:
Voidaan määritellä funktio F jonka arvoille ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla pätee yo. rekursio. Tätä voidaan kutsua nimellä (yleistetty) kertoma.
Tätä määrittelyä ja millä alueella se on voimassa voivat halukkaat tutkia vaikkapa jo aiemmin mainitsemistani lähteistä. Tai muista kompleksianalyysiä käsittelevistä lähteistä sieltä gammafunktion paikkeilta.En rupea sitä tässä selostamaan koska lähteitä kyllä helposti löytyy.
Kyllä se yleinen kertomafunktiokin siis määritellään eikä se "todista" tuota alkuperäistä määritelmää. Sen avulla voidaan laskea noita "yksinkertaisen" kertoman arvojakin ja saadaan ne tutut.
Jos esim. katsotaan funktiota y = x^2 niin sen avulla voidaan laskea, että 2^2 = 4. 3^2 = 9 jne mutta ei tämä ole noitten seikkojen "todistus" vaan kyseisen funktion arvojen laskentaa.Menee nyt tosiaan höpöstelyn puolelle.
Kerrot itse että funktion arvo saadaan laskutoimituksella, eikä se siten ole mikään sopimus tai määrittely tai todistus.
Aivan samalla tavalla 0! on ko. funktion arvo kun n=0, se ei kaipaa mitään lisäselittelyjä tai määriteltyjä käyttörajoja, vain laskutoimitus vaatii hieman perehtyneisyyttä, jonka vuoksi se yleensä ohitetaan.
Mikä tämän ymmärtämisen tekee näin vaikeaksi ? - Ohman
Lukiessani kommenttiasi ääliötutkani ölähti pahasti. Koska en kirjoittanut omaa juttuani ääliöille en vastaa kommenttiisi tämän enempää.
- arvelenpa.vain
Varmaan parasta olisi kun lukisit ja kirjoittelisit jossain muualla kuin tällä palstalla.
- Ohman
arvelenpa.vain kirjoitti:
Varmaan parasta olisi kun lukisit ja kirjoittelisit jossain muualla kuin tällä palstalla.
Tarkoitatko, että täällä on niin paljon ääliöitä? No, tuskin sentään. Eiköhän suuri osa ole ihan järkeviä joille kannattaa siis kirjoitella.
Siitä, mihin joukkoon sinä kuulut, en kommenttisi perusteella ole ihan varma. - Rauhoitu-nyt
Ohman kirjoitti:
Tarkoitatko, että täällä on niin paljon ääliöitä? No, tuskin sentään. Eiköhän suuri osa ole ihan järkeviä joille kannattaa siis kirjoitella.
Siitä, mihin joukkoon sinä kuulut, en kommenttisi perusteella ole ihan varma.Mene vaikka vähän kävelylle ja mietiskele asennettasi.
Miltä itsestäsi tuntuisi jos muut keskustelijat käyttäytyisivät niin että hyväksyisivät vain omia mielipiteitä myötäilevät ja arvostavat vastineet ja jos joku, perustellusti tai muuten on vähääkään eri mieltä, niin se olisi riittävä syy loukkautua ja julistaa eri mieltä olevat idiooteiksi.
Vaikka nyt ollaan "tällaisella palstalla", niin aika kohtuullista olisi aikuiselta ihmiseltä odottaa kypsempää asennetta ja käyttäytymistä.
- mathFM
Kertoma ei ole laskutoimitus. Jos J on joukko, niin laskutoimitus on funktio JxJ->J. On vaikea todistaa, että 0!=1. Kertoma on funktio eikä funktioiden lähtöjoukkoa todisteta vaan ne annetaan valmiiksi.
Todistus vaatisi kertoman määrittelyn siten, että määritelmä ei kata tapausta 0!=1 vaan se pitäisi johtaa määritelmästä ihan kuten kaikki muutkin tulokset.- No-eipä
Kertoma on funktio y =int 0..äärettömään x^n*e^-x dx, ja positiiviset kokonaisluvut ovat vain rajattu osa funktiota.
Tämä oli jo alussa kai sanottu ja 'Ohman' linkitti sivuston, josta asiaan voi tutustua tarkemmin.
Todistuksesta se, että kun sijoitat em kaavaan n=0, niin lähes päässälaskun avulla voit todeta tuloksen olevan 1, mitään määrittelyjä tai todisteluja se ei kaipaa, vertaa esim a^x = 1 kun x=0, on samanlainen funktion yksi ratkaisu, ei mikään määritelmä tai sopimus.
- Noinkohan
Positiivisten kokonaislukujen kertoma n! on myös niiden järjestysten määrä, joihin n alkiota voidaan asettaa. Voidaan kysyä, kuinka moneen järjestykseen voidaan tyhjän joukon alkiot asettaa.
- Ohman
n:n alkion joukolla on 2^n osajoukkoa. Tämä luku syntyy siitä, että kun muodostetaan tiettyä osajoukkoa päätetään kunkin alkion kohdalla pannaanko se tuohon osajoukkoon vai ei. Ja näitä valintoja on 2^n mahdollista.
Nyt 2^n = (1 1)^n = Summa (0 <= i <= n) C(n,i) missä binomikerroin C(n,i) = n!(i! (n-i)!).Tuolla n:n alkion joukolla on C(n,i) osajoukkoa joissa on i alkiota.i alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,i) tavalla.
Nähdään, että osajoukkoja,joissa on i alkiota on yhtä monta kuin niitä joissa on n - i alkiota, sillä
C(n,i) = C(n, n - i).
Nyt tuo, että k alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,k) eri tavalla voidaan laskea siten, että kaikkiaan n:n alkion joukolla on n! eri järjestystä. Niistä poimitut k alkiota voidaan panna k! eri järjestykseen ja ja jäljelle jäävät n - k voidaan panna (n-k)! eri järjestykseen. Siis joukkoja, joissa on k eri alkiota, niiden järjestyksestä välittämättä, on n!(k!(n-k)!) = C(n,k) kappaletta.
Kun n=0, tyhjällä joukolla on 2^0 = 1 osajoukkoa nimittäin se itse.
0!/(0! (0-0)!) =1.
Mutta en nyt sanoisi, että tyhjän joukon alkiot on asetettu yhteen järjestykseen. Nämä tyhjä-joukko-jutut ovat vähän vähän turhanpäiväisiä tai miten tuon nyt sanoisi.
Esim. se, että tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko syntyy osajoukon määritelmästä.
A on B:n osajoukko jos
(x) (x kuuluu A:han -> x kuuluu B:hen)
. Nyt implikaatio X -> Y < - > ~X V Y ja nähdään, että implikaatio on valetta vain silloin kun X on tosi ja Y on valetta.Näin ollen kun A on tyhjä joukko on ( x kuuluu A:han ) valetta jokaiselle alkiolle x joten implikaatio (x kuuluu A:han) -> (x kuuluu B:hen) on tosi kaikille alkioille x. - Huoh-h
Ohman kirjoitti:
n:n alkion joukolla on 2^n osajoukkoa. Tämä luku syntyy siitä, että kun muodostetaan tiettyä osajoukkoa päätetään kunkin alkion kohdalla pannaanko se tuohon osajoukkoon vai ei. Ja näitä valintoja on 2^n mahdollista.
Nyt 2^n = (1 1)^n = Summa (0 <= i <= n) C(n,i) missä binomikerroin C(n,i) = n!(i! (n-i)!).Tuolla n:n alkion joukolla on C(n,i) osajoukkoa joissa on i alkiota.i alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,i) tavalla.
Nähdään, että osajoukkoja,joissa on i alkiota on yhtä monta kuin niitä joissa on n - i alkiota, sillä
C(n,i) = C(n, n - i).
Nyt tuo, että k alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,k) eri tavalla voidaan laskea siten, että kaikkiaan n:n alkion joukolla on n! eri järjestystä. Niistä poimitut k alkiota voidaan panna k! eri järjestykseen ja ja jäljelle jäävät n - k voidaan panna (n-k)! eri järjestykseen. Siis joukkoja, joissa on k eri alkiota, niiden järjestyksestä välittämättä, on n!(k!(n-k)!) = C(n,k) kappaletta.
Kun n=0, tyhjällä joukolla on 2^0 = 1 osajoukkoa nimittäin se itse.
0!/(0! (0-0)!) =1.
Mutta en nyt sanoisi, että tyhjän joukon alkiot on asetettu yhteen järjestykseen. Nämä tyhjä-joukko-jutut ovat vähän vähän turhanpäiväisiä tai miten tuon nyt sanoisi.
Esim. se, että tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko syntyy osajoukon määritelmästä.
A on B:n osajoukko jos
(x) (x kuuluu A:han -> x kuuluu B:hen)
. Nyt implikaatio X -> Y < - > ~X V Y ja nähdään, että implikaatio on valetta vain silloin kun X on tosi ja Y on valetta.Näin ollen kun A on tyhjä joukko on ( x kuuluu A:han ) valetta jokaiselle alkiolle x joten implikaatio (x kuuluu A:han) -> (x kuuluu B:hen) on tosi kaikille alkioille x.Huoh !
- Ohman
Ohman kirjoitti:
n:n alkion joukolla on 2^n osajoukkoa. Tämä luku syntyy siitä, että kun muodostetaan tiettyä osajoukkoa päätetään kunkin alkion kohdalla pannaanko se tuohon osajoukkoon vai ei. Ja näitä valintoja on 2^n mahdollista.
Nyt 2^n = (1 1)^n = Summa (0 <= i <= n) C(n,i) missä binomikerroin C(n,i) = n!(i! (n-i)!).Tuolla n:n alkion joukolla on C(n,i) osajoukkoa joissa on i alkiota.i alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,i) tavalla.
Nähdään, että osajoukkoja,joissa on i alkiota on yhtä monta kuin niitä joissa on n - i alkiota, sillä
C(n,i) = C(n, n - i).
Nyt tuo, että k alkiota voidaan ottaa n:stä C(n,k) eri tavalla voidaan laskea siten, että kaikkiaan n:n alkion joukolla on n! eri järjestystä. Niistä poimitut k alkiota voidaan panna k! eri järjestykseen ja ja jäljelle jäävät n - k voidaan panna (n-k)! eri järjestykseen. Siis joukkoja, joissa on k eri alkiota, niiden järjestyksestä välittämättä, on n!(k!(n-k)!) = C(n,k) kappaletta.
Kun n=0, tyhjällä joukolla on 2^0 = 1 osajoukkoa nimittäin se itse.
0!/(0! (0-0)!) =1.
Mutta en nyt sanoisi, että tyhjän joukon alkiot on asetettu yhteen järjestykseen. Nämä tyhjä-joukko-jutut ovat vähän vähän turhanpäiväisiä tai miten tuon nyt sanoisi.
Esim. se, että tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko syntyy osajoukon määritelmästä.
A on B:n osajoukko jos
(x) (x kuuluu A:han -> x kuuluu B:hen)
. Nyt implikaatio X -> Y < - > ~X V Y ja nähdään, että implikaatio on valetta vain silloin kun X on tosi ja Y on valetta.Näin ollen kun A on tyhjä joukko on ( x kuuluu A:han ) valetta jokaiselle alkiolle x joten implikaatio (x kuuluu A:han) -> (x kuuluu B:hen) on tosi kaikille alkioille x.Tuli näköjään tuohon kirjoitusvirhe. Tietysti on C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Oli jäänyt tuo jakomerkki pois.
- Ohman
Ohman kirjoitti:
Tuli näköjään tuohon kirjoitusvirhe. Tietysti on C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Oli jäänyt tuo jakomerkki pois.
Sama virhe vielä tuossa aiemminkin: C(n,i) = n! / (i! (n-i)!).
Kyllä voi. Tämän oivalsi jo Euler aikoinaan ja hänen Gamma-funktionsa antaa kertoman arvon jopa kompleksi-luvuille. Pitäisi olla selvää kauraa tämän palstan piipertäjille mutta jostakin syystä ei ollut
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ja taas ammuttu kokkolassa
Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.303521Kukka ampu taas Kokkolassa?
T. olisi hetkeä aiemmin lähtenyt johonkin. Naapuri kai tekijä J.K., ei paljasjalkainen Kokkolalainen, vaan n. 100km pääs91588Kuinka kauan
Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?1131483Milli-helenalla ongelmia
Suomen virkavallan kanssa. Eipä ole ihme kun on etsintäkuullutettu jenkkilässäkin. Vähiin käy oleskelupaikat virottarell2241275Kun näen sinut
tulen iloiseksi. Tuskin uskallan katsoa sinua, herätät minussa niin paljon tunteita. En tunne sinua hyvin, mutta jotain34903Purra saksii taas. Hän on mielipuuhassaan.
Nyt hän leikkaa hyvinvointialueiltamme kymmeniä miljoonia. Sotea romutetaan tylysti. Terveydenhoitoamme kurjistetaan. ht242893Helena Koivu on äiti
Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.132892- 60879
Ja taas kerran hallinto-oikeus että pieleen meni
Hallinto-oikeus kumosi kunnanhallituksen päätöksen vuokratalojen pääomituksesta. https://sysmad10.oncloudos.com/cgi/DREQ66854Löydänköhän koskaan
Sunlaista herkkää tunteellista joka jumaloi mua. Tuskin. Siksi harmittaa että asiat meni näin 🥲98829