On 3.6m pitkä, päistään kiinnitetty, vaakasuora teräsputki. Putkea lämmitetään niin, että se laajenee pituus suuntaan 2mm. Kuinka korkealle sen puolivälin kohta nousee tasosta?
Osaako kukaan antaa kaavaa kyseiselle laskutoimitukselle?
Osaako kukaan antaa kaavaa kyseiselle laskutoimitukselle?
Vastaukset 33
Vanhimmat
Saisko sagitan kaavoilla ratkottua? https://en.wikipedia.org/wiki/Sagitta_(geometry)
Ei aukea, ainakaan minulle.
Tuo S pitäisi selvittää, kun tiedetään ainoastaan jänteen ja sen kaaren mitta.
Jos putki on päistään kiinnitetty, niin ei se veny yhtään!
Jos taas tarkoitat, että ilman päiden kiinnitystä venymä olisi 2 mm, niin silloin kiinnitetyssä putkessa vaikuttava puristusjännitys olisi 210000*2/3600=117 MPa. Tuntematta tarkemmin putken mittoja, en voi sanoa nurjahtaako putki vaiko ei. Jos nurjahtaa, niin puolivälin kohta voi nousta hyvinkin ylös. Jos ei nurjahda, niin puolivälin kohta ei välttämättä nouse juuri lainkaan (mitä ny vähän halkaisija kasvaa).
martta00
Juuri näin fysiikassa, mutta tämä on matematiikan palsta, jolla niin kysymykset kuin etenkin vastaukset ovat huomattavasti hypoteettisempia. ; )
"Oletetaan pyöreä lehmä" l. oletetaan teräsputken nurjahtavan siten, että putken kaari on sen jännettä kaksi millimetriä pitempi. Näin oletan kysymyksen asettelijan tarkoittaneen.
Mutta kun se nurjahdusmuoto on sinifunktio, jos Euleria on uskominen.
Voidaan tietysti ratkaista geometrinen tehtävä. Meillä on r-säteinen nympyrä jossa on 3,6 m pitkä jänne.Tätä vastaavan nympyränkaaren pituus on 3.602 Kuinka korkealla jännettä vastaava ympyrän kaari on jänteestä jänteen keskikohdalla?
Olkoon jännettä vastaava keskuskulma 2a.
sin(a)= 1,8 / r
a r = 1,801
a = 1,801/r = 1,801/1,8 * sin(a). wa antaa ratkaisuksi a = 0,0577238.
Siis r = 1,801/0,0577238 = 31,2003
Kysytty korkeus on r(1- cos(a)) = 0,0519658 eli 5,2 cm.
Tark. sqrt( (31,2003-0,0519658)^2 1,8^2) = 31,2003 kuten pitääkin.
31.2003* 0.0577238 = 1.801 kuten pitääkin.
Mistä päättelet taipuman olevan ehdottomasti ympyränkaaren muotoinen, johan putken päiden kiinnitys vaikuttaa asiaan huomattavan paljon. Toisaalta jos taipuma olisi ympyränkaaren muotoinen, kai sen laskisi jokainen vähänkään matematiikkaa osaava, siis laskelmasi ei hyvin todennäköisesti päde eikä toteudu tässä tapauksessa.
Onpa kaunista.
Juuri tuollaista vastausta toivoinkin.
Kiitos.
Tehtävä pitäisi muotoilla paremmin. Sen vaakasuora piteneminen on estetty, jolloin putken oletetaan pitenevän taipumalla ympyrän kaarelle (tällöin päissä ei voi olla jäykkää kiinnitystä).
Taipuuko nimenomaan ympyrän kaarelle olisi eri analyysin paikka.
Ilman hyvin erikoisia päiden reunaehtoja ei varmasti taivu ympyränkaarelle. Todennäköisempi on jokin polynomifuktio.
Alkuehto "päistään kiinnitetty" tekee kysymyksestä vaikean. Tällöin ei voida olettaa putken asettuvan ympyrän kaaren muotoon, koska päät ovat edelleen vaakasuorasssa. Päistään nivelletyn putken taipuman voi laskea segmentin kaavoilla.
Putki painuu lyttyyn haitariksi eikä sen keskikohta nouse yhtään minnekään.
Luulen että parabeli on oikea muoto; voitaisiin ajatella seuraavasti. Meillä on vaakasuora taipuisa tanko, joka kiinnitetään keskikohdastaan. Aletaan vetää päitä alaspäin ja kohti toisiaan. Silloin tankon molemmat puoliskot taipuvat parabelin muotoon (derivaatta verrannollinen momenttiin, integroitaessa saadaan parabeli). Kun päitä on taivutettu tietty matka alas, kiinnitetään päät toisiinsa langalla. Nyt voidaan keskikohdan kiinnitys irrottaa ja tanko säilyttää muotonsa.
Muoto ei voi olla ympyrä. Jos taivutetaan tankoa niin paljon, että päiden etäisyys on vähemmän kuin tangon pituus per pii/2, ei ympyrämuoto ole mahdollinen.
Mutta miksi oletetaan putken nimenomaan nousevan, siis jos se kerran on vapaasti ilmassa oleva ja vain päistään kiinnitetty?
Jos oletetaan kiinnityskohdat ehdottoman peräänantamattomiksi ja samalla tiedetään lämmityksen lisäävän putken pituutta 2 mm, se lisäpituus ei mahdu mihinkään ellei taipumista tapahdu. Edellä joku esitti putken vain menevän "ruttuun", mutta silloinhan pituus ei kasvaisi ja aloittajahan jo nimenomaan kertoo putken pituuden kasvavan 2 mm. Tätä puolta asiasta ei siis tarvitse edes pähkäillä.
Putki siis väkisinkin taipuu, mutta tuskin kauniiseen ympyränkaareen muotoon, mikä toisaalta ei olisi täysi mahdottomuus sekään, riippuen esim. lämmön jakautumisesta. Eli paljon merkitsee sekin, miten tasaisesti putkea kyetään lämmittämään. Jos lämpö kohdistetaan pääosin keskelle, on kai aika selvää että putki taipuu keskeltä voimakkaammin, jopa varsinaista nurjahdusta enteillen.
Näin on todettava, että kyse on pelkästään huonosti laaditusta tehtävästä, jossa reaalimaailman ilmiöistä vähät välitetään.
Sinun tapauksessasi on kyse pakkomielteisestä hölmöilystä. Koeta ajatella jotain muuta.
Sinä vuorostasi voisit laatia yksikäsitteisen vastauksen siihen, paljonko on paljon.
Ei teoriassa eikä varsinkaan matemaattisissa teoriatehtävissä useinkaan välitetä niiden käytännön toteutumisista.
Miksi muuten teoria on teoriaa ja käytäntö käytäntöä?
Jos oppilaskin huomaa, että "käytännön" laskutehtävällä ja todellisuudella ei juuri ole yhtymäkohtia, niin luuletko, että se lisää intoa aineen opiskeluun? Todennäköisesti käytäntöön orientoituneilta saadaan se vähäkin into hävitetyksi.
Tietysti ymmärrän, että tehtävien laatijat ovat matemaatikkoja, joista osa jopa kauhistuu sitä, että matematiikkaa voidaan soveltaa käytäntöön. Fyysikoilta ja insinööreiltä taas saataisiin paljon parempia esimerkkejä käytännön sovellutuksista.
Lisätään yksi lusikka soppaan. Oletetaan, että putkea lämmitetään vain keskeltä, jolloin se taipuu linkkuun(?) ja putken puolikkaat pitenevät 1mm:n. Silloin se kohoaa keskeltä 60mm. Laskin seuraavasti: 1800 jaettuna 1801:llä=0,9994, josta otetaan arg.cos, joka on 1,9094 ast. Sitten otin
tan 1,9094ast, joka on 0,0333 ja kerroin tuo 1800mm:llä, sain 60,01mm. Itsekin epäilen, mahtaisko homma onnistua pelkästään keskeltä lämmittämällä. Rautakourathan kyllä vääntelevät ja oikovat putkija ja tankoja mieleisekseen kaasupilleillä.
Huomasin jälkikäteen, että olisin saanut tuloksen (60,01mm) suoraan Pythagoraan lausekkeella.
Hm. vanhat aivot.
Tehtävä on huonosti esitetty, se on selvä, ja esitystapaa voisi parantaa niin, että tehtävä on yksiselitteinen. Puolustaisin tehtävää siksi, että se tuo ilmi yhden ilmiön, jota ei tule välttämättä ajatelleksi. Nimittäin että hyvin pieni putken pitenemä saa aikaan suhteellisen suuren muutoksen pitenemää vastaan kohtisuorassa suunnassa.
Tuon ilmiön kanssa jouduttiin aiemmin tekemisiin rautateiden suunnittelussa. Jos välys kiskoissa oli liian pieni, pyrkivät ne ilmojen lämmetessä liikkumaan sivusuunnassa. Nykyään kiskot hitsataan ja kiinnitetään niin tiukasti ratapölkkyihin, että niihin syntyy veto- tai puristusjännitystä lämpötilan vaihdellessa.
Hehheh. Ei kaikkea kannata uskoa mitä jossain peruskoulun fysiikantunnilla tai Tekniikan Maailmassa kerrotaan. Ei niissä kiskoissa ole alunperinkään ollut niin paljon päittäisvälystä että ne voisivat vapaasti laajeta tai supistua lämpötilan vaikutuksesta.
Vähän enemmän elämänkomemusta omaavat tietävät, että aiemmin junan kulussa oli säännöllinen "kolkkaus" pyörien osuessa noihin ratavälyksiin. Ja että helteellä ratakiskot saattoivat käyristyä.
Vähän enemmän elämänkokemusta ja teknillistä tietämystä omaavat ynnärtävät että ratakisko pitenee ja lyhenee vapaassa tilassa paljon enemmän kuin joku sallittu viiden millin rako.
Jos ratakiskot menee mutkalle niin se ei ole ratakiskon vaan radan rakentajan vika.
Vielä -60luvulla rautateillä puhuttiin/kärsittiinkin "lämpökäyristä". Silloin kiskoja ei oltu hitsattu yhteen ja ratapenkan ylin kerros oli hiekkaa, joka ei pystynyt vastustamaan lämpölaajenemista; taisipa juniakin suistua kiskoilta.
Joskus aikoinaan kun ratakiskot liitettiin sideraudoilla ja pulteilla yhteen, niin reiässä oli väljää 2 mm. Tuosta tulee 4 mm liikuntavaraa. Joku 18 m pitkä kisko pitenee ja lyhenee Suomessa lämpötilan vaikutuksesta 15 mm, joka taatusti on enemmän kuin se, mitä kiskojen jatkoksissa on varaa liikkua.
Eikä ne radat ennenkään sivu- eikä pystysuunnassa mutkalle menneet ellei ollut huono ratapenkka.
Lämpökäyriä löytyy youtubesta pilvin pimein ja siistinnäköisiä mutkia onkin. Hakusanaksi "Railway buckling".
Eikä kiskojen hitsaaminen vaikuta asiaan millään lailla. Ainoastaan kunnollinen päällysrakenne auttaa ja estää raiteen sivusuuntaisen liikkeen.
Ja aikoinaan jossain päin maailmaa keksivät leikata ratakiskojen päät 45asteen kulmaan ja niin pääsivät eroon kiskokolkkeesta ja lämpölaajenemisongelmakin tuli vältettyä! stalingrad hans...
Siis kiskojen pidetessä toinen kisko työntyy toista ylemmäs. Ei ne junanpyörät siitäkään tykkää.
Ennen rautatiekiskon tyypillinen pituus oli 12 m. Parinkymmenen asteen lämpötilanmuutos aiheuttaa parin millin pitenemän tai lyhenemän.
Vanha nyrkkisääntö sanoo, että "sata astetta on teräkselle milli metrille". Oikeastaan se on 1,2 millimetriä metrille.