löytyy videolta, kohdasta 16:10 eteenpäin mietityttää:
https://www.youtube.com/watch?v=FhFWfVUBXC4
Tulee siis keissi f(x)/g(x), jossa sekä f että g lähestyvät ääretöntä, kun x lähestyy luku a.
Osamäärä voidaan kirjoittaa (1/g(x))/(1/f(x)), jolloin osoittajan lauseke 1/g(x) lähestyy nollaa ja nimittäjän 1/f(x) lähestyy nollaa, kun x lähestyy lukua a. Seuraavaksi hyödynnettäisiin videolla tehtyä aiempaa todistusta, jonka mukaan osoittaja ja nimittäjä voidaan derivoida, koska molempien lausekkeiden arvo lähestyy nollaa.
Tällöin kuitenkin päädytään ihan muuhun tulokseen kuin mitä piti; saadaan siis
lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a D(1/g(x))/D(1/f(x)) = lim x->a g'(x)*f(x)^2/(f'(x)*g(x)^2) eikä lim x-> a f'(x)/g'(x).
Missä vika?
https://www.youtube.com/watch?v=FhFWfVUBXC4
Tulee siis keissi f(x)/g(x), jossa sekä f että g lähestyvät ääretöntä, kun x lähestyy luku a.
Osamäärä voidaan kirjoittaa (1/g(x))/(1/f(x)), jolloin osoittajan lauseke 1/g(x) lähestyy nollaa ja nimittäjän 1/f(x) lähestyy nollaa, kun x lähestyy lukua a. Seuraavaksi hyödynnettäisiin videolla tehtyä aiempaa todistusta, jonka mukaan osoittaja ja nimittäjä voidaan derivoida, koska molempien lausekkeiden arvo lähestyy nollaa.
Tällöin kuitenkin päädytään ihan muuhun tulokseen kuin mitä piti; saadaan siis
lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a D(1/g(x))/D(1/f(x)) = lim x->a g'(x)*f(x)^2/(f'(x)*g(x)^2) eikä lim x-> a f'(x)/g'(x).
Missä vika?
Vastaukset 26
Vanhimmat
Hiukan hataraa selittelyä tuo video.
Tuossa merkittiin x = 1/t ja lopuksi vaihdettiin t:n paikalle x varmaan siksi että näyttäisi paremmalta.
d/dx (f/g) =( f' g - g' f) / g^2
Sama siitä tulee vaikka kirjoittaisit f/g =( 1/g) / (1/f)
Tarkoititkin lauseketta (1/g)' / (1/f)' . Sorry.
Mutta L'Hôspoitalin säännössä ei derivoida osamäärää vaan osoittaja ja nimittäjä erikseen. Tällöin tulee Df(x)/Dg(x)=f'(x)/g'(x).
Jos kirjoittaa f/g=(1/g)/(1/f), tulee osoittajan ja nimittäjän derivaattojen osamääräksi g'(x)*f(x)^2/(f'(x)*g(x)^2), joka ei ole sama, mitä haluttiin.
Jaa f/g vasemmalta toiselle puolelle, niin se kumoaa toiseenit ja jaa g' / f' toiselle puolelle niin siitä tulee f' / g' eli saadaan se yhtälö mitä haluttiin. Niissähän on koko ajan liimekset päällä mutta se ei haittaa, sillä oletuksen mukaan halutut raja-arvot on olemassa, joten tuo purjaus voidaan tehdä.
No niinpä onkin. Kiitos paljon!!
Mutta entä jos lim f/g on nolla? Silloinhan jakoa ei saa tehdä?
Harvinaisen yksinkertaista. Silloin ei sairaalasääntöä tarvita.
Voihan lim f / lim g = ∞/∞, vaikka lim f/g = 0. Tämän raja-arvon laskeminen on helpointa l'hôspitalin säännöllä, mutta tuon todistuksen mukaan sitä ei saisi käyttää, koska tulee jako nollalla.
Ei tajuu. Jos kerran tiedetään että lim f/g = 0, niin eihän tuossa tarvitse mitään laskea tai jakaa nollalla.
Haluan todistaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee myös, kun osoittajan ja nimittäjän lausekkeet lähestyvät ääretöntä. Aiempi todistus osoittaa, että sääntö pätee 0/0 tilanteessa, ja tuo pyörittely (jakaminen ym. joka esiteltiin ainakin viestissä 12:07) osoittaa, että sääntö pätee ∞/∞ tilanteessa, mutta ainoastaan, kun raja-arvon tulos ei ole nolla.
Siis jos haluan laskea jonkin raja-arvon f(x)/g(x) tuloksen, enhän mä lähtökohtasesti tiedä mikä se on. Siks mun täytyy voida osoittaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee riippumatta siitä, mikä raja-arvon tulos on eli myös silloin, kun raja-arvo on nolla.
Tämäkin asia on selitetty kunnollisissa oppikirjoissa. Katsoisit sellaista etkä netin luentoja.
En rupea yleisesti kirjallisuudesta löytyvää asiaa selittelemääm.
Joo, tuo tuo omat komplikaationsa ja lisäksi se, että eihän me aluksi tiedetä että raja-arvo lim_{x->a} f(x)/g(x) on olemassa. Ehkä se todistus kannattaneekin tehdä samoja keinoja käyttäen kuin 0/0-tapauksessa erikseen myös ∞/∞ -tapaukselle. Wikipediasta löytyy (case 2): https://en.wikipedia.org/wiki/L'Hôpital's_rule#General_proof
Entä onnistuisiko todistaa tällainen tulos, että
jos f(x)/g(x) -> 0, niin f'(x)/g'(x) -> 0,
kun f ja g lähestyvät molemmat ääretöntä?
Tällä sen saisi ainakin fiksattua, tosin en ite osaa tuollaista todistaa :(.
Tuota ei voi todistaa, koska se ei pidä yleisesti paikkaansa. Esim: f(x) = x*sin(x^2) ja g(x) = x^2 kun x -> ∞.
entä jos lisään ehdon, että f(x) -> ∞ ja g(x) -> ∞?
Näin käy jo yo. esimerkissä.
x*sin(x^2) ei lähesty mitään, kun x -> ∞.
Aaa joo sori. Ota jotain sellaista kuin f(x) = x*(sin(x^2) 2)
Siis onks tää joku poikkeus, kun eikö L’Hopitalin säännön mukaan tuo juuri pidä paikkaansa, että
lim f/g=lim f’/g’ ? Kun f ja g lähestyvät ääretöntä?
L'Hopital sanoo, että kun lim f'/g' on olemassa ( ne muut ehdot), niin silloin lim f/g on olemassa ja yhtäsuuri kuin lim f'/g'.
L'hopital ei siis "käänny" eli lim f/g:n olemassaolosta ei voi päätellä että lim f’/g’ olisi olemassa.
Miten se näkyy todistuksessa?
lim f/g = välivaiheita = lim f’/g’
Eikö yhtä lailla voi edetä lopputuloksesta alkuun?
Ei. Käytän tässä nyt Calculus Fennicuksen sivun 359 kohdan 1 merkintöjä. Kun todistuksessa otetaan väliarvolauseen avulla ξ väliltä (a, x) siten, että
f(x)/g(x) = (f(x) - f(a)) / (g(x) - g(a)) = f'(ξ) / g'(ξ)
niin tämä ei takaa f'/g':n raja-arvon olemassa oloa (vaikka lim f/g olisikin olemassa), koska emme voineet vapaasti valita ξ:tä vaan se saatiin väliarvolauseesta.
Ota esimerkiksi a = 0 ja
f(x) = x^2 * sin(1/x^3) ja g(x) = x.
Nyt
f(x) / g(x) = x * sin(1/x^3) → 0, kun x → 0,
mutta
f'(x) / g'(x) = 2x*sin(1/x^3) - 3cos(1/x^3)/x^2
ei mene nollaan, sillä 2x*sin(1/x^3) → 0, mutta 3cos(1/x^3)/x^2 ei mene vaan heilahtelee origon läheisyydessä aina vaan tiheämmin ja suuremmin (itse asiassa sisäfunktioon olisi riittänyt x^2, se että heilahtelu kasvaa ei ole oleellista; mutta x^3 oli varman päälle :D). Tästä heilahtelusta johtuen väliarvolauseen ξ aina löytyy eli f'/g' käy pienenä äärettömän monta kertaa origon läheisyydessä, mutta raja-arvoa ei ole.
Hyvä kysymys muuten tuo että mikä menee toisessa suunnassa vikaan! Siitä nähdään, että jotenkin "hyvin villisti" f'/g': n on käyttäydyttävä, jotta raja-arvoa ei ole. Tai no, ainahan funktion on jotain "villiä" tehtävä ettei raja-arvoa ole :D
Kts. esim. Calculus Fennicus sivu 359.
eihän tuossa sanota muuta kuin että todistus sivuutetaan...
Etpä nyt lukenut. Eräs todistus (itseisarvot) sivuutettiin mutta muu asia kyllä tulee esille. Malttaisit nyt edes lukea!