L'Hospitalin säännön todistus

Tarkoititkin lauseketta (1/g)' / (1/f)' . Sorry.

Mutta L'Hôspoitalin säännössä ei derivoida osamäärää vaan osoittaja ja nimittäjä erikseen. Tällöin tulee Df(x)/Dg(x)=f'(x)/g'(x).

Jos kirjoittaa f/g=(1/g)/(1/f), tulee osoittajan ja nimittäjän derivaattojen osamääräksi g'(x)*f(x)^2/(f'(x)*g(x)^2), joka ei ole sama, mitä haluttiin.

No niinpä onkin. Kiitos paljon!!

Mutta entä jos lim f/g on nolla? Silloinhan jakoa ei saa tehdä?

Anonyymi kirjoitti:

Mutta entä jos lim f/g on nolla? Silloinhan jakoa ei saa tehdä?

Harvinaisen yksinkertaista. Silloin ei sairaalasääntöä tarvita.

Anonyymi kirjoitti:

Harvinaisen yksinkertaista. Silloin ei sairaalasääntöä tarvita.

Voihan lim f / lim g = ∞/∞, vaikka lim f/g = 0. Tämän raja-arvon laskeminen on helpointa l'hôspitalin säännöllä, mutta tuon todistuksen mukaan sitä ei saisi käyttää, koska tulee jako nollalla.

Anonyymi kirjoitti:

Voihan lim f / lim g = ∞/∞, vaikka lim f/g = 0. Tämän raja-arvon laskeminen on helpointa l'hôspitalin säännöllä, mutta tuon todistuksen mukaan sitä ei saisi käyttää, koska tulee jako nollalla.

Lue lisää

Ei tajuu. Jos kerran tiedetään että lim f/g = 0, niin eihän tuossa tarvitse mitään laskea tai jakaa nollalla.

Anonyymi kirjoitti:

Ei tajuu. Jos kerran tiedetään että lim f/g = 0, niin eihän tuossa tarvitse mitään laskea tai jakaa nollalla.

Haluan todistaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee myös, kun osoittajan ja nimittäjän lausekkeet lähestyvät ääretöntä. Aiempi todistus osoittaa, että sääntö pätee 0/0 tilanteessa, ja tuo pyörittely (jakaminen ym. joka esiteltiin ainakin viestissä 12:07) osoittaa, että sääntö pätee ∞/∞ tilanteessa, mutta ainoastaan, kun raja-arvon tulos ei ole nolla.

Siis jos haluan laskea jonkin raja-arvon f(x)/g(x) tuloksen, enhän mä lähtökohtasesti tiedä mikä se on. Siks mun täytyy voida osoittaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee riippumatta siitä, mikä raja-arvon tulos on eli myös silloin, kun raja-arvo on nolla.

Anonyymi kirjoitti:

Haluan todistaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee myös, kun osoittajan ja nimittäjän lausekkeet lähestyvät ääretöntä. Aiempi todistus osoittaa, että sääntö pätee 0/0 tilanteessa, ja tuo pyörittely (jakaminen ym. joka esiteltiin ainakin viestissä 12:07) osoittaa, että sääntö pätee ∞/∞ tilanteessa, mutta ainoastaan, kun raja-arvon tulos ei ole nolla.

Siis jos haluan laskea jonkin raja-arvon f(x)/g(x) tuloksen, enhän mä lähtökohtasesti tiedä mikä se on. Siks mun täytyy voida osoittaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee riippumatta siitä, mikä raja-arvon tulos on eli myös silloin, kun raja-arvo on nolla.

Lue lisää

Tämäkin asia on selitetty kunnollisissa oppikirjoissa. Katsoisit sellaista etkä netin luentoja.
En rupea yleisesti kirjallisuudesta löytyvää asiaa selittelemääm.

Anonyymi kirjoitti:

Mutta entä jos lim f/g on nolla? Silloinhan jakoa ei saa tehdä?

Joo, tuo tuo omat komplikaationsa ja lisäksi se, että eihän me aluksi tiedetä että raja-arvo lim_{x->a} f(x)/g(x) on olemassa. Ehkä se todistus kannattaneekin tehdä samoja keinoja käyttäen kuin 0/0-tapauksessa erikseen myös ∞/∞ -tapaukselle. Wikipediasta löytyy (case 2): https://en.wikipedia.org/wiki/L'Hôpital's_rule#General_proof

Tuota ei voi todistaa, koska se ei pidä yleisesti paikkaansa. Esim: f(x) = x*sin(x^2) ja g(x) = x^2 kun x -> ∞.

Anonyymi kirjoitti:

Tuota ei voi todistaa, koska se ei pidä yleisesti paikkaansa. Esim: f(x) = x*sin(x^2) ja g(x) = x^2 kun x -> ∞.

entä jos lisään ehdon, että f(x) -> ∞ ja g(x) -> ∞?

Anonyymi kirjoitti:

entä jos lisään ehdon, että f(x) -> ∞ ja g(x) -> ∞?

Näin käy jo yo. esimerkissä.

Anonyymi kirjoitti:

Näin käy jo yo. esimerkissä.

x*sin(x^2) ei lähesty mitään, kun x -> ∞.

Anonyymi kirjoitti:

x*sin(x^2) ei lähesty mitään, kun x -> ∞.

Aaa joo sori. Ota jotain sellaista kuin f(x) = x*(sin(x^2) 2)

Anonyymi kirjoitti:

Aaa joo sori. Ota jotain sellaista kuin f(x) = x*(sin(x^2) 2)

Siis onks tää joku poikkeus, kun eikö L’Hopitalin säännön mukaan tuo juuri pidä paikkaansa, että
lim f/g=lim f’/g’ ? Kun f ja g lähestyvät ääretöntä?

Anonyymi kirjoitti:

Siis onks tää joku poikkeus, kun eikö L’Hopitalin säännön mukaan tuo juuri pidä paikkaansa, että
lim f/g=lim f’/g’ ? Kun f ja g lähestyvät ääretöntä?

L'Hopital sanoo, että kun lim f'/g' on olemassa ( ne muut ehdot), niin silloin lim f/g on olemassa ja yhtäsuuri kuin lim f'/g'.
L'hopital ei siis "käänny" eli lim f/g:n olemassaolosta ei voi päätellä että lim f’/g’ olisi olemassa.

Anonyymi kirjoitti:

L'Hopital sanoo, että kun lim f'/g' on olemassa ( ne muut ehdot), niin silloin lim f/g on olemassa ja yhtäsuuri kuin lim f'/g'.
L'hopital ei siis "käänny" eli lim f/g:n olemassaolosta ei voi päätellä että lim f’/g’ olisi olemassa.

Lue lisää

Miten se näkyy todistuksessa?
lim f/g = välivaiheita = lim f’/g’

Eikö yhtä lailla voi edetä lopputuloksesta alkuun?

Anonyymi kirjoitti:

Miten se näkyy todistuksessa?
lim f/g = välivaiheita = lim f’/g’

Eikö yhtä lailla voi edetä lopputuloksesta alkuun?

Ei. Käytän tässä nyt Calculus Fennicuksen sivun 359 kohdan 1 merkintöjä. Kun todistuksessa otetaan väliarvolauseen avulla ξ väliltä (a, x) siten, että

f(x)/g(x) = (f(x) - f(a)) / (g(x) - g(a)) = f'(ξ) / g'(ξ)

niin tämä ei takaa f'/g':n raja-arvon olemassa oloa (vaikka lim f/g olisikin olemassa), koska emme voineet vapaasti valita ξ:tä vaan se saatiin väliarvolauseesta.

Ota esimerkiksi a = 0 ja
f(x) = x^2 * sin(1/x^3) ja g(x) = x.
Nyt
f(x) / g(x) = x * sin(1/x^3) → 0, kun x → 0,
mutta
f'(x) / g'(x) = 2x*sin(1/x^3) - 3cos(1/x^3)/x^2
ei mene nollaan, sillä 2x*sin(1/x^3) → 0, mutta 3cos(1/x^3)/x^2 ei mene vaan heilahtelee origon läheisyydessä aina vaan tiheämmin ja suuremmin (itse asiassa sisäfunktioon olisi riittänyt x^2, se että heilahtelu kasvaa ei ole oleellista; mutta x^3 oli varman päälle :D). Tästä heilahtelusta johtuen väliarvolauseen ξ aina löytyy eli f'/g' käy pienenä äärettömän monta kertaa origon läheisyydessä, mutta raja-arvoa ei ole.

Hyvä kysymys muuten tuo että mikä menee toisessa suunnassa vikaan! Siitä nähdään, että jotenkin "hyvin villisti" f'/g': n on käyttäydyttävä, jotta raja-arvoa ei ole. Tai no, ainahan funktion on jotain "villiä" tehtävä ettei raja-arvoa ole :D

eihän tuossa sanota muuta kuin että todistus sivuutetaan...

Anonyymi kirjoitti:

eihän tuossa sanota muuta kuin että todistus sivuutetaan...

Etpä nyt lukenut. Eräs todistus (itseisarvot) sivuutettiin mutta muu asia kyllä tulee esille. Malttaisit nyt edes lukea!