suorakulmaisen kolmion terävien kulmien kärkinä ovat piste A(1;1;1) ja piste B(2;3;4).Suoran kulman kärki C on pisteen P(0;1;0) ja Q(1;3;3) kautta kulkevalla suoralla.Laske kolmion pinta-ala
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 47
Vanhimmat
Tässä täytyy varmaan käyttää vektoria r sille suoralle, ja r=t*i (2t 1)*j 3t*k
(toi saadaan suoran vektorimuotoisesta esityksestä)
B-A vektori on (1 2j 3k)
Nyt pitäisi pistetulo (r-A)●((B-A) olla 0.
Siitä sadaan t ja sitten r.
Kysytty ala 0=½│r│*│(B-A)│
(en ole tästä varma enkä viitsi alkaa laskea, tulee Suomi -Wales Viafreeltä kohta)
Toi ala on tietysti: ½│r-A│*│(B-A)│, ja siinähän on sitten toinenkin mahdollinen kolmio....
Tossa näköjään lukeekin, että suoran kulman kärki on sillä annetulla suoralla. Silloin toi lasku muuttuu ihan toiseksi. Kaipa tätä täytyy ruveta oikein laskeen...
(B-r)●((A-r)=0, ja ala ½│(B-r)│*│(A-r)│
Nyt tota laskin ja ei tosta ei kyllä ratkaisuun ainakaan helpolla pääse.
But, vektori B-A =1,2,3 ja suoran suuntavektori s=myös 1,2,3.
Kolmion kanta on siis samansuuntainen tuon annetun suoran kanssa , jolla se kolmas kärki on.
Nyt voidaan merkitä s●(A-r)=0, jossa r=i 3j 3k t(i 2j 3k).
Siitä saadaan t, josta edelleen r.
Ala on sitten : ½│A-r│*│(B-A)│
Ja vielä, jos vektoreiden ristitulo on hallinnassa, niin tuon kolmion ala tulee hyvin yksinkertaisesti: ½│(P-A)X(B-A)│=√3
(koska sen kolmion ala on puolet vastaavan suorakaiteen alasta, jonka ala on taas sama kuin suunnikkaan ala, joilla kaikilla on sama "kanta" B-A, ja sama korkeus, jota nyt ei tarvitse edes laskea ristituloa käytettäessä)
Ota parametri t, joka määrää missä kohdin suoraa C on. Saat sijainnin muodossa
C = P t(Q-P)
Ratkaistaan, millä t:n arvoilla kolmion kulma C:ssä on suora. Tämä tapahtuu silloin (ja vain silloin), kun vektoreiden C-A ja C-B pistetulo on 0. Tästä saat siis yhtälön, josta voit ratkaista mahdolliset t:n arvot.
Meillä on pisteetR1(A) (paikkavektori) ja R1(B).
R1(A) = (1,1,1) ja R1(B) = (2,3,4)
Pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora on
R2(t) = (1-t) (0,1,0) t (1,3,3) = (t,1 2t, 3t)
Näet, että R2(0) = (0,1,0) ja R"(1) = (1,3,3) kuten pitääkin.
Nyt täytyy ratkaista yhtälö ( (A,B) = vektorien A ja B sisätulo , "pistetulo")
(R1(A) - R2(t), R1(B) - R2(t)) = 0
R1(A) - R2(t) = ( 1-t, - 2 t, 1 - 3t)
R1(B) - R2(t) = (2-t, 2-2t, 4 - 3t)
Sisätulo = (1-t) (2-t) (- 2t) (2-2t) (1-3t) (4-3t) = 14t^2 - 22 t 6
Sisätulon piti olla = 0 joten yhtälöksi saadaan
7 t^2 - 11 t 3 = 0
t = 1/14 * (11 /- sqrt(37))
Näillä t:n arvoilla saadaan kolmion se kärki jossa suora kulma on.
Tulipa kenkku luku! Onko tehtävässäsi numerot varmasti oikein?
Yhtälöllä oli siis 2 juurta t(i), i = 1 tai 2 ja tunnet siis kaikki kolmion kärkipisteet.
Kateettien pituudet ovat
l R1(A) - R2(t(i)) l ja l R1(B) - R2(t(i)) l
Kysytty kolmion ala on siis 1(2 kertaa noiden kateettien pituuksien tulo. Saadaan siis kaksi eri kolmiota , toinen arvolla i = 1 ja toinen kun i = 2.
Tarkastusmielessä voisit vaikka laskea että kummassakin tapauksessa kateettien neliöiden summa = hypotenuusan neliö (Pythagoraan lause). Tuon hypotenuusan pituushan tässä on
lR1(A) - R1(B) l
Tuli sen verran hankalat nuo t(i) arvot että enpä viitsi numerolaskuja tehdä. Vai tuliko minulle laskuvirhe?
No, jvaikkapa W-A:llahan nuo numerolaskut käyvät joten kuten.
Kirjoitusvirhe: p.o. ......ala on siis 1/2 kertaa...
Toinenkin: p.o....ja R2(1) = (1,3,3)...
Oletetaan kyse olevan lukion tehtävästä. Kannatta piirtää tasokuva ja ajatella z-pisteiden olevan ilmassa. "Hypotenuusan" (c) pituus voidaan laskea (kolmiulotteisesti) kahdella pythagoraalla. Muodostettavan kolmion korkeus (h) on aina vakio (suorien "kolmiulotteinen yhdensuuntaisuus") ja se voidaan laskea mistä kohtaa vaan. Kolmion pinta-ala on c*h/2. Eikä tuon kulman tarvitse olla edes suora. Aina sama pinta-ala.
Saattoi tulla joku ajatusvirhe kolmiulotteisesti ajatellen.
Saattoipa tosiaan tulla humpuukineuvo.
Et piirtänyt kuvaa paperile. Mikset?
Et vaivautunut rakentamaan muutamasta tikusta vaikka styroklevylle tms. mallia. Mikset?
Etkä tietysti osaa käyttää mitään 3D-ohjelmaa. Mikset?
Mitä osaat ja millä luokalla olet?
Tässä tehtävässä pisteet on valittu tarkoituksella siten, että tehtävä olisi helppo. AC:lla ja PQ:lla on sama nousukulma ja ne ovat tasossakin yhdensuuntaisia. PQ on pykälää korkeammalla kuin AC. Kokeile vaikka kahdella kynällä, jos et muuta keksi.
Miten saa laskettua helposti kahden yhdensuuntaisen suoran välisen etäisyyden Pythagoraan yhtälöillä? Minulla on kaksi yhdensuuntaista tikkua oikealla etäisyydellä ja oikeassa kulmassa. Etäisyys on helposti mitattavissa mauserilla. Ja voin "nähdä" kolmion noiden tikkujen välissä vinossa olevana tasona.
Pisteestä A(1;1;1) pitää tietysti piirtää kohtisuora viiva suoralle PQ. Viiva leikkaa PQ:n kohtisuorasti pisteessä (x;y;z). Voidaan muodostaa useita suorakulmaisia kolmioita joista pitäisi pystyä yksikäsitteisesti laskemaan x,y ja z ja siitten suorien välinen etäisyys. Menee erittäin monimutkaiseksi. Miksi?
ABPQ on suunnikas. Kolmion pinta-ala on puolet siitä.
Suunnikkaan sivujen pituudet a ja b ovat sqrt(2) ja sqrt(14) ja lyhyemmän lavistäjän c pituus on sqrt(8). Noista voidaan laskea Heronin kaavalla kolmion pinta-ala S.
s = (a b c)/2 = (sqrt(2) sqrt(14) sqrt(8))/2 = 3.992149036946613
S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) = 1.732050807568876
Kolmion pinta-ala on n. 1,732.
Onko lähelläkään oikeaa? Tuntuisi olevan liian pieni. Missä meni pieleen?
Vastaus on sart(3). Olen sen kolmella eri tavalla laskenut : Kahdella eri pistetulolla ja sit vielä ristitulolla. (tarkista kosinilauseella)
piti laittaa √3
Hienosti laskettu!
sqrt3) = 1.73205080756887729
Minun= 1.732050807568876
Minun helpolla tavalla laskemani tulos ei sitten heittänytkään juuri yhtään, vaikka pyöristelin välituloksia.
Suorien välinen etäisyys on takaperoisesti laskien:
2*sqrt(3)/sqrt(14) = 0.9258201
Pitääkö paikkansa?
pitää
B - A = (2,3,4) - (1,1,1) = (1,2,3)
Q-P = (1,3,3) - (0,1,0) = (1,2,3)
Pisteiden A,B ja pisteiden P,Q ksautta kulkevat suorat ovat siis yhdensuuntaiset.
Jälkimmäinen suora on R(u) = (1-u) ((0,1,0) u (1,3,3) = (u,1 2u,3u)
. R(0) = P, R(1) = Q.
Esim. pisteen A etäisyys PQ-suoran pisteestä korotettuna toiseen potenssiin on
d(u) = (1-u)^2 (1 - (1 2u))^2 (1 - 3u)^2 = 14 u^2 - 8 u 2.
d'(u) = 28 u - 8 = 0 => u = 2/7. Tällä u:n arvolla etäisyyden neliöllä ja siis etäisyydelläkin on minimi.
Suorien etäisyys on sqrt(14*4/49 - 8*2/7 2) = sqrt(6/7) = 0,9258201
Laskitko suorakulmaisella kolmiolla ja ilman mitään annettujen pisteiden symmetrisyyden tarkasteluja? Vai sivuutitko suorakulmaisuusvaatimuksen täysin turhana vaikeutuksena tässä helpossa erikoistapauksessa?
Sorry. Olitkin vastannut jo ennen kuin sain edes kysymykseni kirjoitettua.
Lisäys: Pisteiden A ja B etäisyys l B - A l = sqrt(14). Tämä on kolmion hypotenuusa. Korkeus on tuo äsken laskettu sqrt(6/7) joten nkolmion ala on
1/2*sqrt(6/7) * sqrt(14) = sqrt(3)
Itse asiassa kaikilla kolmioilla joiden kaksi kärkeä ovat A jaB ja kolmas kärki on PQ-suoralla on sama pinta-ala!
Kyllahän minä sen suorakulmaisuusvaatimuksen ihan ekana huomioin:
(B-r)●((A-r)=0, ja ala ½│(B-r)│*│(A-r)│, mutta meni hankalaksi, eikä siitä vastausta saanut ilman likiarvoja, joten seuraava vaihe oli alkaa hiukan miettiäkin, että mitä tässä on tehtävissä, joten:
Nyt tota laskin ja ei tosta ei kyllä ratkaisuun ainakaan helpolla pääse.
But, vektori B-A =1,2,3 ja suoran suuntavektori s=myös 1,2,3.
Kolmion kanta on siis samansuuntainen tuon annetun suoran kanssa , jolla se kolmas kärki on.
Nyt voidaan merkitä s●(A-r)=0, jossa r=i 3j 3k t(i 2j 3k).
Siitä saadaan t, josta edelleen r.
Ala on sitten : ½│A-r│*│(B-A)│.
Sitten vielä tuli mieleen tämä ristitulo, josta vastauksen saa pienellä vaivalla:
Ja vielä, jos vektoreiden ristitulo on hallinnassa, niin tuon kolmion ala tulee hyvin yksinkertaisesti: ½│(P-A)X(B-A)│=√3
(koska sen kolmion ala on puolet vastaavan suorakaiteen alasta, jonka ala on taas sama kuin suunnikkaan ala, joilla kaikilla on sama "kanta" B-A, ja sama korkeus, jota nyt ei tarvitse edes laskea ristituloa käytettäessä)
Tuossa ne kolme tapaa olivat.
Laske vielä "Anonyymi Tänään 14:25" mukaisesti tarkoilla neliöjuuriarvoilla Heroinin kaavaa käyttäen. Siis ilman vektoreita. Saatko tuloksen supistumaan sqrt(3):ksi? Ei luuulisi olevan ihan mahdotonta, jos tarpeeksi kauan vääntää.
Kokelin sitä kyllä joo, mutta aika pian se papru rypistyi...Kosinilauseella se kyllä tulee hyvinkin suoraviivaisesti.
Ettekö todellakaan ymmärtäneet kommenttejani 17:03, 17:26 ja 17:32?
Yksinkertaisesti laskin. Ei tässä tarvita Heronin kaavoja eikä muita joissain kommenteissa esitettyjä monimutkaisia konsteja. Kolmion ala on 1/2*kanta *korkeus.Kaikilla on sama kanta, jana AB , ja sama korkeus, suorien etäisyys. Siinä se.
Laskin aiemmin (5.9. 09:09) nuo kärkipisteiden paikat jotka siis saatiin parametrin t arvoilla
(11 /- sqrt(37))/2. Kaksi mahdollista kärkipistettä suoralla PQ on siis tässä tapauksessa.Kun laskee kateettien pituuksien tulon näillä arvoilla t(i), i= 1,2 niin molemmissa tapauksissa kolmion pinta-alaksi tulee sqrt(3). Laskin kyllä tämän w-a:n avustuksella.
'
Miksi suorakulmaisia kolmioita on tässä kaksi? Kolmioiden lukumäärä voi olla 0,1 tai 2 riippuen vektorin B-A pituudesta verrattuna suorien AB ja PQ etäisyyteen. Kun suorat ovat tarpeeksi lähekkäin syntyy kolmioita joissa kulma, jonka kärki on PQ-suoralla, voi olla suurempi kuin pii/2. Kun kärki liukuu pitkin PQ-suoraa tuo kulma alkaa pienetä ja on tietyssä pisteessä pii/2. Tämä tapahtuu kärjen liikkuessa kumpaankin suuntaan ja saadaan kaksi kärkipistettä joissa kulma on tuo suorakulma. Tässä laskelmassa se tapahtuu noilla kärkipisteen parametriarvoilla t(1) ja t(2).
Jos taas suorat ovat kaukana toisistaan ei suoraa kulmaa synny lainkaan.Näiden tapausten välissä on tietenkin tilanne jolloin suoria kulmia on 1.
Kun huomasin että suorat ovat yhdensuuntaiset (joku kommentoija sen mainitsikin) niin laskin uudestaan varsin yksinkeraisesti kuten kommenteista 6.9 / 17:03, 17:26 ja 17:32 ilmenee.
Kun kolmion kanta on tuo jana AB ja korkeus on noiden suorien etäisyys niin pinta-ala on aina sama. Oli siellä sitten suorakulmaisia kolmioita tai ei. Ala on aina 1/2 * kanta*korkeus.
Sanotaan nyt vielä ennenkuin saivartelija-anonyymi iskee, että kaikilla kolmioilla on siis sama pinta-ala kutakin suoraparia vastaten. Jos otetaan toiset suorat, niiden etäisyys on toinen ja kolmioiden ala on toinen. Kolmioden kanta on pituudeltaan aina tuo lB-Al.
Ei sitä Heroinin kaavaa tietysti tarvita, jos tietää suunnikkaan korkeuden. Eli mieti vähän, mitä kirjoitat.
No minä mietin. Ja tulos oli, että kirjoittelet joutavia. Ei tässä tarvita mitään suunnikastakaan.
Etkö tosiaan tajua yksinkertaista ratkaisuani?
Sanon vielä: Tuossa vektoriratkaisussani oli titysti se hyvä puoli, että esiintyvien suorakulmaisten kolmioiden kärkipisteet PQ-suoralla selviävät siitä. Mutta kun tätä ei varsinaisesti kysytty vaan ainoastaan pinta-alaa, niin on turha laskea siten kun kerran aivan yksinkertainen lasku riittää.
Tarvitaan kyllä se kysytty kolmio ja se on puolet suunnikkaasta. Jopa sinä sait tuon työllä ja vaivalla selvitettyä kun hiukan autettiin. Älä ikinä arvostele toisten ymmärtämistä tai osaamista.
Sinä et tarvitse mitään, kun asia on jo selvinnyt. Joku toinen tarvitsee. Eikä suurin osa tätä ketjua lukevista pysty ajattelemaan kolmiulotteisesti eikä näe kysyttyä kolmiota mielessään. Olet jo unohtanut matematiikan perusteet ja niiden opetusjärjestyksen. Et edes tiedä mikä on helppoa ja mikä vaikeaa ja miksi jotkut kysyvät jotain. Osaat kyllä sählätä harvinaisen lahjakkaasti ja monipuolisesti. Kannattaa hiukan miettiä mitä kirjoittaa ja miksi. Erityisesti miksi!
Otahan matikkamatsku haltuun: https://www.youtube.com/watch?v=whlRKrj2h1E niin saat sen korkeudenkin. Voihan sen tosiaan kyllä kylkivektoreiden determinantin puolikkaan itseisarvonakin sen alan laskea.
Laskin se kyllä vähän toisin. Korkeus = suorien välimatka. Tämän sain minimoimalla etäisyyden pisteestä A suoraan PQ.
Anonyymi tänään 12:25
Sanotaan paremmin: minimoimalla etäisyyden pisteestä A suoran PQ pisteisiin.
Tämä vähän jäi vaivaamaan, palaan tähän nyt vielä.
Kun vedin tonne alkuun pistetulon ja pinta-alan: (B-r)●((A-r)=0, ja ala ½│(B-r)│*│(A-r)│, jossa
r=t*i (2t 1)*j 3t*k, niin pidin sitä hyvin hankalana ratkaistavana, mutta nyttemmin on selvinnyt, ettei siinä mitään vaikeutta olekaan.
Tosta pistetulosta tulee: 14t^2=22t-6
Tätä ei ratkaista yhtään enempää, vaan siirrytään suoraan alan laskemiseen.
En tähän viitsi kirjoitella noita lausekkeita, mutta:
(│(B-r)│)^2=14t^2-36t 24
(│(A-r)│)^2=14t^2-8t 2 , sijoitetaan molempiin tuo 14t^2, tulee:
Ala=½sqrt(-14*14^t^2 308t-72), ja vielä sijoitetaan 14t^2 tulee:
Ala=½*sqrt(12)=sqrt(3)
Kommentissani / 5.9. 09:09 kerroin, että on ratkaistava yhtälö 7 t^2 - 11 t 3 = 0.
Tämän avulla syntyvät nuo kaksi mahdollista kärkipistettä. Molempien näin saatavien kolmioiden ala = sqrt(3), jonka myös totesin tänään 07:07.
Mutta tämä nyt on monimutkainen tapa tuohon toiseen esittämääni verrattuna. Siinähän yksinkertaisesti ala = 1/2*kanta*korkeus. Lisäksi huomautin, että kaikilla kolmioilla, joiden kanta on AB ja kolmas kärki liukuu pitkin suoraa PQ on sama ala sqrt(3). Onhan niillä sama kanta ja sama korkeus, joka korkeus on suorien suorien etäisyys.
p.o.:...suorien välinen etäisyys.
Suorakulmaisen kolmion kateetit a ja b on helppo laskea ihan tasogeometrian perusteilla ilman mitään ongelmia. Hypotenuusan pituus c = sqrt(14) saadaan ihan suoraan. Sijoitetaan hypotenuusan keskipisteeseen ympyrä ja saadaan:
a = sqrt(7-sqrt(37))
b = sqrt(7 sqrt37))
A = a*b/2 = sqrt(49-37)/2 = sqrt(3)
Tehtävä on tehty helpoksi koetehtäväksi lukiolaisille ja kaikki lausekkeet supistuvat. Tehtävän toisessa osassa kysytään kateettien pituuksia, joten ...
Vaikeita laskuja ei tarvitse laskea avaruudessa. Siirretään kaikki tasopinnalle x,y-koordinaatistoon ja hypotenuusa x-akselille ja sen keskipiste origoon.
Yliopistossa matematiikkaa opiskeleville voidaan antaa pieni helpotus. Saatte vapaasti muuttaa yhden annetun pisteen yhden koordinaatin arvoa yhdellä ylöspäin tai alaspäin. Vaihtoehtoja siis peräti 2*4*3=24. Kyse on nyt nopeudesta. Nopein voittaa ja pääsee suorittamaan jatko-opintoja.
Mikä näistä 24:stä muunnoksesta tuottaa kauneimman tuloksen? Voittaja pääsee lukemaan tohtoriksi.
"Voittaja pääsee lukemaan tohtoriksi."
Tohtoriksi voi aivan hyvin väitellä vaikka ei mitään olisikaan lukenut.
Kyllä suurin osa osallistuu jonkinlaiseen tohtorikoulutukseen ja on ensin opiskellut lisenssiaatiksi.
Sinä tietysti pystyt valitsemaan sopivan väitöskirjan aiheen ilman mitään opiskelua. Ja väitellä siitä ihan vapaasti äitisi kanssa. Muut joutuvat kyselemään aiheen valinnasta apua professoreilta. Ei ole ihan helppoa löytää. Jonkun työtä valvovan professorin pitää ymmärtää jotain aiheesta ja työlle pitää löytää pari tarkastajaa ja vastaväittelijä. Ei onnistu, jos väitöskirjan aihe on aivan liian vaikeaselkoinen. Menee helposti paperinkeräykseen jo luonnosvaiheessa. Kysehän on vain opinnäytteestä. Sen jälkeen alkaa varsinainen tieteellinen kirjoittelu ja apurahojen haku.
Nuo on helppo ja nopea selvittää Pythonin Sympyllä symbolisessa muodossa. Palstan vanhoja tohtoreita ei tosin taida paljoakaan kiinnostaa uudelleenkoulutukseen pääsy.
Keksi lisää hyviä juttuja. Ehkä sinustakin tulee joskus hyvien juttujen tohtori.