Ympyrä tasojoukon sisällä

Mielenkiintoinen tehtävä:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot (x^2 xy^2 - xy^3)^2 <= 1

Tämä on oikeastaan sama kuin aiemmn esitetty tehtävä:

https://keskustelu.suomi24.fi/t/16344445/quotsuomalaisinquot-piste-kauimpana-ulkorajoista

Analyyttisen ratkaisun löytäminen voi olla melko ongelmallista.

Jos ensin koittaisi ratkaista helpomman osaongelman, että kun on annettu piste (cx, cy), niin mikä piste on tätä lähimpänä varistolla x^2 xy^2 - xy^3 = 1 (sillä plus-merkkisten välistähän se suurin ympyrä selvästi löytyy, se ei kosketa miinus-merkillä saatavaa varistoa). Koska ympyrä tangenteeraa tuolloin varistoa siinä kohdassa, niin saadaan toinen yhtälö (tai näkeehän sen KKT:n ehdoistakin).

https://www.desmos.com/calculator/k6afcvtzhe

Se varmaan ratkeaisi gradient descentillä (lähtee vaikka tarpeeksi monesta lähtöpisteestä eetakltjklö. Mutta sitten noista vaihtoehdoista pitäisi valita se oikea. Hitto, Desmos laskee kuvaan nuo leikkauspisteet, mutta miten ne saa siellä itse ulos..?.. Ai niin pitääpäs kokeilla g1(a,b) ~ f(a,b). Mutta tuokin antaa vain yhden arvon. Voihan siihen ehtoja laittaa aaltosulkeisiin, mutta millaisilla ehdoilla ratkaisut saa eroteltua, kun tiedä aina millainen se ensimmäinen ilman ehtojakaan saatava on??

Kokeilin myös suoraan ratkaista ottamalla muuttujiksi ympyrän keskipisteen, kolme tangenteerauspistettä ja ympyrän säteen ja sitten kirjoittaa vaadittavat yhtälöt ja Sagella jostain sopivasta lähtöpisteestä ratkaista. Kyllähän siinä yhdeksän yhtälöä on ja yhdeksän muuttujaa, niin tiedä sitten liukooko se siitä oikeasta pisteestä mihinkään vai ei

https://www.desmos.com/calculator/cfeyetht1a

Tällaisella koodilla koitin, jos jotain parametrisointeja olis saanu, mutta Sage ei suostu jaksaa suorittelemaan!!:

R.<cx,cy,x1,y1,x2,y2,x3,y3> = PolynomialRing(QQ, order='lex')
I = R.ideal([
(cx-xk)**2 (cy-yk)**2-1**2 for (xk, yk) in [(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)]
] [
(cx-xk)*(xk*(3*yk**2-2*yk)) (cy-yk)*(2*xk yk**2*(1-yk))
for (xk, yk) in [(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)]
] [
xk**2 xk*yk**2*(1-yk)-1 for (xk, yk) in [(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)]
])
print (I)
print (I.groebner_basis())

Toinen varisto ja leikkauskohtien laskenta. Vielä on hieman harmaata aluetta, joissa pisteet menee yhteen, tai voihan niitä olla jopa neljä, niin ei tuo joka tapauksessa kaikkia eroavia pisteitä aina löydä:

https://www.desmos.com/calculator/9ouavpnksf