Differentiaalin käsite fysiikassa

Jos olisit lukiossa pitänyt fysiikan ja matematiikan tunneilla korvasi auki, niin et ihmettelisi asiaa yhtään. Ei minulle tuottanut mitään vaikeuksia ymmärtää fysiikan kurssin esitystapaa 40 vuotta sitten.

Fyysikoita ei (yleensä) kiinnosta miksi jokin matemaattinen työkalu toimii, vaan että se toimii. Fyysikoille riittää, että joku matemaatikko on joskus todistanut, että differentiaalilaskenta toimii, kuten kuuluukin.

Fyysikot eivät yleensä tee eroa käsitteiden "äärettömän pieni" ja "rajoittamattoman pieni" välillä, ja siitä seuraa kaikenlaisia epätäsmällisyyksiä heidän puheissaan, mutta koska matematiikka siellä taustalla toimii fyysikoiden väärinkäsityksistä huolimatta, siitä ei aiheudu ongelmia.

Funktion derivaatta (useampiulotteisessa tapauksessa differentiaali) määritellään erotusosamäärän raja-arvona. Erotusosamäärä on yksinkertaisesti lauseke
(f(x) - f(y)) / (x - y), missä x on erisuuri kuin y. Missään ei siis ole mitään "äärettömän pieniä" lukuja. Rajoittamattoman pieniä lukuja sen sijaan ilmestyy, kun sovitaan, että y lähestyy x:ää, jolloin luku (x - y) saadaan rajoittamattoman pieneksi.
Jos erotusosamäärällä on raja-arvo, sitä kutsutaan derivaataksi (tai differentiaaliksi).

Fysiikassa tarvittavat funktiot ovat (lähes poikkeuksetta) sellaisia, joita matematiikan puolella kutsutaan epätäsmällisesti "kilteiksi funktioiksi", ja niille voi tehdä kaikenlaista mikä ei päde funktioille yleisesti. Esimerkiksi juurikin infinitesimaaleilla laskeminen kuin ne olisivat tavallisia lukuja toimii fyysikoiden tarpeisiin, koska fyysikoiden funktioissa ei esiinny mitään kiinnostavia poikkeustapauksia.
Jos fysiikassa jokin suure noudattaisikin vaikkapa Cantorin funktiota, se olisi fyysikoille katastrofi, koska silloin he joutuisivat oikeasti miettimään mitä tekevät, kun laskevat derivaattoja.
(Cantorin funktio on jatkuva ja sen derivaatta on jokaisessa pisteessä nolla, joten fyysikot toki olettaisivat jo tuon perusteella, että se on vakiofunktio, mutta eipä vain olekaan. Se saa jokaisen arvon välillä nollasta yhteen.)

Jonniin joutavoo.

Jos Newton olisi ollut puhdas teoreettisen matematiikan edustaja, fysiikassa vieläkin kiisteltäisiin siitä, voiko nopeuden laskea siitymän derivaattana d x(t)/dt. Pelkastään sitä olisi selvitelty 400 vuotta.

Onko fysiikka infiniteetin eli rajattoman ja finiten eli rajallisen yhdistelmä.
Tilaa ei voi olla ilman kokoa, jolloin tila on rajallinen, ja aine rajallista.
Muutos on lähtökohtaisesti rajaton, ja aineetonta. Differentiaali koskee siis muutosta rajattomana jatkumona, jota voidaan luvuilla, jotka itsessään ovat rajallisia, kuvata ainoastaan likiarvona, koska muutos on fundamentaalisti eri asia kuin tila, ja pienintä tilaa voidettaessa verrata lukuun 1.

Infiniteetin ja finiten kohdanto-ongelma on fysiikan luonnonlaeissa ratkaistu esimerkiksi vetovoimalla joka synkronisoi rajallisen ja rajattoman, hiukan kuin hyvä paimen kutsuu lampaat luokseen.

Fysiikassa ohitetaan paljon muitakin asioita, jotka matemaattisessa käsittelyssä ovat olennaisia. Funktioiden määrittelyaueita ei useinkaan tarkastella. Ei myöskään ääriarvojen laatua, jne. lähdetään siitä, että ne ovat tehtävänasettelun perusteella itsestään selviä.

Matemaatikot nussivat pilkkua hieman tarkemmin, kuin fyysikot.
KESTÄ SE! :)