Tehtävä 1
Etsi kaikki yhtälön
6x^2 13xy 17x 5y^2 12y = 17
kokonaislukuratkaisut (x,y).
Tehtävä 2
Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut x,y,z, jotka toteuttavat yhtälön
xy yz zx - xyz = 2
Tehtävä 3
Etsi kaikki yhtälön
2x^2 2xy - 3y^2 - 6x 4y = 0
kokonaislukuratkaisut (x, y).
Tehtävä 4
Etsi kaikki yhtälön
-2x^4 - 8x^3 - 10x^2y 2x^2z - 18x^2 - 20xy 4xz - 20x - 11y^2 8yz - 22y z^2 8z = 15
kokonaislukuratkaisut (x,y,z).
Kahdessa jälkimmäisessä voidaan etsiä testin vuoksi ratkaisuja jotka on rajoitettu; kolmosessa R-säteisen ympyrän sisälle ja nelosessa kuutioon [-M, M]^3.
Niillehän on tietenkin taas tehty testerisivu: https://codepen.io/minkkilaukku/full/eYdMVed
Kolme + 1 Diofantoksen yhtälöä
Anonyymi
9
69
Vastaukset
Tehtävä 2.
xy yz zx-xyz = 2
Yhtälöstä seuraa, että xy yz zx > xyz joten 1/x 1/y 1/z > 1.
Olkoon x <= y <= z. Saadaan 3/x > 1 joten x = 1 tai 2.
Jos x=1 saadaan yhtälö y z > 2 joten y=z=1 ja ratkaisu on (1,1,1).
Jos x=2 alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön 2y 2z - yz = 2 kanssa.
Siis (y-2) (z-2) = 2 ja saadaan ratkaisu (2,3,4) . Myös kaikki näiden permutaatiot ovat ratkaisuja.- Anonyymi
Tuohan onkin kätevä tapa, että tapaus x=2 faktoroituu, niin ei tarvitse sitä enää epäyhtälöiden kanssa pidemmälle viedä.
- Anonyymi
xy yz zx=xyz 2
Ei ole xy yz zx>zxy 2 - Anonyymi
Edeölytys että x=y=z ei ole todistettu sille, että
3/x=1 tai kuten sinun huonossa 3/x>1 - Anonyymi
Sinun x<=y<=z
Ei ole todistettu, että
Jokainen niiden käänteisarvon summa muodoistasi yhteensä 3/x
Ei tarkoita, että niiden pitäisi olla samat sinun teoriassa
- Anonyymi
Ykkönen ja kolmonen ratkeaa sivulta https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM löytyvältä laskimelta. Nelonen vaikuttaa vaikealta.
- Anonyymi
Joo, toisen asteen, kahden muuttujan yhtlöillehän on tuo yleinen ratkaisumetodi. Tapauksia siinä vaan on pirusti.
Tässä ykkönen Desmoksessa tehtynä, kun sen saa siellä mukavasti piirreltyä: https://www.desmos.com/calculator/ugregs1rdh
Neloseen "vinkki" (tai en tiedä saako noista ratkaisupisteistä mitään vinkkiä, siellä on 3d-kuvakin kun oikein etsii, mutta kannattaa itse piirtää, niin siitä saattaa jotain vinkkiä ratkaisupisteiden muodostamista kuvioista saada):
https://www.desmos.com/calculator/f5x913bwuq - Anonyymi
Voi tietysti kysyä onko tuo laskimen käyttö "ratkaisua". Yhtä hyvin voisit viedä tehtävän jollekin osaavalle kaverillesi joka sitten kertoisi sinulle lopputuloksen. Olisitko siis ratkaissut tehtävän?
- Anonyymi
Ai niin, kolmosen Desmos-ratkaisu: https://www.desmos.com/calculator/cpc5hazjhw
Jätetään nyt nelonen vielä hautumaan, mutta samaa ideaa sitä on siinäkin. Onkohan tuohon yhtälön muokkaukseen mitään yleistä metodia, niinkuin tuossa haluttiin
(polynomi)^2 - d*(polynomi)^2 = c
Eli pitäisi keksiä vakio, joka vähennettäessä polynomi on neliön ja vakio kertaa neliön erotus.
Alpetronin sivun kaavallahan tuon saa mille vaan kertoimille, mutta muistaakseni Wikipediassa sanottiin, että oikean puolen vakiolle 4 ratkaisut löytyvät sqrt(d):n konvergenttien muasta. Niinkuin tietysti käy myös siinä tavallisessa Pellin yhtälössä. Jos nyt oikein muistan tuolta Alpetronin sivulta, niin se ehto on 4F^2 < B^2 - 4AC, kun -F on oikean puolen vakio ja vasen puoli on Ax^2 Bxy Cy^2. Muuten pitää tehdä muuttujan vaihtoja ja testata siinä vaihdossa monia eri arvoja. Tuo epäyhtälö ei kyllä esim. C=-7 (A=1, B=0) ja -F = 4 toteudu, mutta liekkö siinä sitten sattuu vaan käymään, näin ainakin wikipediassa sanotaan:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation#Generalized_Pell's_equation
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 535088
Tappo Kokkolassa
Päivitetty tänään Iltalehti 17.04.2024 Klo: 15:23..Mikähän tämä tapaus nyt sitten taas on.? Henkirikos Kokkolassa on tap233337Poliisit vaikenee ja paikallinen lehti
Poliisit vaikenee ja paikallinen lehti ei kerro taposta taaskaan mitään. Mitä hyötyä on koko paikallislehdestä kun ei281472Miksi tytöt feikkavat saaneensa orgasmin, vaikka eivät ole saaneet?
Eräs ideologia itsepintaisesti väittää, että miehet haluavat työntää kikkelinsä vaikka oksanreikään, mutta tämä väite ei1821307- 751010
MAKEN REMPAT
Tietääkö kukaan missä tämmöisen firman pyörittäjä majailee? Jäi pojalla hommat pahasti kesken ja rahat muisti ottaa enna24908Kuntoutus osasto Ähtärin tk vuode osasto suljetaan
5 viikkoa ja mihin työntekijät, mihin potilaat. Mikon sairaalan lopetukset saivat nyt jatkoa. Alavudelle Liisalle tulee49867Itämaisesta filosofiasta kiinnostuneille
Itämaisesta filosofiasta kiinnostuneille. Nämä linkit voivat auttaa pääsemään niin sanotusti alkuun. https://keskustel259816Mulla on kyllä
Järkyttävä ikävä sua. Enkä yhtään tykkää tästä olotilastani. Levoton olo. Ja vähän pelottaa..35758Uskoontulo julistetun evankeliumin kautta
Ja kun oli paljon väitelty, nousi Pietari ja sanoi heille: "Miehet, veljet, te tiedätte, että Jumala jo kauan aikaa sitt482717