Aihe

Kolme + 1 Diofantoksen yhtälöä

Anonyymi

Tehtävä 1
Etsi kaikki yhtälön
6x^2 + 13xy + 17x + 5y^2 + 12y = 17
kokonaislukuratkaisut (x,y).

Tehtävä 2
Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut x,y,z, jotka toteuttavat yhtälön
xy + yz + zx - xyz = 2

Tehtävä 3
Etsi kaikki yhtälön
2x^2 + 2xy - 3y^2 - 6x + 4y = 0
kokonaislukuratkaisut (x, y).

Tehtävä 4
Etsi kaikki yhtälön
-2x^4 - 8x^3 - 10x^2y + 2x^2z - 18x^2 - 20xy + 4xz - 20x - 11y^2 + 8yz - 22y + z^2 + 8z = 15
kokonaislukuratkaisut (x,y,z).

Kahdessa jälkimmäisessä voidaan etsiä testin vuoksi ratkaisuja jotka on rajoitettu; kolmosessa R-säteisen ympyrän sisälle ja nelosessa kuutioon [-M, M]^3.
Niillehän on tietenkin taas tehty testerisivu: https://codepen.io/minkkilaukku/full/eYdMVed

9

<50

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Tehtävä 2.
      xy+yz+zx-xyz = 2
      Yhtälöstä seuraa, että xy+yz+zx > xyz joten 1/x + 1/y + 1/z > 1.
      Olkoon x <= y <= z. Saadaan 3/x > 1 joten x = 1 tai 2.
      Jos x=1 saadaan yhtälö y+z > 2 joten y=z=1 ja ratkaisu on (1,1,1).
      Jos x=2 alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön 2y+2z - yz = 2 kanssa.
      Siis (y-2) (z-2) = 2 ja saadaan ratkaisu (2,3,4) . Myös kaikki näiden permutaatiot ovat ratkaisuja.

      • Anonyymi

        Tuohan onkin kätevä tapa, että tapaus x=2 faktoroituu, niin ei tarvitse sitä enää epäyhtälöiden kanssa pidemmälle viedä.


      • Anonyymi

        xy+yz+zx=xyz +2
        Ei ole xy+yz+zx>zxy+2


      • Anonyymi

        Edeölytys että x=y=z ei ole todistettu sille, että
        3/x=1 tai kuten sinun huonossa 3/x>1


      • Anonyymi

        Sinun x<=y<=z

        Ei ole todistettu, että
        Jokainen niiden käänteisarvon summa muodoistasi yhteensä 3/x
        Ei tarkoita, että niiden pitäisi olla samat sinun teoriassa


    • Anonyymi
      • Anonyymi

        Joo, toisen asteen, kahden muuttujan yhtlöillehän on tuo yleinen ratkaisumetodi. Tapauksia siinä vaan on pirusti.

        Tässä ykkönen Desmoksessa tehtynä, kun sen saa siellä mukavasti piirreltyä: https://www.desmos.com/calculator/ugregs1rdh

        Neloseen "vinkki" (tai en tiedä saako noista ratkaisupisteistä mitään vinkkiä, siellä on 3d-kuvakin kun oikein etsii, mutta kannattaa itse piirtää, niin siitä saattaa jotain vinkkiä ratkaisupisteiden muodostamista kuvioista saada):
        https://www.desmos.com/calculator/f5x913bwuq


      • Anonyymi

        Voi tietysti kysyä onko tuo laskimen käyttö "ratkaisua". Yhtä hyvin voisit viedä tehtävän jollekin osaavalle kaverillesi joka sitten kertoisi sinulle lopputuloksen. Olisitko siis ratkaissut tehtävän?


    • Anonyymi

      Ai niin, kolmosen Desmos-ratkaisu: https://www.desmos.com/calculator/cpc5hazjhw
      Jätetään nyt nelonen vielä hautumaan, mutta samaa ideaa sitä on siinäkin. Onkohan tuohon yhtälön muokkaukseen mitään yleistä metodia, niinkuin tuossa haluttiin
      (polynomi)^2 - d*(polynomi)^2 = c
      Eli pitäisi keksiä vakio, joka vähennettäessä polynomi on neliön ja vakio kertaa neliön erotus.
      Alpetronin sivun kaavallahan tuon saa mille vaan kertoimille, mutta muistaakseni Wikipediassa sanottiin, että oikean puolen vakiolle 4 ratkaisut löytyvät sqrt(d):n konvergenttien muasta. Niinkuin tietysti käy myös siinä tavallisessa Pellin yhtälössä. Jos nyt oikein muistan tuolta Alpetronin sivulta, niin se ehto on 4F^2 < B^2 - 4AC, kun -F on oikean puolen vakio ja vasen puoli on Ax^2 + Bxy + Cy^2. Muuten pitää tehdä muuttujan vaihtoja ja testata siinä vaihdossa monia eri arvoja. Tuo epäyhtälö ei kyllä esim. C=-7 (A=1, B=0) ja -F = 4 toteudu, mutta liekkö siinä sitten sattuu vaan käymään, näin ainakin wikipediassa sanotaan:
      https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation#Generalized_Pell's_equation

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Liikenne topissa

      Mitäs liedenpohjassa tekeillä ku kuus kutosen liikenne katkaistu..poliisioperaatio
      Virrat
      40
      12957
    2. Naisen vessakäynti suhteen alussa

      Mä olin ihastukseni kaa viettämässä viikonloppua. Eka kertaa yövyin miehen luona. Toisen yön jälkeisenä aamuna mulla meni vatsa aivan sekaisin. Oltiin
      Parisuhde
      194
      12808
    3. Maisa se jaksaa valehdella

      https://www.iltalehti.fi/viihdeuutiset/a/28acb452-15ff-470d-80c3-511ad69abec0 Taas on syytön, taas on todisteita jotka jossain vaiheessa paljastaa Ma
      Kotimaiset julkkisjuorut
      252
      8201
    4. Liedenpohja

      Mikä hässäkkä siälä on päällä ??
      Virrat
      24
      5752
    5. Karanteenimääräyksiä rikkovaa ei rangaista.

      Ulkomailta tuleva koronatartuttaja saa Suomessa liikuskella ja juhlia estoitta. Omantunnon kysymys on noudattaako karanteenimääräyksiä toista on mones
      Maailman menoa
      201
      3380