Kolme + 1 Diofantoksen yhtälöä

Anonyymi

Tehtävä 1
Etsi kaikki yhtälön
6x^2 13xy 17x 5y^2 12y = 17
kokonaislukuratkaisut (x,y).

Tehtävä 2
Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut x,y,z, jotka toteuttavat yhtälön
xy yz zx - xyz = 2

Tehtävä 3
Etsi kaikki yhtälön
2x^2 2xy - 3y^2 - 6x 4y = 0
kokonaislukuratkaisut (x, y).

Tehtävä 4
Etsi kaikki yhtälön
-2x^4 - 8x^3 - 10x^2y 2x^2z - 18x^2 - 20xy 4xz - 20x - 11y^2 8yz - 22y z^2 8z = 15
kokonaislukuratkaisut (x,y,z).

Kahdessa jälkimmäisessä voidaan etsiä testin vuoksi ratkaisuja jotka on rajoitettu; kolmosessa R-säteisen ympyrän sisälle ja nelosessa kuutioon [-M, M]^3.
Niillehän on tietenkin taas tehty testerisivu: https://codepen.io/minkkilaukku/full/eYdMVed

9

182

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Tehtävä 2.
      xy yz zx-xyz = 2
      Yhtälöstä seuraa, että xy yz zx > xyz joten 1/x 1/y 1/z > 1.
      Olkoon x <= y <= z. Saadaan 3/x > 1 joten x = 1 tai 2.
      Jos x=1 saadaan yhtälö y z > 2 joten y=z=1 ja ratkaisu on (1,1,1).
      Jos x=2 alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön 2y 2z - yz = 2 kanssa.
      Siis (y-2) (z-2) = 2 ja saadaan ratkaisu (2,3,4) . Myös kaikki näiden permutaatiot ovat ratkaisuja.

      • Anonyymi

        Tuohan onkin kätevä tapa, että tapaus x=2 faktoroituu, niin ei tarvitse sitä enää epäyhtälöiden kanssa pidemmälle viedä.


      • Anonyymi

        xy yz zx=xyz 2
        Ei ole xy yz zx>zxy 2


      • Anonyymi

        Edeölytys että x=y=z ei ole todistettu sille, että
        3/x=1 tai kuten sinun huonossa 3/x>1


      • Anonyymi

        Sinun x<=y<=z

        Ei ole todistettu, että
        Jokainen niiden käänteisarvon summa muodoistasi yhteensä 3/x
        Ei tarkoita, että niiden pitäisi olla samat sinun teoriassa


    • Anonyymi
      • Anonyymi

        Joo, toisen asteen, kahden muuttujan yhtlöillehän on tuo yleinen ratkaisumetodi. Tapauksia siinä vaan on pirusti.

        Tässä ykkönen Desmoksessa tehtynä, kun sen saa siellä mukavasti piirreltyä: https://www.desmos.com/calculator/ugregs1rdh

        Neloseen "vinkki" (tai en tiedä saako noista ratkaisupisteistä mitään vinkkiä, siellä on 3d-kuvakin kun oikein etsii, mutta kannattaa itse piirtää, niin siitä saattaa jotain vinkkiä ratkaisupisteiden muodostamista kuvioista saada):
        https://www.desmos.com/calculator/f5x913bwuq


      • Anonyymi

        Voi tietysti kysyä onko tuo laskimen käyttö "ratkaisua". Yhtä hyvin voisit viedä tehtävän jollekin osaavalle kaverillesi joka sitten kertoisi sinulle lopputuloksen. Olisitko siis ratkaissut tehtävän?


    • Anonyymi

      Ai niin, kolmosen Desmos-ratkaisu: https://www.desmos.com/calculator/cpc5hazjhw
      Jätetään nyt nelonen vielä hautumaan, mutta samaa ideaa sitä on siinäkin. Onkohan tuohon yhtälön muokkaukseen mitään yleistä metodia, niinkuin tuossa haluttiin
      (polynomi)^2 - d*(polynomi)^2 = c
      Eli pitäisi keksiä vakio, joka vähennettäessä polynomi on neliön ja vakio kertaa neliön erotus.
      Alpetronin sivun kaavallahan tuon saa mille vaan kertoimille, mutta muistaakseni Wikipediassa sanottiin, että oikean puolen vakiolle 4 ratkaisut löytyvät sqrt(d):n konvergenttien muasta. Niinkuin tietysti käy myös siinä tavallisessa Pellin yhtälössä. Jos nyt oikein muistan tuolta Alpetronin sivulta, niin se ehto on 4F^2 < B^2 - 4AC, kun -F on oikean puolen vakio ja vasen puoli on Ax^2 Bxy Cy^2. Muuten pitää tehdä muuttujan vaihtoja ja testata siinä vaihdossa monia eri arvoja. Tuo epäyhtälö ei kyllä esim. C=-7 (A=1, B=0) ja -F = 4 toteudu, mutta liekkö siinä sitten sattuu vaan käymään, näin ainakin wikipediassa sanotaan:
      https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation#Generalized_Pell's_equation

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mitä siellä ABC on tapahtunut

      Tavallista isompi operaatio näkyy olevan kyseessä.
      Alajärvi
      169
      6971
    2. Klaukkalan onnettomuus 4.4

      Klaukkalassa oli tänään se kolmen nuoren naisen onnettomuus, onko kellään mitään tietoa mitä kävi tai ketä onnettomuudes
      Nurmijärvi
      62
      2583
    3. Kuvaile elämäsi naista

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      56
      2158
    4. Kolari Klaukkala

      Kaksi teinityttö kuoli. Vastaantulijoille ei käynyt mitenkään. Mikä auto ja malli telineillä oli entä se toinen auto? Se
      Nurmijärvi
      62
      1312
    5. Ukraina ja Zelenskyn ylläpitämä sota tuhoaa Euroopan, ei Venäjä

      Mutta tätä ei YLE eikä Helsingin Sanomat kerto.
      Maailman menoa
      356
      1269
    6. Kuvaile elämäsi miestä

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      56
      1254
    7. Ooo! Kaija Koo saa kesämökille öky-rempan:jättimäinen terde, poreallas... Katso ennen-jälkeen kuvat!

      Wow, nyt on Kaija Koon mökkipihalla kyllä iso muutos! Miltä näyttää, haluaisitko omalle mökillesi vaikkapa samanlaisen l
      Kesämökki
      14
      1141
    8. Toivoisin, että lähentyisit kanssani

      Tänään koin, että välillämme oli enemmän. Kummatkin katsoivat pidempään kuin tavallisesti toista silmiin. En tiedä mistä
      Ikävä
      17
      980
    9. Olisinpa jo siellä, otatkohan minut vastaan

      Olisitpa lähelläni ja antaisit minun maalata sinulle kuvaa siitä kaikesta ikävästä, tuskasta, epävarmuudesta ja mieleni
      Ikävä
      79
      970
    10. Kevyt on olo

      Tiedättekö, että olo kevenee kummasti, kun päästää turhista asioista tai ihmisistä irti! Tämä on hyvä näin <3
      Ikävä
      84
      968
    Aihe