Tehtävä 1
Etsi kaikki yhtälön
6x^2 13xy 17x 5y^2 12y = 17
kokonaislukuratkaisut (x,y).
Tehtävä 2
Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut x,y,z, jotka toteuttavat yhtälön
xy yz zx - xyz = 2
Tehtävä 3
Etsi kaikki yhtälön
2x^2 2xy - 3y^2 - 6x 4y = 0
kokonaislukuratkaisut (x, y).
Tehtävä 4
Etsi kaikki yhtälön
-2x^4 - 8x^3 - 10x^2y 2x^2z - 18x^2 - 20xy 4xz - 20x - 11y^2 8yz - 22y z^2 8z = 15
kokonaislukuratkaisut (x,y,z).
Kahdessa jälkimmäisessä voidaan etsiä testin vuoksi ratkaisuja jotka on rajoitettu; kolmosessa R-säteisen ympyrän sisälle ja nelosessa kuutioon [-M, M]^3.
Niillehän on tietenkin taas tehty testerisivu: https://codepen.io/minkkilaukku/full/eYdMVed
Kolme + 1 Diofantoksen yhtälöä
Anonyymi
9
115
Vastaukset
Tehtävä 2.
xy yz zx-xyz = 2
Yhtälöstä seuraa, että xy yz zx > xyz joten 1/x 1/y 1/z > 1.
Olkoon x <= y <= z. Saadaan 3/x > 1 joten x = 1 tai 2.
Jos x=1 saadaan yhtälö y z > 2 joten y=z=1 ja ratkaisu on (1,1,1).
Jos x=2 alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön 2y 2z - yz = 2 kanssa.
Siis (y-2) (z-2) = 2 ja saadaan ratkaisu (2,3,4) . Myös kaikki näiden permutaatiot ovat ratkaisuja.- Anonyymi
Tuohan onkin kätevä tapa, että tapaus x=2 faktoroituu, niin ei tarvitse sitä enää epäyhtälöiden kanssa pidemmälle viedä.
- Anonyymi
xy yz zx=xyz 2
Ei ole xy yz zx>zxy 2 - Anonyymi
Edeölytys että x=y=z ei ole todistettu sille, että
3/x=1 tai kuten sinun huonossa 3/x>1 - Anonyymi
Sinun x<=y<=z
Ei ole todistettu, että
Jokainen niiden käänteisarvon summa muodoistasi yhteensä 3/x
Ei tarkoita, että niiden pitäisi olla samat sinun teoriassa
- Anonyymi
Ykkönen ja kolmonen ratkeaa sivulta https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM löytyvältä laskimelta. Nelonen vaikuttaa vaikealta.
- Anonyymi
Joo, toisen asteen, kahden muuttujan yhtlöillehän on tuo yleinen ratkaisumetodi. Tapauksia siinä vaan on pirusti.
Tässä ykkönen Desmoksessa tehtynä, kun sen saa siellä mukavasti piirreltyä: https://www.desmos.com/calculator/ugregs1rdh
Neloseen "vinkki" (tai en tiedä saako noista ratkaisupisteistä mitään vinkkiä, siellä on 3d-kuvakin kun oikein etsii, mutta kannattaa itse piirtää, niin siitä saattaa jotain vinkkiä ratkaisupisteiden muodostamista kuvioista saada):
https://www.desmos.com/calculator/f5x913bwuq - Anonyymi
Voi tietysti kysyä onko tuo laskimen käyttö "ratkaisua". Yhtä hyvin voisit viedä tehtävän jollekin osaavalle kaverillesi joka sitten kertoisi sinulle lopputuloksen. Olisitko siis ratkaissut tehtävän?
- Anonyymi
Ai niin, kolmosen Desmos-ratkaisu: https://www.desmos.com/calculator/cpc5hazjhw
Jätetään nyt nelonen vielä hautumaan, mutta samaa ideaa sitä on siinäkin. Onkohan tuohon yhtälön muokkaukseen mitään yleistä metodia, niinkuin tuossa haluttiin
(polynomi)^2 - d*(polynomi)^2 = c
Eli pitäisi keksiä vakio, joka vähennettäessä polynomi on neliön ja vakio kertaa neliön erotus.
Alpetronin sivun kaavallahan tuon saa mille vaan kertoimille, mutta muistaakseni Wikipediassa sanottiin, että oikean puolen vakiolle 4 ratkaisut löytyvät sqrt(d):n konvergenttien muasta. Niinkuin tietysti käy myös siinä tavallisessa Pellin yhtälössä. Jos nyt oikein muistan tuolta Alpetronin sivulta, niin se ehto on 4F^2 < B^2 - 4AC, kun -F on oikean puolen vakio ja vasen puoli on Ax^2 Bxy Cy^2. Muuten pitää tehdä muuttujan vaihtoja ja testata siinä vaihdossa monia eri arvoja. Tuo epäyhtälö ei kyllä esim. C=-7 (A=1, B=0) ja -F = 4 toteudu, mutta liekkö siinä sitten sattuu vaan käymään, näin ainakin wikipediassa sanotaan:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation#Generalized_Pell's_equation
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
En usko et meistä tulee jotain
Se ei kuitenkaan estä toivomasta et tulisi. Toivon et voitas suudella ja se sais asioita loksahtamaan paikoilleen. Jutel102880- 1152145
Eini paljastaa nuorekkuutensa salaisuuden - Tämä nousee framille: "Se on pakko, että jaksaa!"
Discokuningatar Eini on täyttänyt upeat 64 vuotta. Lavoilla ja keikoilla nähdään entistä vapautuneempi artisti, joka ei431554- 2601398
- 701013
Olen J-mies
Jos kerrot sukunimeni alkukirjaimen, ja asuinpaikkakuntani. Lupaan ottaa yhteyttä sinuun.47911- 55884
Ei sitten, ei olla enää
Missään tekemisissä. Unohdetaan kaikki myös se että tunsimme. Tätä halusit tämän saat. J miehelle. Rakkaudella vaalea na77880- 44795
Ma 30.9 tosiko tv klo 18 suorana Tikkalanmäeltä
Virastolta suorana. Äänestyksistä sitten puhutaan illalla ja huomenna, onko kepuvasemmisto kuntalaisten tahdon mukaan to93736