Kinkkinen epäyhtälö taas

Anonyymi-ap

f(x,y,z) = x/sqrt(y^2 + 15 xz) + y/sqrt(z^2 + 15 xy) + z/sqrt(x^2 + 15 zy) kun x>0, y>0, z>0.
Kirjoitustyötä helpottaakseni kirjoitan
d/dx f(a,b,c) = f( x; a.b,c) , d/dy f(ab,c) = f(y; a,b,c) , d/dz f(a,b,c) = f(z; a,b,c)
d^2/dx^2 f(a,b,c) = f(xx; a,bc) ja samoin f(xy; a,b,c) ....f(zz; ab,c). Jos pisteellä (a,b,c) ei ole väliä lyhennän nämä muotoon f(x; )...f(xx; )...f(zz; )

On todistettava, että f(x,y,z) >= 3/4.

Funktiolla f on symmetria
(1) f(a,b,c) = f(b,c,a) = f(c,a,b)

f on homogeeninen astetta 0 eli f(ta,tb,tc) = f(a,b,c).
Tällöin 1. osittaisderivaatat ovat homogeenifunktioita astetta - 1 ja toiset osittaisderivaatat derivaatat astetta - 2.

Osittaisderivaatan määritelmästä ja symmetriasta (1) seuraa, että
(2) f(x;a,b,c) = f(z; b,c,a) = f(y; c,a,b)
Eulerin homogeenifunktioita koskeva lause sanoo että jos funktio on homogeeninen astetta n niin sen derivaatta on homogeeninen astetta n-1.Lisäksi

(3) a f(x; a,b,c) ) + b f(y; a,b,c) + c f(z; a,b,c) = n f(a,b,c)
Tästä ja yhtälöistä (2) seuraa,että fx; (a,a,a) = fy; (a,a,a) = f(z; a,a,a) = 0
Erityisesti tämä pätee kun a = 1. Lisäksi f(a,a,a) = 3/4.
Itse asiassa(3) sanoo, että f:n derivaatta suuntaan (a,a,a) = 0 eli f on vakio tuolla puolisuoralla .
(1,1,1) on siis funktion f kriittinen piste.
Yhtälöistä (2) ja toisen osittaisderivaatan määritelmästä seuraa, että
f(xx;a,b,c) = f(zz; b,c,a)) = f(yy; c,a,b)
f(xy; a,b,c) = f(zx; b,c,a) = f(y,z; c,a,b)
f(xz;a,b,c) = f(zy; b,c,a) = f(yx; c,a,b)
Pisteessä (1,1,1) on siis
f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) ja f(xy; ) = f(zx; ) = f(yz; ) = f(xz; ) = f(zy; ) = f(yx; = f(xz; ) = f(zy; ) = f(yx; ). Tässä on käytetty myös toisen osittaisderivaatan symmetrisyyttä.

Jatkuu

13

1605

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Jatkuu.
      Käytetään Eulerin lausetta näihinntoisiin derivaattoihin pisreessä (1,1,1) (joka oli kriittinen piste).
      f(xx,; 1,1,1) + f(xy; 1,1,1) + f(xz; 1,1 1) = 0
      f(yx; 1,1,1) + f(yy; 1,1,1) + f(yz; 1,1,1) =0
      f(zx; 1,1,1) + f(zy; 1,1,1) + f(zz; 1,1,1) = 0
      Näistä ja edeltävistä toisen derivaatan symmetrioista seuraa, että pisteessä (1,1,1) on f(xx; ) = f(yy; ) = f(zz; ) = - 2 f(xy; )

      Riittää siis laskea pelkästään derivaatan f(xx; 1,1,1) arvo.Tämä saadaan helpoimmin derivoimalla kahdesti x:n funktio f(x,1,1) ja tulos on 338/4^6.

      Kriittistä pistettä tutkitaan neliömuodon Q(x,y,z ; h1,h2,h3) avulla.
      f(1+ h1, 1+ h2, 1+ h3) = 3/4 + 0 + 1/2! * 338/4^6 (h1^2 + h2^2 + h3^2 - h1 h2 - h1 h3 - h3 h1)+ jäännöstermi.
      Siis Q(1,1,1; h1,h2,h3) >= 0 ja 0 sjvs kun h1=h2=h3 on piste (1,1,1) lokaali minimi.

      Kun muistetaan, että nuo toiset derivaatat ovat homogeenisia astetta - 2 nähdään, että sama pätee koko puolisuoralla (a,a,a) missä a> 0.
      3/4 on siis f:n lokaalinen minimiarvo. Sen globaalisuutta entässä nyt todistanut.

      • Vielä pikku kommentti. Jos g(x,y,z) = sqrt(y^2 + 15 xz) / x + sqrt(z^2 + 15 xy)/y + sqrt(x^2 + 15zy)/z
        niin pystyn ihan epäyhtälöillä todistamaan, että
        g(x,y,z) >= 12
        f*g >= 9
        f + g >= 12 3/4.
        Nämä toteutuvat, jos f >= 3/4.
        Mutta "hauskaa" kyllä, näistä ei seuraa, että f >= 3/4.


    • Anonyymi

      Excellent.

    • Anonyymi

      Numeerisesti näyttäisi olevan voimassa:

      import numpy as np
      from scipy.optimize import minimize

      # Määritellään funktio
      def f(x):
      return x[0] / np.sqrt(x[1]**2 + 15 * x[0] * x[2]) + \
      x[1] / np.sqrt(x[2]**2 + 15 * x[0] * x[1]) + \
      x[2] / np.sqrt(x[0]**2 + 15 * x[1] * x[2])

      # Alkuarvaus
      x0 = np.array([1.0, 1.0, 1.0])

      # Rajoitukset (x > 0, y > 0, z > 0)
      bounds = [(1e-5, None), (1e-5, None), (1e-5, None)]

      # Minimointi
      result = minimize(f, x0, method='L-BFGS-B', bounds=bounds)

      print("Minimiarvo:", result.fun)
      print("Minimipiste:", result.x)

      Tulostus:

      Minimiarvo: 0.75
      Minimipiste: [1. 1. 1.]

      • Anonyymi

        Hyvähän tätä on tutkia näinkin. Jos olisi tullut sellainen tulos, että 3/4 ei olekaan globaali minimi niin eipä kannattaisi miettiä todistusta sille, että se tosiaan on.
        Vielä on siis toivoa!


      • Anonyymi

        Tässä lähestymistavassa on ongelmana se, että minimipisteet eivät ole erillisiä vaan kaikki muotoa (a,a,a) olevat pisteet, joita on äärettömän monta. Tämä tekee globaalin minimin etsimisen algoritmisesti erittäin vaikeaksi. Kenties löytyy joku muunnos, joka muuntaa epäyhtälön sellaiseksi, että riittää todistaa epäyhtälön olevan voimassa äärettömän monella pistekolmikolla (a,b,c).


    • Anonyymi

      Joskus tuollaisia epäyhtälöitä voi lähteä ratkomaan Hölderin tai Jensenin epäyhtälön avulla. Joskus taas tuollaiseen voi kehittää numeerisen algoritmin, joka voidaan muuntaa täsmällisesti todistukseksi.

      • Anonyymi

        Ja joskus voi hölöttää turhanpäiväisyyksiä!


    • Anonyymi

      Kirjoittamalla

      a = x/y
      b = y/z
      c = z/x

      saadaan lauseke muotoon

      a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15b/c) + c/sqrt(1+15c/a).

      Ja koska abc = 1, niin ongelma saadaan pudotettua kaksiulotteiseksi. Tutkitaan siis funktiota

      g(a,b) = a/sqrt(1+15a/b) + b/sqrt(1+15ab^2) + 1/sqrt(a^2b^2+15b),
      a,b>0

      Kun a tai b menee nollaan, niin mennään toisen muuttujan suhteen funktioon t ↦ t + 1/sqrt(15t), joka on suurempaa kuin 3/4 (minimi noin 0,76631).
      Ja kun a tai b menee äärettömään, niin g menee äärettömään.

      Ja kriittisten pisteiden tarkastelu olikin jo tehty. No, tämän reunatarkastelun olisi varmaan voinut tehdä alkuperäiselle f:llekin.

      Ps. tuosta a,b,c -lausekkeesta näyttäisi niinkuin Jensenin pitäisi toimia, mutta sinne tulee ärsyttävästi (a+b+c)^3/2, joka tekee arviosta liian heikon.

      • Anonyymi

        abc = 1 ei ole tuon funktion määritysalue.
        0-homogeemisuudesta seuraa sen sijaan, että funktio saa kaikki arvonsa jo alueessa
        a+b+c =1. sillä
        f(a/(a+b+c) , b/(a+b+c), c/(a+b+c)) = f(a,b,c)


    • Anonyymi

      Voiko tuo todistaa ChatGPT:llä ja Sagemathilla? Kokeilin näin:

      # Määritellään muuttujat
      x, y, z = var('x y z')

      # Funktio f(x, y, z)
      f = x/sqrt(y^2 + 15*x*z) + y/sqrt(z^2 + 15*x*y) + z/sqrt(x^2 + 15*y*z)

      # Lasketaan ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat
      f_x = diff(f, x)
      f_y = diff(f, y)
      f_z = diff(f, z)

      # Lasketaan toisen kertaluvun osittaisderivaatat
      f_xx = diff(f, x, x)
      f_yy = diff(f, y, y)
      f_zz = diff(f, z, z)
      f_xy = diff(f, x, y)
      f_xz = diff(f, x, z)
      f_yz = diff(f, y, z)

      # Muodostetaan Hessian-matriisi
      Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
      [f_xy, f_yy, f_yz],
      [f_xz, f_yz, f_zz]])

      # Lasketaan Hessianin determinantti
      det_Hessian = Hessian.det()
      det_Hessian

      # Lasketaan gradientti
      grad_f = [diff(f, var) for var in [x, y, z]]

      # Tarkastellaan gradienttia pisteessä x = y = z = 1
      grad_at_1 = [g.subs({x: 1, y: 1, z: 1}) for g in grad_f]
      print(grad_at_1)

      f_xx_at_1 = f_xx.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
      print(f_xx_at_1)
      Hessian = Matrix([[f_xx, f_xy, f_xz],
      [f_xy, f_yy, f_yz],
      [f_xz, f_yz, f_zz]])
      Hessian_at_1 = Hessian.subs({x: 1, y: 1, z: 1})
      # Laske determinantti ja tallenna se muuttujaan
      det_Hessian_at_1 = Hessian_at_1.det()

      # Tulosta determinantti
      print(det_Hessian_at_1)

      # Laske ominaisarvot ja tallenna ne muuttujaan
      eigenvalues_at_1 = Hessian_at_1.eigenvalues()

      # Tulosta ominaisarvot
      print(eigenvalues_at_1)

      Tuloste oli:

      /usr/lib/python3/dist-packages/scipy/__init__.py:146: UserWarning: A NumPy version >=1.17.3 and <1.25.0 is required for this version of SciPy (detected version 1.26.4
      warnings.warn(f"A NumPy version >={np_minversion} and <{np_maxversion}"
      Solution:
      x = [1.00000000e+00 4.55921939e-04 5.87326810e-06 9.99997912e-01]
      Objective value = 1.0000002078791197
      Constraint 1 (x1^2 + x2^2 - 1) = 2.0784026544262701e-07
      Constraint 2 (x1^2 + x3^2 - 1) = 9.946488077616777e-12
      [0, 0, 0]
      169/2048
      0
      [507/4096, 507/4096, 0]

      ChatGPT vastasi (osa matikan sympoleista kopioituu tuplana, sori):
      Tuloksesi näyttää olevan oikein:

      Gradientti on nolla [0,0,0][0,0,0], mikä vahvistaa, että piste (x=y=z=1)(x=y=z=1) on kriittinen piste (kriittinen piste löytyy, kun kaikki gradientin komponentit ovat nollia).

      Determinantti on 169/2048​, joka on positiivinen. Tämä kertoo, että Hessianin determinantti on positiivinen, mikä yleensä viittaa siihen, että kyseessä on minimi.

      Ominaisarvot ovat [507/4096,507/4096,0]. Tämä tarkoittaa, että Hessianin ominaisarvoista kaksi on positiivisia ja yksi on nolla. Nolla-arvo voi merkitä, että kyseessä ei ole "tiukka" minimi, vaan satulapiste, mutta koska determinantti on positiivinen ja kaksi ominaisarvoa ovat positiivisia, voidaan silti päätellä, että piste (x=y=z=1) on lokaali minimi.

      Päätelmä:

      Koska gradientti on nolla ja Hessianin determinantti on positiivinen (ja useat ominaisarvot ovat positiivisia), voimme päätellä, että piste x=y=z=1 on minimi. Tämä vahvistaa, että funktion f(x,y,z) vähintään 3/4​ pätee, ja että minimissä f(1,1,1)=3/4​.

      Tämä siis tukee alkuperäistä epäyhtälöä!

      • Anonyymi

        Todistin jo ihan matemaattisesti tuon lokaalin minimin olemassaolon. Oikeastaan tietokoneohjelmilla tehty "todistus" ei sitä enää tue, pikemminkin tulos kertoo, että ohjelmisto toimii ,ainakin tässä tapauksessa, oikein.

        Mutta onhan tietenkin hauska kokeilla, mitä koneella saa aikaan.

        Tuo "Hessianin determinantti" on muuten Hessen determinantti.
        Katso myös kommenttini / 2024-09-07 16:33:11


    • Anonyymi

      Entä näin?

      \documentclass[a4paper,12pt]{article}
      \usepackage{amsmath,amssymb}

      \title{Todistus epäyhtälölle}
      \author{}
      \date{}

      \begin{document}

      \maketitle

      \section*{Todistus}

      Aloitamme oletuksella \(x = 1\), jolloin epäyhtälö yksinkertaistuu seuraavaan muotoon:

      \[
      f(y, z) = \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} + \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} + \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}}.
      \]

      Tavoitteenamme on osoittaa, että \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\).

      \subsection*{Vaihe 1: Symmetria}

      Yksi luonnollinen ehdokas kriittiseksi pisteeksi on \(y = z = 1\), koska termit ovat symmetrisiä. Tarkastetaan, onko tämä kriittinen piste ja arvioidaan \(f(1, 1)\).

      Kun \(y = 1\) ja \(z = 1\), funktio yksinkertaistuu:

      \[
      f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 15 \cdot 1}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 15 \cdot 1}}.
      \]

      Tämä on:

      \[
      f(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} + \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
      \]

      Näin ollen \(y = 1\) ja \(z = 1\) on kriittinen piste, ja tässä pisteessä \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\), mikä tyydyttää epäyhtälön. Tämä viittaa siihen, että kyseessä on globaali minimi.

      \subsection*{Vaihe 2: Käyttäytyminen äärettömyydessä}

      Seuraavaksi tarkastellaan funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to \infty\) tai \(z \to \infty\).

      \paragraph{Tapaus 1: \(y \to \infty\), \(z\) kiinteä}
      Kun \(y \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), mikä lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\). Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \), joka on vakio. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) myös lähestyy nollaa, kun \(y \to \infty\).

      Näin ollen, kun \(y \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:

      \[
      f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15}} + 0 + 0 = \frac{1}{\sqrt{15}}.
      \]

      Koska \( \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.258 \), mikä on vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.

      \paragraph{Tapaus 2: \(z \to \infty\), \(y\) kiinteä}
      Kun \(z \to \infty\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), mikä lähestyy nollaa. Samoin termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{z} \), joka myös lähestyy nollaa. Kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \).

      Näin ollen, kun \(z \to \infty\), funktio käyttäytyy asymptoottisesti seuraavasti:

      \[
      f(y, z) \approx 0 + 0 + \frac{1}{\sqrt{15y}}.
      \]

      Koska \( \frac{1}{\sqrt{15y}} \) on aina vähemmän kuin \(\frac{3}{4}\), minimi ei voi olla äärettömyydessä.

      \subsection*{Vaihe 3: Käyttäytyminen rajoilla}

      Tarkastellaan seuraavaksi funktion \(f(y, z)\) käyttäytymistä, kun \(y \to 0\) ja \(z \to 0\).

      \paragraph{Tapaus 1: \(y \to 0\), \(z\) kiinteä}
      Kun \(y \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{\sqrt{15z}} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) lähestyy nollaa, ja termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) käyttäytyy kuten \(z\), joka on myös rajallinen.

      Näin ollen, kun \(y \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:

      \[
      f(y, z) \approx \frac{1}{\sqrt{15z}} + z.
      \]

      Minimoidaan tämä \(z\):n suhteen derivoimalla:

      \[
      \frac{d}{dz} \left( \frac{1}{\sqrt{15z}} + z \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z^{3/2} \sqrt{15}} + 1 = 0,
      \]

      josta saadaan \(z \approx 0.2554\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:

      \[
      f(y \to 0, z \approx 0.2554) \approx 0.766.
      \]

      Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) tällä alueella.

      \paragraph{Tapaus 2: \(z \to 0\), \(y\) kiinteä}
      Kun \(z \to 0\), termi \( \frac{1}{\sqrt{y^2 + 15z}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{1}{y} \), joka pysyy rajallisena. Termi \( \frac{y}{\sqrt{z^2 + 15y}} \) käyttäytyy kuten \( \frac{y}{\sqrt{15y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \), ja kolmas termi \( \frac{z}{\sqrt{1 + 15yz}} \) lähestyy nollaa.

      Näin ollen, kun \(z \to 0\), funktio käyttäytyy seuraavasti:

      \[
      f(y, z) \approx \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}}.
      \]

      Minimoidaan tämä \(y\):n suhteen derivoimalla:

      \[
      \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{y} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{15}} \right) = -\frac{1}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{15y}} = 0,
      \]

      josta saadaan \(y \approx 3.915\). Kun tämä sijoitetaan takaisin, saadaan:

      \[
      f(y \approx 3.915, z \to 0) \approx 0.766.
      \]

      Näin ollen \(f(y, z) > \frac{3}{4}\) myös tällä alueella.

      \subsection*{Vaihe 4: Johtopäätös}

      Vaiheista 2 ja 3 näemme, että:

      \begin{itemize}
      \item Funktio \(f(y, z)\) lähestyy arvoja, jotka ovat suurempia kuin \(\frac{3}{4}\), kun \(y\) tai \(z\) lähestyvät äärettömyyttä tai nollaa.
      \item Funktion \(f(y, z)\) minimi saavutetaan pisteessä \( (1, 1) \), jossa \(f(1, 1) = \frac{3}{4}\).
      \end{itemize}

      Näin ollen \(f(y, z) \geq \frac{3}{4}\) kaikilla \(y > 0\) ja \(z > 0\), ja epäyhtälö on todistettu.

      \end{document}

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ja taas ammuttu kokkolassa

      Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.
      Kokkola
      70
      5913
    2. Mitä siellä ABC on tapahtunut

      Tavallista isompi operaatio näkyy olevan kyseessä.
      Alajärvi
      122
      5186
    3. Helena Koivu on äiti

      Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      434
      3127
    4. Ovatko naiset lopettaneet sen vähäisenkin vaivannäön Tinderissa?

      Meinaan vaan profiileja selatessa nykyään valtaosalla ei ole minkäänlaista kirjoitettua tekstiä siellä. Juuri ja juuri s
      Nettideittailu
      99
      1556
    5. Suomi vietiin Natoon väärin perustein. Viides artikla on hölynpölyä. Yksin jäämme.

      Kuka vielä uskoo, että viides artikla takaa Suomelle avun, jos Suomeen hyökätään. Liikuttavasti täällä on uskottu ja ved
      Maailman menoa
      361
      1197
    6. Kuvaile elämäsi naista

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      29
      1009
    7. Et ilmeisesti aio enää ikinä olla tekemisissä

      Että näinkö se menee
      Ikävä
      65
      1001
    8. Sydämeni on sinun luona

      Koko ajan. Oli ympärilläni ketä oli niin sinä olet vain ajatuksissa ja tunteissa. En halua muiden kosketusta kuin sinun
      Ikävä
      46
      916
    9. Trump ja Venäjä

      Huomasitteko muuten... Käytännössä ainoat valtiot, joille Trump EI eilen asettanut typeriä tariffejaan, olivat Venäjä ja
      Maailman menoa
      109
      884
    10. Jatkuva stressitila

      On sinun vuoksesi kun en tiedä missä mennään mutta tunteeni tiedän ainoastaan
      Ikävä
      52
      859
    Aihe