Olen ihan pihalla näissä trigonometrisissä funktioissa. Pystyisikö joku kertomaan, että miten tämä lasketaan, niin ehkä osaisin sen pohjalta sitten muitakin tehtäviä. Kiitos.
Määritä funktion f(x)=cos2x - (1/2) kaikki nollakohdat.
Vastaukseksi pitäisi tulla: -pii/6 n*pii ; n € Z
Määritä funktion f(x)=cos2x - (1/2) kaikki nollakohdat.
Vastaukseksi pitäisi tulla: -pii/6 n*pii ; n € Z
Vastaukset 11
Vanhimmat
Yhtälön voi ensin kirjoittaa muotoon cos(2x)=1/2. Kosinin nollakohta on tunnetusti pi/3, ja vielä -, koska on kyseessä parillinen funktio. Lisäksi funktio on jaksollinen ja sen jakso on 2*pi.
Näin ollen 2x=pi/3 n*2*pi, josta edelleen ratkaistuna lopputulos.
Mistä tuo kosinin tunnettu nollakohta pi/3 tulee? Eikös kosinin nollakohta ole pi/2?
Olisiko kenelläkään tiedossa jotain hyvää kirjaa joissa nämä asiat olisi neuvottu perusteellisesti ja selkein esimerkein? Kiitos vielä :)
Cos x saa arvon 1/2, x on pi/3. Jos argumenttina
on 2x, niin kosini saa arvon 1/2, kun x = pi/6.
Tästä voi suoraan päätellä oikean vastauksen tai sorvata
sopivan kaavan.
Suosittelen ihan tavallista trigonometrian oppikirjaa.
että funktion cos(2x)=1/2 nollakohta eli silloin kun kosini on yhtä kuin 1/2, mutta aivot oli kytketty jo osaksi lepoasentoon.
Anteeksi huolimattomuuteni!
Funktion f(x) = cos(2x) - 0,5 nollakohdat ovat yhtälön cos(2x) - 0,5 eli yhtälön cos(2x) = 0,5 ratkaisut. Ratkaisujen löytämiseksi tarvitsee tietää kosinista, että
(1) se on parillinen eli vastaluvuilla on sama kosini eli cos(x) = cos(-x) oli x mitä hyvänsä, ja
(2) se on 2pii-jaksollinen eli saa aina saman arvon 2piin välein.
Nyt jos onnistutaan löytämään yksikin yhtälön cos(2x) = 0,5 ratkaisu, tiedetään kohdan (1) perusteella, että myös tämän ratkaisun vastaluku on ratkaisu. Lisäksi kohdan (2) perusteella myös kaikki luvut, jotka ovat lukusuoralla siten, että niihin päästään tästä ratkaisusta tai sen vastaluvusta 2piin pituisilla hyppäyksillä, ovat ratkaisuja.
Ongelmaksi jää enää sen ensimmäisen ratkaisun löytäminen. Tässä auttaa joko taulukkokirja tai muistikolmiot. Nimittäin ainakin kulman pii/3 kosini on 0,5.
Nyt on saatu 2x = pii/3 yhdeksi ratkaisuksi. Kaikki ratkaisut saa kirjoittamalla edelllä selitetty yhtälöön mukaan. Siis
2x = -pii/3 n2pii,
jossa n kokonaisluku. Muuttujan x saa nyt ratkaistua jakamalla puolittain kahdella, jolloin oikea ratkaisu putkahtaa.
Lukion pitkän matematiikan kirjoissa tämä on trigonometristen yhtälöiden kohdalla yleensä selitetty enemmän tai vähemmän hyvin. Jos lukiossa olet, kysele ihmeessä apuja opettajaltasi. Mutta: oman harjoittelun tärkeyttä ei voi korostaa liikaa.
Huomauttaisin, että 0,5 ei ole tarkkaan ottaen sama asia kuin 1/2. 0,5 on pelkästään arvon 1/2 yhden desimaalin likiarvo, joka nyt sattuu tällä kertaa olemaan sama kuin tarkka arvo.
Kyllä rationaaliluvun ½ desimaalikehitelmä on juuri 0,5. Siis ½ ja 0,5 ovat sama luku, vain esitysmuoto on eri. Se, että joitain likiarvoja merkitään desimaaliluvuilla, ei tarkoita, että jokainen desimaaliluku olisi likiarvo.
Sen sijaan tarkkuutta voisi pyytää vaikkapa seuraavan takia: missään vaiheessa vastaustani en ottanut kantaa siihen, miksi yhtälöllä cos(2x) = 0,5 ei ole _muita_ juuria kuin nuo löydetyt.
Jos on kirjoitettu pelkästään 0,5, niin mistä lukija voi tietää, onko kyse luvun tarkasta desimaalikehitelmästä vai yhdellä desimaalilla esitetystä likiarvosta, jos tätä ei ole erikseen sanottu? Siksi tarkat arvot on annettava esimerkiksi tässä tapauksessa murtolukuina.
Kiitos paljon, nyt ymmärsin tuon täysin.
Mutta mites tämä samanlainen tehtävä:
f(x)=sin(2x-pi)
eikö edellisen tehtävän neuvoja noudattaen pitäisi mennä näin:
sin (2x-pi)=0
sin 2x-pi=0, kun 2x-pi = pi, joten sinin ollessa 2pi jaksollinen:
2 - pi = pi n2pi
mutta, mutta: tuosta ei tule npi/2 ; n € Z
niin kuin pitäisi. missä vika? olenko ymmärtänyt jotain väärin? Kiitos.
f(x) = sin(2x-pii)
f(x)=0 => sin(2x-pii)=0
Tiedetään, että sin(x)=0 jos ja vain jos x € n*pii,jossa n on kokonaisluku.
Saadaan 2x - pii = n*pii, joka on yhtäpitävä
2x= n*pii
x= n*pii/2
Ok?
> -- niin mistä lukija voi tietää, onko kyse
> luvun tarkasta desimaalikehitelmästä --
Yhtäsuuruusmerkeistä.
Lisäksi: Voi likiarvoa merkitä murtolukunakin, ts. murtoluku ei ole mitenkään itseisarvoisesti tarkempi esitys. Esimerkiksi ½ on varsin hyvä likiarvo luvulle 50001/100000.