Olen ihan pihalla näissä trigonometrisissä funktioissa. Pystyisikö joku kertomaan, että miten tämä lasketaan, niin ehkä osaisin sen pohjalta sitten muitakin tehtäviä. Kiitos.
Määritä funktion f(x)=cos2x - (1/2) kaikki nollakohdat.
Vastaukseksi pitäisi tulla: -pii/6 n*pii ; n € Z
trigonometriset funktiot
UlkonaKuinLumiukko
11
1259
Vastaukset 11
- helppo
Yhtälön voi ensin kirjoittaa muotoon cos(2x)=1/2. Kosinin nollakohta on tunnetusti pi/3, ja vielä -, koska on kyseessä parillinen funktio. Lisäksi funktio on jaksollinen ja sen jakso on 2*pi.
Näin ollen 2x=pi/3 n*2*pi, josta edelleen ratkaistuna lopputulos.- UlkonaKuinLumiukko
Mistä tuo kosinin tunnettu nollakohta pi/3 tulee? Eikös kosinin nollakohta ole pi/2?
Olisiko kenelläkään tiedossa jotain hyvää kirjaa joissa nämä asiat olisi neuvottu perusteellisesti ja selkein esimerkein? Kiitos vielä :) - jotain vihjettä
UlkonaKuinLumiukko kirjoitti:
Mistä tuo kosinin tunnettu nollakohta pi/3 tulee? Eikös kosinin nollakohta ole pi/2?
Olisiko kenelläkään tiedossa jotain hyvää kirjaa joissa nämä asiat olisi neuvottu perusteellisesti ja selkein esimerkein? Kiitos vielä :)Cos x saa arvon 1/2, x on pi/3. Jos argumenttina
on 2x, niin kosini saa arvon 1/2, kun x = pi/6.
Tästä voi suoraan päätellä oikean vastauksen tai sorvata
sopivan kaavan.
Suosittelen ihan tavallista trigonometrian oppikirjaa. - helppoa
UlkonaKuinLumiukko kirjoitti:
Mistä tuo kosinin tunnettu nollakohta pi/3 tulee? Eikös kosinin nollakohta ole pi/2?
Olisiko kenelläkään tiedossa jotain hyvää kirjaa joissa nämä asiat olisi neuvottu perusteellisesti ja selkein esimerkein? Kiitos vielä :)että funktion cos(2x)=1/2 nollakohta eli silloin kun kosini on yhtä kuin 1/2, mutta aivot oli kytketty jo osaksi lepoasentoon.
Anteeksi huolimattomuuteni!
- Samuli
Funktion f(x) = cos(2x) - 0,5 nollakohdat ovat yhtälön cos(2x) - 0,5 eli yhtälön cos(2x) = 0,5 ratkaisut. Ratkaisujen löytämiseksi tarvitsee tietää kosinista, että
(1) se on parillinen eli vastaluvuilla on sama kosini eli cos(x) = cos(-x) oli x mitä hyvänsä, ja
(2) se on 2pii-jaksollinen eli saa aina saman arvon 2piin välein.
Nyt jos onnistutaan löytämään yksikin yhtälön cos(2x) = 0,5 ratkaisu, tiedetään kohdan (1) perusteella, että myös tämän ratkaisun vastaluku on ratkaisu. Lisäksi kohdan (2) perusteella myös kaikki luvut, jotka ovat lukusuoralla siten, että niihin päästään tästä ratkaisusta tai sen vastaluvusta 2piin pituisilla hyppäyksillä, ovat ratkaisuja.
Ongelmaksi jää enää sen ensimmäisen ratkaisun löytäminen. Tässä auttaa joko taulukkokirja tai muistikolmiot. Nimittäin ainakin kulman pii/3 kosini on 0,5.
Nyt on saatu 2x = pii/3 yhdeksi ratkaisuksi. Kaikki ratkaisut saa kirjoittamalla edelllä selitetty yhtälöön mukaan. Siis
2x = -pii/3 n2pii,
jossa n kokonaisluku. Muuttujan x saa nyt ratkaistua jakamalla puolittain kahdella, jolloin oikea ratkaisu putkahtaa.
Lukion pitkän matematiikan kirjoissa tämä on trigonometristen yhtälöiden kohdalla yleensä selitetty enemmän tai vähemmän hyvin. Jos lukiossa olet, kysele ihmeessä apuja opettajaltasi. Mutta: oman harjoittelun tärkeyttä ei voi korostaa liikaa.Huomauttaisin, että 0,5 ei ole tarkkaan ottaen sama asia kuin 1/2. 0,5 on pelkästään arvon 1/2 yhden desimaalin likiarvo, joka nyt sattuu tällä kertaa olemaan sama kuin tarkka arvo.
- Samuli
Jäärä kirjoitti:
Huomauttaisin, että 0,5 ei ole tarkkaan ottaen sama asia kuin 1/2. 0,5 on pelkästään arvon 1/2 yhden desimaalin likiarvo, joka nyt sattuu tällä kertaa olemaan sama kuin tarkka arvo.
Kyllä rationaaliluvun ½ desimaalikehitelmä on juuri 0,5. Siis ½ ja 0,5 ovat sama luku, vain esitysmuoto on eri. Se, että joitain likiarvoja merkitään desimaaliluvuilla, ei tarkoita, että jokainen desimaaliluku olisi likiarvo.
Sen sijaan tarkkuutta voisi pyytää vaikkapa seuraavan takia: missään vaiheessa vastaustani en ottanut kantaa siihen, miksi yhtälöllä cos(2x) = 0,5 ei ole _muita_ juuria kuin nuo löydetyt. Samuli kirjoitti:
Kyllä rationaaliluvun ½ desimaalikehitelmä on juuri 0,5. Siis ½ ja 0,5 ovat sama luku, vain esitysmuoto on eri. Se, että joitain likiarvoja merkitään desimaaliluvuilla, ei tarkoita, että jokainen desimaaliluku olisi likiarvo.
Sen sijaan tarkkuutta voisi pyytää vaikkapa seuraavan takia: missään vaiheessa vastaustani en ottanut kantaa siihen, miksi yhtälöllä cos(2x) = 0,5 ei ole _muita_ juuria kuin nuo löydetyt.Jos on kirjoitettu pelkästään 0,5, niin mistä lukija voi tietää, onko kyse luvun tarkasta desimaalikehitelmästä vai yhdellä desimaalilla esitetystä likiarvosta, jos tätä ei ole erikseen sanottu? Siksi tarkat arvot on annettava esimerkiksi tässä tapauksessa murtolukuina.
- UlkonaKuinLumiukko
Kiitos paljon, nyt ymmärsin tuon täysin.
Mutta mites tämä samanlainen tehtävä:
f(x)=sin(2x-pi)
eikö edellisen tehtävän neuvoja noudattaen pitäisi mennä näin:
sin (2x-pi)=0
sin 2x-pi=0, kun 2x-pi = pi, joten sinin ollessa 2pi jaksollinen:
2 - pi = pi n2pi
mutta, mutta: tuosta ei tule npi/2 ; n € Z
niin kuin pitäisi. missä vika? olenko ymmärtänyt jotain väärin? Kiitos. - Palikka
UlkonaKuinLumiukko kirjoitti:
Kiitos paljon, nyt ymmärsin tuon täysin.
Mutta mites tämä samanlainen tehtävä:
f(x)=sin(2x-pi)
eikö edellisen tehtävän neuvoja noudattaen pitäisi mennä näin:
sin (2x-pi)=0
sin 2x-pi=0, kun 2x-pi = pi, joten sinin ollessa 2pi jaksollinen:
2 - pi = pi n2pi
mutta, mutta: tuosta ei tule npi/2 ; n € Z
niin kuin pitäisi. missä vika? olenko ymmärtänyt jotain väärin? Kiitos.f(x) = sin(2x-pii)
f(x)=0 => sin(2x-pii)=0
Tiedetään, että sin(x)=0 jos ja vain jos x € n*pii,jossa n on kokonaisluku.
Saadaan 2x - pii = n*pii, joka on yhtäpitävä
2x= n*pii
x= n*pii/2
Ok? - Samuli
Jäärä kirjoitti:
Jos on kirjoitettu pelkästään 0,5, niin mistä lukija voi tietää, onko kyse luvun tarkasta desimaalikehitelmästä vai yhdellä desimaalilla esitetystä likiarvosta, jos tätä ei ole erikseen sanottu? Siksi tarkat arvot on annettava esimerkiksi tässä tapauksessa murtolukuina.
> -- niin mistä lukija voi tietää, onko kyse
> luvun tarkasta desimaalikehitelmästä --
Yhtäsuuruusmerkeistä.
Lisäksi: Voi likiarvoa merkitä murtolukunakin, ts. murtoluku ei ole mitenkään itseisarvoisesti tarkempi esitys. Esimerkiksi ½ on varsin hyvä likiarvo luvulle 50001/100000.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Törkeä petosepäily Suomussalmella
Uutisoi maikkari. Uhrin nimiin on nostettu pankkilainaa, hänet on saatu sijoittamaan hevosiin ja ostamaan autoja. Ei ta703041Poliisi etälamautti, sitten pahoinpiteli
Vaikeasti kehitysvammaisen niin vakavasti että kuoli pian sairaalassa. Ei osannut kehitysvammainen heti noudattaa polii3661140Mies, olen pahoillani kun olen kuvitellut
Että pitäisit minusta. En sitä mistään tähdistä kuitenkaan lukenut, mulle vaan tuli jostain semmoinen tunne, kun itse ty65795Anni Ihamäki saa tylyä kommenttia TTK:sta - Erityisesti tämä "vääryys" ärsyttää
Kaikille ei ole mieleen se, että Anni Ihamäki on mukana uudella Tanssii Tähtien Kanssa -kaudella. Ihamäki saa varsin ty32749Mitä et ole valmis sietämään ihmissuhteissasi ja miksi?
Aiemmin jo kyseltiin mitkä vaatimukset olivat mielestänne liiallisia. Kyselläänkin nyt sitä, että millaisilla asioilla s263646Päivän Riikka: Pandan suklaatehdas Jyväskylästä Viroon
Menkää töihin! Viroon! --- Liki sata vuotta kestänyt suklaantuotanto makeisvalmistaja Pandan tehtaalla Vaajakoskella pä139586Tiesitkö? Vappu Pimiän ensimmäinen aviomies ei ole Teemu-rakas
Vappu Pimiä on tätä nykyä naimisissa Teemu Huuhtasen kanssa. Pimiä on toista kertaa naimisissa, sillä ensimmäinen liitto19569Älä nyt ylikuormitu vaikka sinusta pidänkin rakas nainen
Tiedän, että olet minulle oikea. En halua pilata tätä juttua malttamattomuudella, mutta epäilen. Haluan vain olla lähel31548Sysmä tarvitsee päätöksiä
Sysmä tarvitsee päätöksiä – ei p*anjauhantaa** Kirjoitan kuntapolitiikan ulkopuolisena tarkkailijana. Sysmän poliittinen17515Älä katoa elämästäni
Kävelyllä mietin olisitpa varjo takanani vierelläni sivullani Älä katoa koskaan ole siinä pidä kädestäni kiinni ole kan29489