On olemassa funktionaali f = f(x,y). Funktiot x ja y ovat muuttujien a ja b funktioita: x = x(a,b), y = y(a,b).
Eli f = f[x(a,b],y(a,b)]
Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂a ja ∂f/∂b luonnollisesti tunnetaan, koska f,x ja y tunnetaan a:n ja b:n funktioina. Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂x ja ∂f/∂y halutaan tietää.
Ns. ketjusäännön mukaan saadaan:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
eli matriisimuodossa:
[∂f/∂a,∂f/∂b]^T = [J][∂f/∂x,∂f/∂y]^T
josta [∂f/∂x,∂f/∂y]^T = [J]^(-1)[∂f/∂a,∂f/∂b]^T
(^T = transpoosi, ^(-1) = käänteismatriisi ja [J] on "jakobiaani" joka näkyy ylemmistä yhtälöistä)
Varsinainen kysymykseni on se, että mikä kumma tuo ketjusääntö on? Mitään kirjallisuutta ei ole nyt käden ulottuvilla. Kummastusta aiheuttaa eräs seikka. Nimittäin on helppo ymmärtää että esim. ∂k/∂c = ∂k/∂x∙∂x/∂c, kun c ja k vain x:n funktioita. Tällöinhän osittaisderivaatan voi ajatella murtoluvuksi jonka osoittaja ja nimittäjä on lavennettu ∂x:llä; yhtälön vasen ja oikea puoli ovat intuitiivisestikin yhtäsuuret. Mutta nuo ketjusäännön yhtälöt:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
antavat logiikkani mukaan yhtälöt:
{∂f/∂a = 2∙∂f/∂a
{∂f/∂b = 2∙∂f/∂b
. Matematiikan opinnoista muistelen, että sanottiin derivaatan/osittaisderivaatan olevan eri asia kuin jakolasku, mutta yhtälöä voi ratkaista kuin df/dx tarkoittaisi "df jaettuna dx:llä" ja kun se kerrotaan dx:llä jää pelkkä df.
Ketjusääntö?
2
781
Vastaukset
- hgfdf
jos ajattelet tapausta
f:R^2->R
r:R->R^2
r(a) on vektori joka muuttuu a:n mukaan
d/da f(r(a)) = gradientti f(r(a)* d/da r(a)
(* pistetulo)
Pitäisi löytyä mistä tahansa kirjasta jonka
nimessä lukee calculus, ja sisältää gradientin käsitteen. Chainrule. - joku59
Kokonaisderivaatassa df/dx toki voidaan ajatella, että tuo on jonkinnäköinen tavallinen jakolasku. Moniulotteisessa tapauksessa, jos f ja x ovat vektoreita, df/dx on se Jacobin matriisi. Jakolaskuanalogiassa lienee oikeasti kysymys siitä, että jos on yhtälö (sovitaan, että f on skalaari, jolloin d/dx on gradientti):
g(x) = df/dx
niin tuon voi formaalisti integroida, jolloin saadaan
∫ g(x) dx = ∫ df
ja jos integrointiväli on tosi pieni, niin integraalimerkit voi jättää pois:
g(x) dx = df
eli nyt efektiivisesti kerrottiin dx vasemmalle puolelle.
Osittaisderivaatoilla tuo taas ei toimi. Voi ajatella, että lausekkeissa ∂f/∂a ja ∂f/∂b tuo ∂f on oikeasti eri kummassakin tapauksessa. Ensimmäisessä a:n suuntainen muutos ja toisessa b:n suuntainen.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1014954
Kalasataman talossa lienee rakennusvirhe
Ei pitäisi olla mahdollista parvekkeen kautta tulipalon kiivetä katolle saakka kuin korkeintaan ylimmästä kerroksesta.2502037- 891673
Kristillinen Kaste on syntisten kaste, ei itsensä uskoviksi julistaneiden kaste
Raamatun mukaan vain syntisyyden vuoksi kastetut saavat kasteen hyödyn, syntien anteeksisaamisen ja Pyhän Hengen lahjan2401190Venäjä teki mahtavan iskun Kiovaan?
Miksi Ukraina ei kykene tekemään Moskovaan yhtä mahtavia iskuja.3371163Kaipaatko nainen
Semmoista tosi hankalaa ja arkaa miestä? Pitäisitkö hänet aina omanasi jos saisit hänet? Miten huomioisit hänen herkkyyd1051100- 501099
Nojatuoli !
Uutta kehiin, kun edellinen pikavauhtia täyttyi, pitäisikö kiittää näitä asian jouduttaneita? Pilvet leijaa, sadetta en1481070- 1111029
Milloin ymmärsit
Milloin tunnistit, että sinulle kirjoitetaan ja kuka kirjoittaa? Tarkka päivämäärä ja kellonaika 😉 Önnönnöö, jos ei os85984