On olemassa funktionaali f = f(x,y). Funktiot x ja y ovat muuttujien a ja b funktioita: x = x(a,b), y = y(a,b).
Eli f = f[x(a,b],y(a,b)]
Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂a ja ∂f/∂b luonnollisesti tunnetaan, koska f,x ja y tunnetaan a:n ja b:n funktioina. Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂x ja ∂f/∂y halutaan tietää.
Ns. ketjusäännön mukaan saadaan:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
eli matriisimuodossa:
[∂f/∂a,∂f/∂b]^T = [J][∂f/∂x,∂f/∂y]^T
josta [∂f/∂x,∂f/∂y]^T = [J]^(-1)[∂f/∂a,∂f/∂b]^T
(^T = transpoosi, ^(-1) = käänteismatriisi ja [J] on "jakobiaani" joka näkyy ylemmistä yhtälöistä)
Varsinainen kysymykseni on se, että mikä kumma tuo ketjusääntö on? Mitään kirjallisuutta ei ole nyt käden ulottuvilla. Kummastusta aiheuttaa eräs seikka. Nimittäin on helppo ymmärtää että esim. ∂k/∂c = ∂k/∂x∙∂x/∂c, kun c ja k vain x:n funktioita. Tällöinhän osittaisderivaatan voi ajatella murtoluvuksi jonka osoittaja ja nimittäjä on lavennettu ∂x:llä; yhtälön vasen ja oikea puoli ovat intuitiivisestikin yhtäsuuret. Mutta nuo ketjusäännön yhtälöt:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
antavat logiikkani mukaan yhtälöt:
{∂f/∂a = 2∙∂f/∂a
{∂f/∂b = 2∙∂f/∂b
. Matematiikan opinnoista muistelen, että sanottiin derivaatan/osittaisderivaatan olevan eri asia kuin jakolasku, mutta yhtälöä voi ratkaista kuin df/dx tarkoittaisi "df jaettuna dx:llä" ja kun se kerrotaan dx:llä jää pelkkä df.
Eli f = f[x(a,b],y(a,b)]
Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂a ja ∂f/∂b luonnollisesti tunnetaan, koska f,x ja y tunnetaan a:n ja b:n funktioina. Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂x ja ∂f/∂y halutaan tietää.
Ns. ketjusäännön mukaan saadaan:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
eli matriisimuodossa:
[∂f/∂a,∂f/∂b]^T = [J][∂f/∂x,∂f/∂y]^T
josta [∂f/∂x,∂f/∂y]^T = [J]^(-1)[∂f/∂a,∂f/∂b]^T
(^T = transpoosi, ^(-1) = käänteismatriisi ja [J] on "jakobiaani" joka näkyy ylemmistä yhtälöistä)
Varsinainen kysymykseni on se, että mikä kumma tuo ketjusääntö on? Mitään kirjallisuutta ei ole nyt käden ulottuvilla. Kummastusta aiheuttaa eräs seikka. Nimittäin on helppo ymmärtää että esim. ∂k/∂c = ∂k/∂x∙∂x/∂c, kun c ja k vain x:n funktioita. Tällöinhän osittaisderivaatan voi ajatella murtoluvuksi jonka osoittaja ja nimittäjä on lavennettu ∂x:llä; yhtälön vasen ja oikea puoli ovat intuitiivisestikin yhtäsuuret. Mutta nuo ketjusäännön yhtälöt:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
antavat logiikkani mukaan yhtälöt:
{∂f/∂a = 2∙∂f/∂a
{∂f/∂b = 2∙∂f/∂b
. Matematiikan opinnoista muistelen, että sanottiin derivaatan/osittaisderivaatan olevan eri asia kuin jakolasku, mutta yhtälöä voi ratkaista kuin df/dx tarkoittaisi "df jaettuna dx:llä" ja kun se kerrotaan dx:llä jää pelkkä df.
Vastaukset 2
Vanhimmat
jos ajattelet tapausta
f:R^2->R
r:R->R^2
r(a) on vektori joka muuttuu a:n mukaan
d/da f(r(a)) = gradientti f(r(a)* d/da r(a)
(* pistetulo)
Pitäisi löytyä mistä tahansa kirjasta jonka
nimessä lukee calculus, ja sisältää gradientin käsitteen. Chainrule.
Kokonaisderivaatassa df/dx toki voidaan ajatella, että tuo on jonkinnäköinen tavallinen jakolasku. Moniulotteisessa tapauksessa, jos f ja x ovat vektoreita, df/dx on se Jacobin matriisi. Jakolaskuanalogiassa lienee oikeasti kysymys siitä, että jos on yhtälö (sovitaan, että f on skalaari, jolloin d/dx on gradientti):
g(x) = df/dx
niin tuon voi formaalisti integroida, jolloin saadaan
∫ g(x) dx = ∫ df
ja jos integrointiväli on tosi pieni, niin integraalimerkit voi jättää pois:
g(x) dx = df
eli nyt efektiivisesti kerrottiin dx vasemmalle puolelle.
Osittaisderivaatoilla tuo taas ei toimi. Voi ajatella, että lausekkeissa ∂f/∂a ja ∂f/∂b tuo ∂f on oikeasti eri kummassakin tapauksessa. Ensimmäisessä a:n suuntainen muutos ja toisessa b:n suuntainen.