On olemassa funktionaali f = f(x,y). Funktiot x ja y ovat muuttujien a ja b funktioita: x = x(a,b), y = y(a,b).
Eli f = f[x(a,b],y(a,b)]
Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂a ja ∂f/∂b luonnollisesti tunnetaan, koska f,x ja y tunnetaan a:n ja b:n funktioina. Osittaisdifferentiaalit ∂f/∂x ja ∂f/∂y halutaan tietää.
Ns. ketjusäännön mukaan saadaan:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
eli matriisimuodossa:
[∂f/∂a,∂f/∂b]^T = [J][∂f/∂x,∂f/∂y]^T
josta [∂f/∂x,∂f/∂y]^T = [J]^(-1)[∂f/∂a,∂f/∂b]^T
(^T = transpoosi, ^(-1) = käänteismatriisi ja [J] on "jakobiaani" joka näkyy ylemmistä yhtälöistä)
Varsinainen kysymykseni on se, että mikä kumma tuo ketjusääntö on? Mitään kirjallisuutta ei ole nyt käden ulottuvilla. Kummastusta aiheuttaa eräs seikka. Nimittäin on helppo ymmärtää että esim. ∂k/∂c = ∂k/∂x∙∂x/∂c, kun c ja k vain x:n funktioita. Tällöinhän osittaisderivaatan voi ajatella murtoluvuksi jonka osoittaja ja nimittäjä on lavennettu ∂x:llä; yhtälön vasen ja oikea puoli ovat intuitiivisestikin yhtäsuuret. Mutta nuo ketjusäännön yhtälöt:
{∂f/∂a = ∂f/∂x∙∂x/∂a ∂f/∂y∙∂y/∂a
{∂f/∂b = ∂f/∂x∙∂x/∂b ∂f/∂y∙∂y/∂b
antavat logiikkani mukaan yhtälöt:
{∂f/∂a = 2∙∂f/∂a
{∂f/∂b = 2∙∂f/∂b
. Matematiikan opinnoista muistelen, että sanottiin derivaatan/osittaisderivaatan olevan eri asia kuin jakolasku, mutta yhtälöä voi ratkaista kuin df/dx tarkoittaisi "df jaettuna dx:llä" ja kun se kerrotaan dx:llä jää pelkkä df.
Ketjusääntö?
2
766
Vastaukset
- hgfdf
jos ajattelet tapausta
f:R^2->R
r:R->R^2
r(a) on vektori joka muuttuu a:n mukaan
d/da f(r(a)) = gradientti f(r(a)* d/da r(a)
(* pistetulo)
Pitäisi löytyä mistä tahansa kirjasta jonka
nimessä lukee calculus, ja sisältää gradientin käsitteen. Chainrule. - joku59
Kokonaisderivaatassa df/dx toki voidaan ajatella, että tuo on jonkinnäköinen tavallinen jakolasku. Moniulotteisessa tapauksessa, jos f ja x ovat vektoreita, df/dx on se Jacobin matriisi. Jakolaskuanalogiassa lienee oikeasti kysymys siitä, että jos on yhtälö (sovitaan, että f on skalaari, jolloin d/dx on gradientti):
g(x) = df/dx
niin tuon voi formaalisti integroida, jolloin saadaan
∫ g(x) dx = ∫ df
ja jos integrointiväli on tosi pieni, niin integraalimerkit voi jättää pois:
g(x) dx = df
eli nyt efektiivisesti kerrottiin dx vasemmalle puolelle.
Osittaisderivaatoilla tuo taas ei toimi. Voi ajatella, että lausekkeissa ∂f/∂a ja ∂f/∂b tuo ∂f on oikeasti eri kummassakin tapauksessa. Ensimmäisessä a:n suuntainen muutos ja toisessa b:n suuntainen.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Perintovero 100 prosenttiin, työeläkkeet ja maataloustuet pois
Noilla eväillä lähden tasapainottamaan valtiontaloutta ja korjaamaan työntekijöiden palkkakuoppaa nostamatta työnantajie1655481Seksuuaalivinksataneiden toimintaa rahoitetaan valtion varoilla.
Setan toimintaa rahoitetaan valtionavustuksilla, joilla mm kierretään kouluissa haalimassa alaikäisiä mukaan perverssii804887Riikka runnoo: polttoöljyn hinta nousi maaliskuussa 40 prosenttia
Onko irvistelijällä sakset hävinneet, vai miksei osaa leikata polttoaineiden hintaa kansalaisten kukkarolle sopivalle ta343771Purra ryöväsi Marinin Itä.-Suomelle neuvottelemat EU-rahat
Perust vihaavat suomalaisia, mutta eritoten itäsuomalaisia. "Osa kaksikäyttörahoista on alun perin Itä- ja Pohjois-Suom263143Miksi persut hyökkäävät jatkuvasti henkilöitä päin?
Miksei persut yritä lainkaan korjata asioita, vaan koko ajan haukkuvat henkilöitä? Ei tuollaisilla turvanpieksäjillä ole493038Demariskandaali! Eveliina Heinäluoma (sdp) kahmii kaikki Hitas asunnot itselleen!
Heinäluoma on ostanut useita yhteiskunnan tukemia, hintasäännösteltyjä asuntoja itselleen! Ei ihme, että Hitas on ollut1582816Mökkejä ostellaan nyt ihan hulluna!
Tyypilliset lainamäärät on yli 500 000€ mökkejä ostellessa eli erityisesti tuollaiset miljoonamökit on nyt suomalaisten862653Seida Sohrabi: Suomi ei ole rasistinen maa
Seidalta taas täyttä asiaa. Miksi punavihreät naiset eivät pysty samaan - no se ideologia estää. "Meillä on valitettava262651Demarien sanoin kuvaamaton ahneus - Eveliina Heinäluoma vain yksi esimerkki
Mutta näin se on demari-eliitissä aina ollut, käytännössä siis nämä eliittiin kuuluvat ovat puhtaasti porvareita - Marin712366Ranskan vasemmistojohtaja tunnustaa, että väestö on vaihtumassa
ja se on vaan hyvä asia hänen mielestään. Kyseessä siis Ranskan vasemmistojohtaja Jean-Luc Mélenchon jonka puheet järkyt652009