Ellipsi

Eikös kaksi pistettä riitä? Joko keskipiste ja toinen polttopiste tai molemmat polttopisteet.

Tavoitteeton kirjoitti:

Eikös kaksi pistettä riitä? Joko keskipiste ja toinen polttopiste tai molemmat polttopisteet.

Säde jää vapaaksi, jos on vain kaksi pistettä.

sädf kirjoitti:

Säde jää vapaaksi, jos on vain kaksi pistettä.

No niinpäs jääkin. Eipä taas tullut ajateltua loppuun asti.

Tuli yksinkertaistettua edellistä tehtävää.
Siis tarkoitin, kuinka monta ellipsin kehän
pistettä tarvitaan ellipsin yhtälön muodostamiseen.
Pisteet voi valita kehältä satunnaisesti, eivätkä
puoliakselit ole välttämättä xy-suuntaiset.

Hammar kirjoitti:

Tuli yksinkertaistettua edellistä tehtävää.
Siis tarkoitin, kuinka monta ellipsin kehän
pistettä tarvitaan ellipsin yhtälön muodostamiseen.
Pisteet voi valita kehältä satunnaisesti, eivätkä
puoliakselit ole välttämättä xy-suuntaiset.

Lue lisää

Missään en ole nähnyt ellipsin normaalimuotoa, mutta pienen pyörittelyn jälkeen olin saavinani keskipistemuodon tähän:

Ax^2 By^2 Cx Dy E = 0

Sillä perusteella viisi pistettä.

Ethän ota tätä vakavasti?

Hammar kirjoitti:

Tuli yksinkertaistettua edellistä tehtävää.
Siis tarkoitin, kuinka monta ellipsin kehän
pistettä tarvitaan ellipsin yhtälön muodostamiseen.
Pisteet voi valita kehältä satunnaisesti, eivätkä
puoliakselit ole välttämättä xy-suuntaiset.

Lue lisää

Yleinen kartioleikkauksen yhtälö on

Ax^2 By^2 Cxy Dx Ey F=0
(kaikki eivät tosin ole ellipsejä)
6 tuntematonta, joten 6 pistettä riittää, mutta
määräkö yksikäsitteisesti en ole ihan varma?!
luultavasti!

4 pistettä on liian vähän, koska varmasti pystyt piirtämään ainakin kaksi eri ellipsiä niiden kautta. 5 pistettä ellipsiin, hmmm?

Hammar kirjoitti:

Tuli yksinkertaistettua edellistä tehtävää.
Siis tarkoitin, kuinka monta ellipsin kehän
pistettä tarvitaan ellipsin yhtälön muodostamiseen.
Pisteet voi valita kehältä satunnaisesti, eivätkä
puoliakselit ole välttämättä xy-suuntaiset.

Lue lisää

Jos kolmannella kotimaisella kirjoitetun matemaattisen tekstin lukeminen ei tuota ongelmia, niin tässä on algoritmi ellipsin sovittamiseksi pistejoukkoon:

http://autotrace.sourceforge.net/WSCG98.pdf

En ole katsonut, miten algoritmi käyttäytyy, jos yhtälöryhmä on alimääritetty (pisteitä liian vähän). Jos se on sopivasti tehty, niin yleensä silloinkin saadaan tulos jonkin miniminormin mielessä.

Kuukkeloimalla esimerkiksi sanoilla "fitting ellipse points", näyttää tulevan vieläkin enemmän lähteitä, mutta katsele ne itse.

afafafasf kirjoitti:

Yleinen kartioleikkauksen yhtälö on

Ax^2 By^2 Cxy Dx Ey F=0
(kaikki eivät tosin ole ellipsejä)
6 tuntematonta, joten 6 pistettä riittää, mutta
määräkö yksikäsitteisesti en ole ihan varma?!
luultavasti!

4 pistettä on liian vähän, koska varmasti pystyt piirtämään ainakin kaksi eri ellipsiä niiden kautta. 5 pistettä ellipsiin, hmmm?

Lue lisää

Viisi pistettä riittää määräämään yksikäsitteisen kartiokuvauksen (ja siten myös ellipsin). Kun jakaa tuon yhtälön Ax^2 By^2 Cxy Dx Ey F=0 molemmat puolet A:lla ja nimeää tuntemattomat uudelleen, niin vakioita jää enää jäljelle 5.

Neljä pistettä ei riitä. Esim. suorakulmion kärkipisteiden kautta voi ellipsin piirtää kahteen "suuntaan".

jukepuke kirjoitti:

Viisi pistettä riittää määräämään yksikäsitteisen kartiokuvauksen (ja siten myös ellipsin). Kun jakaa tuon yhtälön Ax^2 By^2 Cxy Dx Ey F=0 molemmat puolet A:lla ja nimeää tuntemattomat uudelleen, niin vakioita jää enää jäljelle 5.

Neljä pistettä ei riitä. Esim. suorakulmion kärkipisteiden kautta voi ellipsin piirtää kahteen "suuntaan".

Lue lisää

Entä jos ne neljä pistettä eivät sijaitsekaan symmetrisesti minkään tason suhteen? Äkkiä ajatellen silloin neljä pistettä riittää yksikäsitteiseen ratkaisuun. Nämä neliölliset yhtälöt ovat joskus ongelmallisia symmetrian suhteen.

Jäärä kirjoitti:

Entä jos ne neljä pistettä eivät sijaitsekaan symmetrisesti minkään tason suhteen? Äkkiä ajatellen silloin neljä pistettä riittää yksikäsitteiseen ratkaisuun. Nämä neliölliset yhtälöt ovat joskus ongelmallisia symmetrian suhteen.

Lue lisää

>Entä jos ne neljä pistettä eivät sijaitsekaan
>symmetrisesti minkään tason suhteen? Äkkiä
>ajatellen silloin neljä pistettä riittää
>yksikäsitteiseen ratkaisuun.

Silloin varmaankin riittää, mutta viisi pistettä riittää varmasti AINA. Sitä kai kysyjä tässä haki takaa?

Jäärä kirjoitti:

Jos kolmannella kotimaisella kirjoitetun matemaattisen tekstin lukeminen ei tuota ongelmia, niin tässä on algoritmi ellipsin sovittamiseksi pistejoukkoon:

http://autotrace.sourceforge.net/WSCG98.pdf

En ole katsonut, miten algoritmi käyttäytyy, jos yhtälöryhmä on alimääritetty (pisteitä liian vähän). Jos se on sopivasti tehty, niin yleensä silloinkin saadaan tulos jonkin miniminormin mielessä.

Kuukkeloimalla esimerkiksi sanoilla "fitting ellipse points", näyttää tulevan vieläkin enemmän lähteitä, mutta katsele ne itse.

Lue lisää

... eihän sovittaminen pistejoukkoon ole sama kuin täsmallinen määrittäminen/piirtäminen. Jos ollaan ex ante varmoja, että pisteet ovat jonkin ellipsin kehällä, toimii tuo kyllä.
Muussa tapauksessa on olemassa vain oletus, että ellepsi olisi paras "noin"-malli kuvaamaan pistejoukon käyttäytymistä, ja haetaan pienimmällä neliösummalla parhaiten istuva.
Sikäli tuo tsekkipoikien malli oli minulle uutta, ettei se ole iteratiivinen.

Jäkätijäk kirjoitti:

... eihän sovittaminen pistejoukkoon ole sama kuin täsmallinen määrittäminen/piirtäminen. Jos ollaan ex ante varmoja, että pisteet ovat jonkin ellipsin kehällä, toimii tuo kyllä.
Muussa tapauksessa on olemassa vain oletus, että ellepsi olisi paras "noin"-malli kuvaamaan pistejoukon käyttäytymistä, ja haetaan pienimmällä neliösummalla parhaiten istuva.
Sikäli tuo tsekkipoikien malli oli minulle uutta, ettei se ole iteratiivinen.

Lue lisää

Olen aina ollut pelkkä matematiikan soveltaja ja kauhistuttanut matemaatikkoja pelkästään ratkaisun käytännöllisyyteen pohjautuvalla suhtautumisellani. Siksi esimerkiksi tällaisissa geometrisissa ongelmissa olen suosinut mahdollisimman yleistä ratkaisua, joka soveltuu ongelmaan oli pisteiden määrä sitten mikä tahansa.

Jos pisteitä on paljon, käytetään jotakin optimin etsintään pohjautuvaa ratkaisua, esimerkiksi pienintä neliösummaa. Jos taas pisteiden määrä mahdollistaa tällaisessa lähestymisessä analyyttisen ratkaisun, se saadaan, tai jos pisteitä on tätäkin vähemmän, saadaan jokin miniminormiratkaisu. Näin algoritmi on mahdollisimman monikäyttöinen, pisteiden lukumäärästä riippumaton ja tuottaa aina järkevän ratkaisun. Tietysti algoritmin käyttäjän pitää ymmärtää kussakin tapauksessa saatavan ratkaisun luonne, jotta tuloksen tulkinta menisi oikein.

Jäärä kirjoitti:

Olen aina ollut pelkkä matematiikan soveltaja ja kauhistuttanut matemaatikkoja pelkästään ratkaisun käytännöllisyyteen pohjautuvalla suhtautumisellani. Siksi esimerkiksi tällaisissa geometrisissa ongelmissa olen suosinut mahdollisimman yleistä ratkaisua, joka soveltuu ongelmaan oli pisteiden määrä sitten mikä tahansa.

Jos pisteitä on paljon, käytetään jotakin optimin etsintään pohjautuvaa ratkaisua, esimerkiksi pienintä neliösummaa. Jos taas pisteiden määrä mahdollistaa tällaisessa lähestymisessä analyyttisen ratkaisun, se saadaan, tai jos pisteitä on tätäkin vähemmän, saadaan jokin miniminormiratkaisu. Näin algoritmi on mahdollisimman monikäyttöinen, pisteiden lukumäärästä riippumaton ja tuottaa aina järkevän ratkaisun. Tietysti algoritmin käyttäjän pitää ymmärtää kussakin tapauksessa saatavan ratkaisun luonne, jotta tuloksen tulkinta menisi oikein.

Lue lisää

.. ei ollakaan asiasta eri mieltä, tuon viestisi viimeisen lauseen jälkeen.
Kuitenkin analyyttinen ratkaisu ja ja tilastollinen ratkaisu - siis sovittaminen pisteparveen - ovat luonteeltaan eri asioita.